第05讲 数列 新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第05讲 数列 新定义题 目录 数列 新定义题（小题） 1 数列 新定义题（解答题） 3 数列 新定义题（小题） 1．（2024·天津·模拟预测）数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 3．（23-24高二下·辽宁大连·期中）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2023 D．2024 4．（多选）（23-24高二下·江苏南京·开学考试）若序列满足满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为6的0-1序列中，满足的序列是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江西南昌·期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术， 剪纸具有广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活， 是各种民俗活动的重要组成部分， 其传承赓 (gêng) 续的视觉形象和造型格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息， 是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下： 取一张半径为 1 的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 (如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为 . 6．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 7．（2024·四川·模拟预测）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo  Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第 项. 8．（2024·山东日照·二模）“序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则的前10项和为 . 数列 新定义题（解答题） 1．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． (1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； (2)计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； (3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 3．（2024·浙江·模拟预测）定义:表示的整数部分，表示的小数部分，例如.数列满足其中.若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数. (1)分别写出当时的值. (2)证明:是木来数 (3)若为大于1的有理数.且.求证:为木来数 4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若，求； (2)若，求正整数的最小值； (3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由. 5．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. (1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； (2)证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”； (3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值. 6．（23-24高二下·吉林·期末）对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和． (1)求的值： (2)若，求数列的前项和 (3)对互不相等的质数，证明：，并求的值． 7．（23-24高二下·辽宁大连·期末）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”.如数列1，2第1次“差扩充”后得到数列1，-1，2，第2次“差扩充”后得到的数列.设数列经过第次“差扩充"后所得数列的项数为，所有项的和为. (1)若，求； (2)设满足的的最小值为，求出的值并求出关于的表达式（其中是指不超过的最大整数，如）； (3)若，设，在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 数列 新定义题 目录 数列 新定义题（小题） 1 数列 新定义题（解答题） 9 数列 新定义题（小题） 1．（2024·天津·模拟预测）数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据定义列方程组，判断是否有实数解，结合周期性逐一验证判断即可. 【详解】由题知，， 又，所以，是周期为3的周期数列. 对于A，若，，则，则或 若，则，得， 又， 由周期性可知，当时，满足，A不满足题意； 对于B，若，，则，即， 又，消元整理得， 即，无实数解，故B满足题意； 对于C，若，，则， 解得，显然恒成立，C不满足题意； 对于D，若，，则， 解得，显然此时恒成立，D不满足题意. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题解题关键在于根据定义列方程组，判断是否有实数解，当有解时，结合周期性即可判断. 2．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 【答案】C 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得，结合单调性可得，即可得结果. 【详解】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故AB错误； 对于选项C：因为， 对任意，，可知存在， 使得， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故C正确； 对于选项D：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故D错误； 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算. 3．（23-24高二下·辽宁大连·期中）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】首先根据累加法得到的通项公式，并对进行放缩得到，进而采用裂项相消法解得结果即可. 【详解】由得， 因此数列为首项为，公比为的等比数列，故， 进而根据累加法得： ， 所以， 由， 因为， 又， 所以，令， 所以， 所以， 所以， 代入得，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列中新概念问题，重点是对的放缩. 4．（多选）（23-24高二下·江苏南京·开学考试）若序列满足满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为6的0-1序列中，满足的序列是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据新定义，逐个进行判断即可. 【详解】由题意，由知，序列的周期为，由已知，， ， 对于选项A， 所以不满足题意. 对于选项B， 均符合题意. 对于选项C， 均符合题意. 对于选项D， 均符合题意. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 5．（23-24高二下·江西南昌·期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术， 剪纸具有广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活， 是各种民俗活动的重要组成部分， 其传承赓 (gêng) 续的视觉形象和造型格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息， 是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下： 取一张半径为 1 的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 (如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为 . 【答案】 【分析】设的半径为，分析正方形边长与半径的关系可得，进而可得的面积为，再分析第次裁剪操作的正方形边长，进而可得每次操作减去的面积，再求和即可. 【详解】设的半径为，则， 的半径为，即，故， 的面积为， 又第次裁剪操作的正方形边长为， 故第次裁剪操作裁剪掉的面积为 ， 所以第次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为 ， 所以第2024次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 6．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 【答案】11 【分析】由题意可知连续3项共有8种情况，然后分类讨论，分，和根据题意讨论即可. 【详解】因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情况， 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”， 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”， 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值为11， 故答案为：11 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 7．（2024·四川·模拟预测）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo  Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第 项. 【答案】2025 【分析】由斐波那契数列的递推关系式可得（，），结合累加法求解即可. 【详解】由题意知，（，）， 所以（，）， 所以，，……，， 由累加法可得， 则， 所以是斐波那契数列的第2025项. 故答案为：2025. 8．（2024·山东日照·二模）“序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则的前10项和为 . 【答案】 【分析】设中有项为0，其中1和的项数相同都为，由已知条件可得①，②，进而可得③，再结合④，可得，分别研究为奇数和偶数时的通项公式，运用累加法及并项求和即可得到结果. 【详解】因为，依题意得，，， 显然，中有2项，其中1项为，1项为1，中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0，中有8项，其中3项为，3项为1，2项为0， 由此可得中共有项，其中1和的项数相同， 设中有项为0，1和的项数相同都为，所以，， 从而①， 因为表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1， 得到新的有序实数组， 则②， ①②得③， 所以④， ④③得， 所以当为奇数且时，， 经检验，当时符合，所以(为奇数)， 当为偶数，则为奇数，又因为， 所以， 所以， 当为奇数时，， 所以的前10项和为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转化为数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合已学数学知识进行解答. 数列 新定义题（解答题） 1．（广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)2和5为两个质数“理想数” (2)的值为12或18 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）易知（后续直到20都不满足条件） 和5为两个质数“理想数”； （2）由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． （3）显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． (1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； (2)计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； (3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 【答案】(1)，，，， (2)（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析 (3) 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【详解】（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或． 综上，符合条件的数列组合有： ，，，，． （2）（ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 3．（2024·浙江·模拟预测）定义:表示的整数部分，表示的小数部分，例如.数列满足其中.若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数. (1)分别写出当时的值. (2)证明:是木来数 (3)若为大于1的有理数.且.求证:为木来数 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）根据定义先计算，利用得出，根据同样的方法计算即可证明； （3）先设且互质，利用定义判定不是整数时，有，再用反证法判定数列中存在整数即可证明. 【详解】（1）当时，，同理， 当时，，同理； （2）当时，即，则， 由于，所以， 所以，则，所以， 由于，所以，则 ， 由此知对恒成立. 可知当时，为木来数； （3）设且互质， 可知与均不为整数时，有， 显然， 且此时为正整数，又互质，则， 故， 下面用反证法说明数列中存在整数. 由为有理数可知，也为有理数. 则，推出，与假设矛盾. 因此为木来数. 【点睛】思路点睛：第二问利用“木来数”定义结合可推出，同理推出即可证明结论；第三问，利用数列且互质，利用数的互质，先证明与均不为整数时有，再用反证法证明数列中存在整数即可. 4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若，求； (2)若，求正整数的最小值； (3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由. 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，且或 【分析】（1）由题意计算可得第二次“和扩充”后得到数列，计算即可得解； （2）由题意可得，计算出首项后，可得数列为等比数列，即可计算出，在解出不等式即可得； （3）计算出、、后，可得， 计算即可得，再借助等比数列的定义即可得需满足的关系. 【详解】（1），第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ，； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到， 故，故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得，最小值为10； （3）因为， ，依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由题意可得，从而可结合等比数列求和公式得到. 5．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. (1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； (2)证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”； (3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值. 【答案】(1)是为“数列”， 不是为“数列”； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据等差等比的求和公式可得，，即可利用定义以及作差法求解， （2）利用累加法，结合放缩法可得，，即可求证必要性，取即可求证充分性， （3）根据定义可得为单调递增数列，且，进而得，即可根据单调性得最小值为，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解. 【详解】（1）由于为等差数列，所以，为等比数列，， 任意的，都有， 故，所以数列是为“数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“数列”， （2）先证明必要性： 因为为“数列”，所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，，，当时，有 ， 所以， 又， 所以， 又， 故，即，故， 再证明充分性： 对于任意的，，，当时，有， 即， 对于任意的,，则有， 即可，所以为“数列”， （3）数列为“严格数列”，且对任意的，有，即， 设，则为单调递增数列，且， 所以 因为，.所以， 所以存在时，， 所以，当数列为单调递减数列， 当 因此存在最小值，且最小值为， 由于，所以，且 所以，即， ，即 所以 ， 当时，， 当时，， 当时， 所以当时，的最大值为， 此时，因为， 所以数列的最小项的最大值为 【点睛】关键点点睛：由得，利用累加法和放缩法得是证明第（2）问的关键. 由，设，则为单调递增数列，且，由，得存在时，， 所以，当数列为单调递减数列，当是第（3）问的求解关键. 6．（23-24高二下·吉林·期末）对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和． (1)求的值： (2)若，求数列的前项和 (3)对互不相等的质数，证明：，并求的值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）先找出的所有正因数，再根据题设定义，即可求解； （2）由题设定义，结合的正因数，求出，再由分组求和与错位相减法，即可求出结果； （3）先分别求出及的正因数，由丰度指数的定义，证明，再利用结论求解即可. 【详解】（1）因为的所有正因数为，所以，得到. （2）因为共有个正因数，它们为， 所以，得到， 所以， 令①，则②， 由①②得到， 所以， 故. （3）因为是互不相等的质数，则的正因数有个，它们是， 的正因数均为个，分别为和， 的正因数有个，分别为， 所以， ， 因为，所以. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 7．（23-24高二下·辽宁大连·期末）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”.如数列1，2第1次“差扩充”后得到数列1，-1，2，第2次“差扩充”后得到的数列.设数列经过第次“差扩充"后所得数列的项数为，所有项的和为. (1)若，求； (2)设满足的的最小值为，求出的值并求出关于的表达式（其中是指不超过的最大整数，如）； (3)若，设，在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)9；19 (2)， (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“差扩充"的定义可写出数列两次扩充后的结果，即得答案. （2）根据数列扩充后增加的项数可推出，构造等比数列求出，由即可求出的值，可得，方法一，可写出三次扩充的结果求得答案；方法二，根据扩充规律可得到是以为首项，为公差的等差数列，求出的表达式，可得答案； （3）结合（2）可得，从而推出，假设在数列中存在不同的三项成等比数列，利用等比数列性质推出矛盾，即可得结论. 【详解】（1）数列，经第1次“差扩充”后得到数列为， 数列6，5，4，经第2次“差扩充”后得到数列为， 所以， ； （2）数列经每1次“差扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 由数列经第次“差扩充”后的项数为，则经第次“差扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 由（1）得是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，所以， 由，即，解得，即， 所以， 求法一：数列经过第1次“差扩充”后得到数列， 经过第2次“差扩充”后得到数列， 经过第3次“差扩充”后得到数列， ， 即； 求法二：数列经过第1次“差扩充”后得到数列， ， 设数列经过第次“差扩充”后得到数列， 且，和为， 则经过第次“差扩充”后得到数列， 和为， 所以是以为首项，为公差的等差数列， ， 所以； （3）不存在,理由如下： 由（2）可得，当时，， ， 假设在数列中存在不同的三项（其中成等差数列）成等比数列， 则，即， 成等差数列，， 则，则，， ，与题设矛盾 所以在数列中不存在不同的三项成等比数列. 【点睛】关键点睛：本题是考查数列新定义类题目，此类题目比较新颖，解决起来有一定难度，解答的关键是要理解所给新定义的含义，并按照新定义去解答问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$