第1章 4.1 一元二次函数(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 预备知识 §4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 当我们在观光旅游享受大自然的美丽的风光之时,你可能被公园中人造喷泉喷出的抛物线型的水流所陶醉,当你来到潺潺的溪水边,你可能会发现河面建造的一座座美丽的石拱桥,……等等,这时你是否意识到其中蕴涵的数学问题? 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 课程标准 1.借助具体的例子,理解二次函数图象之间的联系。 2.借助具体的例子,理解二次函数的图象和性质并能应用。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 新知·自主学习 启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 一、一元二次函数的图象 (1)一元二次函数的图象叫作 。 (2)函数y=ax2与函数y=a(x-h)2+k(其中a≠0)的图象间的关系:一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到。 抛物线 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 二、一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质 (1)函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h。 (2)当a>0时,抛物线开口 ;在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而 ;在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而 ;函数在 处有最小值,记作ymin=k。 当a<0时,抛物线开口 ;在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大 而 ;在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而 ;函数在x=h处有最 值,记作ymax=k。 向上 减小 增大 x=h 向下 增大 减小 大 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 微提醒 参数“a,h,k”对二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的影响 (1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小。 (2)h决定了二次函数图象的左、右平移,而且“h正左移,h负右移”。 (3)k决定了二次函数图象的上、下平移,而且“k正上移,k负下移”。 　 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 微思考 1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是什么? 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴是什么? 提示:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是。 提示:二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 课堂·合作探究 细研，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型一　二次函数的图象及其变换 　(1) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.a>0,b<0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b>0,c>0 例1 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 因为二次函数的图象的开口向下,所以a<0,又二次函数的图象的对称轴在y轴右侧,所以->0,所以b>0,因为二次函数的图象与y轴交于正半轴,所以c>0。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)要得到函数y=x2+1的图象,可以将函数y=x2+2x的图象(　　) A.先向右平移1个单位,再向上平移1个单位 B.先向左平移1个单位,再向上平移1个单位 C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位 D.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位 函数y=x2+1的图象是抛物线,顶点坐标为(0,1),函数y=x2+2x=(x+1)2-1的图象是抛物线,顶点坐标为(-1,-1),依题意,要得到函数y=x2+1的图象,可以将函数y=x2+2x的图象先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到函数图象的解析式为y=(x-1)2+2(x-1)+2=x2+1。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　有关二次函数图象问题的解题思路 (1)对于二次函数的图象判断问题要抓住函数图象的特征或特殊点,如图象的开口方向、顶点位置、对称轴及与两坐标轴的交点所处的位置等做出判断。 (2)一般地,二次函数的图象可以通过上下、左右平移得到,平移前将二次函数化成顶点式y=a(x-h)2+k比较直观。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (3)对于同一直角坐标系中两个含变量的函数图象问题(一般为选择题),当函数中含有一个变量时,常通过对变量的讨论对函数图象做出判断;当函数中含有两个或两个以上的变量时,先在各选项中假设其中一个函数的图象正确,由此确定变量的取值范围,再由变量的取值范围确定另一个函数的图象的位置,从而判断图象的正误。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (1)函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　) 训练1 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 当a>0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,a),可排除A,C;当a<0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向下,且对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,a),函数y=的图象在第二、四象限,排除B。故选D。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)在同一坐标系中作出下列函数的图象。y=x2,y=x2-2。y=2x2-4x。并分析如何把y=x2的图象变换成y=2x2-4x的图象。 列表: 解 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y=x2-2 7 2 -1 -2 -1 2 7 y=2x2-4x 30 16 6 0 -2 0 6 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 描点、连线即得相应函数的图象,如图所示。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 由图象可知由y=x2到y=2x2-4x的变化过程如下。 先把y=x2的图象向下平移1个单位长度得到y=x2-1的图象,然后再把y=x2-1的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2-1的图象,最后把y=(x-1)2-1的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,便可得到y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x的图象。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型二　求二次函数的解析式 　已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=-x2+2x+3的图象的形状相同,开口方向相反,与直线y=x-2的交点坐标为(1,n)和(m,1),求这个二次函数的解析式。 例2 因为y=ax2+bx+c的图象与y=-x2+2x+3的图象的形状相同,开口方向相反, 所以a=,则y=x2+bx+c。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 又(1,n),(m,1)两点均在直线y=x-2上, 所以⇒即点(1,-1)和(3,1)均在二次函数y=x2+bx+c的图象上。所以　解得 所以所求二次函数的解析式为y=x2-x-。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　二次函数解析式的常见设法 (1)一般式,设为y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式,若已知二次函数图象的顶点为(h,k),则函数的解析式可以设为y=a(x-h)2+k(a≠0); (3)两根式,若已知二次函数对应的方程有两个根x1,x2,或二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),则函数的解析式可以设为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。 利用已知条件寻找二次函数的图象特征,据此设出恰当的函数解析式,往往可使函数解析式的求解变得简单。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,顶点M到x轴的距离为2,则此函数的解析式为(　　) A.y=-x2-x+ B.y=x2+x- C.y=-x2-x+或y=x2+x- D.不能确定 训练2 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 解法一:因为二次函数图象的对称轴为直线x=-1,顶点M到x轴的距离为2,所以顶点坐标为(-1,2)或(-1,-2),故可设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2或y=a(x+1)2-2。因为图象过点A(-3,0),所以0=a(-3+1)2+2或0=a(-3+1)2-2,解得a=-或a=。故所求二次函数的解析式为y=-(x+1)2+2=-x2-x+或y=(x+1)2-2=x2+x-。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 解法二:因为二次函数图象的对称轴为直线x=-1,图象过点A(-3,0),所以点A关于对称轴的对称点A'(1,0)也在二次函数的图象上,所以可设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1)。由题意得顶点坐标为(-1,2)或(-1,-2),分别代入上式,解得a=-或a=。故所求二次函数的解析式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-x+或y=(x+3)(x-1)=x2+x-。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 类型三　二次函数的最值问题 　已知函数y=x2+2ax+2,x∈[-5,5]。 (1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值; 例3 当a=-1时,y=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5], 其图象如图①, 由图可知, 当x=1时,y取得最小值,最小值为1。 当x=-5时,y取得最大值,最大值为 (-5-1)2+1=37。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (2)用a表示出函数在[-5,5]上的最值。 函数y=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a。 ①当-a≤-5,即a≥5时,在区间[-5,5]上函数值 y随自变量x的增大而增大, 所以当x=5时,y取最大值27+10a, 当x=-5时,y取最小值27-10a; ②当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图象如图② 所示,由图可知,当x=5时,y取最大值27+10a,当x=-a时,y取最小值2-a2; 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 ③当0<-a<5,即-5<a<0时,函数图象如图③所示,由图可知,当x=-5时,y取最大值27-10a,当x=-a时,y取最小值2-a2; ④当-a≥5,即a≤-5时,在区间[-5,5]上函数 值y随自变量x的增大而减小,所以当x=5时, y取最小值27+10a, 当x=-5时,y取最大值27-10a。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 　　(1)定义域为R的二次函数的最值问题: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在定义域R上的最值情况:当a>0时,函数在x=-处取得最小值,无最大值;当a<0时,函数在x=-处取得最大值,无最小值。 (2)二次函数在给定区间上的最值: 这类问题的解题思路是先确定图象的开口方向及对称轴,由对称轴与给定区间的位置关系,数形结合确定函数的最值,对于因含变量而导致的不确定需分类讨论。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 (3)对于含参数的二次函数的最值问题,一般有如下几种类型: ①区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; ②对称轴固定,区间变动(含参数),求最值; ③区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数。 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论。 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 已知y=x2+2(a-1)x+2在[1,5]上当x=1时,y取最大值,则实数a的取值范围是 。  训练3 (-∞,-2] 因为y=x2+2(a-1)x+2在[1,5]上,当x=1时,y取最大值,所以在区间[1,5]上,左端点到对称轴x=1-a的距离最远,所以1-a≥3,则a≤-2,因此实数a的取值范围是(-∞,-2]。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 随堂·达标检测 训练，巩固当堂所学 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 1.顶点在(2,-3)的抛物线方程可以为(　　) A.y=x2-4x+1 B.y=x2+4x+1 C.y=x2-4x-3 D.y=x2-4x+3 y=x2-4x+1=(x-2)2-3,顶点坐标为(2,-3);y=x2+4x+1=(x+2)2-3,顶点坐标为(-2,-3);y=x2-4x-3=(x-2)2-7,顶点坐标为(2,-7);y=x2-4x+3=(x-2)2-1,顶点坐标为(2,-1)。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 2.若函数y=x2-6x-7,则它在[-2,4]上的最大值、最小值分别是(　　) A.9,-15 B.12,-15 C.9,-16 D.9,-12 函数的对称轴为直线x=3,所以当x=3时,函数取得最小值为-16,当x=-2时,函数取得最大值为9。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 3.二次函数y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c的值为(　　) A.-16　　　 B.16 C.-4　　　 D.4 因为顶点在x轴上,所以=0,所以c=16。 解析 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 4.已知二次函数的对称轴为直线x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求此二次函数的解析式。 设二次函数的解析式y=a(x+1)2+k, 由题意得 故y=3(x+1)2+1=3x2+6x+4。 解 轻松课堂 高中数学 必修 第一册 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第一章　§4　4.1　一元二次函数 点击 导航 课堂·合作探究 新知·自主学习 随堂·达标检测 $$