第04讲 数列求和（9大核心题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第04讲 数列求和 目录 题型一：重点考查倒序相加法 2 题型二：重点考查分组求和（形如） 2 题型三：重点考查分组求和（形如） 4 题型四：重点考查裂项相消法（等差型） 6 题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如） 8 题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如） 9 题型七：重点考查数列求和之错位相减法 11 题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和 14 题型九：重点考查其他方法求和 17 题型一：重点考查倒序相加法 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 精练核心考点 1．（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知，求. 题型二：重点考查分组求和（形如） 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 例题2．（23-24高一下·上海金山·期末）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 精练核心考点 1．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 题型三：重点考查分组求和（形如） 典型例题 例题1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）在数列中，，前n项和为，则 . 例题2．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 例题3．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前100项和． 精练核心考点 1．（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 . 2．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型四：重点考查裂项相消法（等差型） 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，且_________. 在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题： (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，求证：. 例题2．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 精练核心考点 1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前11项和. 2．（23-24高二上·河北衡水·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如） 典型例题 例题1．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 精练核心考点 1． （24-25高二上·全国·课后作业）数列的通项公式，则该数列的前n项和 ． 题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如） 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 例题2．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，数列的前项和为，证明：. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：. 精练核心考点 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的取值范围． 2．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（23-24高二下·四川成都·期中）记为数列的前n项和，且，. (1)求及数列的通项公式； (2)若，前n项和为，求的取值范围. 题型七：重点考查数列求和之错位相减法 典型例题 例题1．（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 例题2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 例题3．（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 精练核心考点 1．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； (1)求数列的通项公式； (2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 2．（2024·四川内江·三模）已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列满足. (1)求的通项公式. (2)求数列的前项和. 题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 例题2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 例题3．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 精练核心考点 1．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为，且. (1)求数列 的通项公式; (2)记 ，求数列 的前 项和 . 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列的前n项和. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前n项和. 3．（23-24高三上·湖北·期中）已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型九：重点考查其他方法求和 典型例题 例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前100项的和为 . 例题2．（23-24高二下·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 精练核心考点 1．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 2．（2023·山东·一模）已知正项数列的前项和为，且，． (1)求； (2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 数列求和 目录 题型一：重点考查倒序相加法 2 题型二：重点考查分组求和（形如） 4 题型三：重点考查分组求和（形如） 6 题型四：重点考查裂项相消法（等差型） 11 题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如） 14 题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如） 15 题型七：重点考查数列求和之错位相减法 20 题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和 25 题型九：重点考查其他方法求和 30 题型一：重点考查倒序相加法 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再根据等比中项的性质可得，又，再利用倒序相加可得解. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 例题2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【答案】C 【分析】根据对数运算法则可得，再利用等比数列性质和函数可得，利用倒序相加即可得. 【详解】由题意可知，，所以； 由等比数列性质可得； 又因为函数，所以， 即，所以； 令，则； 所以， 即. 故选：C 精练核心考点 1．（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用倒序相加法计算求解. 【详解】， 则 两式相加得 所以， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】1005. 【分析】由函数式计算出，然后倒序相加求和． 【详解】因为，所以， 所以.令， 倒写得. 两式相加得，故. 题型二：重点考查分组求和（形如） 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1），得， 所以， . 例题2．（23-24高一下·上海金山·期末）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为q，由已知条件列方程组求和，可得数列的通项公式，再由得的通项公式； （2）由数列的通项，利用分组求和，结合等差数列和等比数列的前项和公式求. 【详解】（1）设数列的公比为q，由已知， ， 则有，由，解得，所以； 由，得. （2）， 所以 . 精练核心考点 1．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，求解即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法可求. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 又是和的等比中项，所以， 解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以，所以 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）依题意可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 题型三：重点考查分组求和（形如） 典型例题 例题1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）在数列中，，前n项和为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列前n项和公式，结合分组求和法求解即得. 【详解】依题意，数列是等差数列，数列是等比数列， 所以 . 故答案为： 例题2．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，解得或， 因为，所以，则； （2）由（1）可得， 所以 . 例题3．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前100项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项， （2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 根据题意得即 解得或． 又因，所以． 所以的通项公式为． （2）由（1）得． 即数列的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列， 奇数项是以为首项，16为公比的等比数列． 数列的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项， 数列的前100项和． ， ． 所以． 精练核心考点 1．（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 . 【答案】240 【分析】根据数列的通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案. 【详解】由题意知，， 故数列的前30项和为 ， 故答案为：240 2．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 【答案】(1)数列的通项公式为； (2)数列的前20项和为. 【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式； （2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出. 【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得， 因为， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 故数列的通项公式为； （2）由题知， 即 所以 ， 故数列的前20项和为. 3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接根据等差数列，等比数列基本量的运算即可得结果； （2）分为奇数项和偶数项结合等差数列和等比数列的前项和即可得结果. 【详解】（1）由于等差数列的首项为1，公差 所以， 由数列为公比是2的等比数列且成等差数列， 知，解得， 所以. （2）由（1）知，， . 题型四：重点考查裂项相消法（等差型） 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，且_________. 在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题： (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差．若选①，根据等差中项求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得； （2）利用裂项相消法求和得，即可求证. 【详解】（1）由，得，得， 所以数列为等差数列，公差． 若选①，因为，所以，得， 所以，， 所以， 若选②，因为成等比数列，所以， 所以，所以， 所以，所以． 若选③，因为，所以， 所以， （2）， 所以， 又因为，所以． 例题2．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证. 【详解】（1）由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以 所以， 当时，单调递增，故． 精练核心考点 1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前11项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，； 经检验：满足，所以. （2）由（1）得：， 所以. 2．（23-24高二上·河北衡水·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列公差为，首项为，由题意列式求出，，即可求得数列的通项公式； （2）利用（1）的结论可得表达式，利用裂项相消求和法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以； （2）由（1）知， 所以 题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如） 典型例题 例题1．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列基本量的计算即可求解； （2）首先得，由裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 成等比数列， 则， 即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的通项公式，则该数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】借助裂项相消法计算即可得. 【详解】 ， 故 ． 故答案为：. 题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如） 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，然后由已知条件列方程组求出，从而可求出其通项公式； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列的公差为， 由题意可得，解得 ； （2）由（1）可知 ， . 例题2．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用等差数列的定义证明所给数列是等差数列. （2）根据（1）的结论，转化成由与的关系求通项公式. （3）利用裂项求和法求，再比较与的大小. 【详解】（1）证明：将两边同时除以，得． 当时，， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得，则．① 当时，．② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以． （3）证明：由（2）得， 所以 因为，所以 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用退位作差法得到(注意讨论的情况是否符合该式)，可以构造并证明公比为3的等比数列；写出的通项公式，得到. （2）写出，利用裂项相消法结合条件即得. 【详解】（1）解：当时， ，，则. 当时，因为，所以， 两式相减，得，所以； 当时，，，， 所以，也适合上式， 所以，即是首项为5，公比为2的等比数列， 故，故. （2）证明：由（1）得， 故， 当时，，故. 精练核心考点 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的基本量计算即可求解； （2）裂项相消法求得，再利用数列单调性即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 由成等差数列可得，故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 故， 又因为为递增数列，则，又当时， 所以，故. 2．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等比数列求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，当时，，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得：， 所以. 3．（23-24高二下·四川成都·期中）记为数列的前n项和，且，. (1)求及数列的通项公式； (2)若，前n项和为，求的取值范围. 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）由的关系，消去得到的递推关系，构造等比数列即可得解； （2）利用裂项相消法求出和，根据单调性分析范围即可. 【详解】（1）由可得，，解得， 当时，由可得， 两式相减可得，即， 可化为， 故数列是首项为3，公比为3的等比数列， 则，可得. （2）由， 所以， 由为递增数列可知，，又，所以， 所以的取值范围为. 题型七：重点考查数列求和之错位相减法 典型例题 例题1．（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式计算得出通项； （2）应用错位相减法求出数列的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得，解得， 所以． （2）设， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以，所以． 例题2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 例题3．（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，， ∴， ∴. ∴. 设等比数列的公比为， 若选条件①，， 由，且， 得， ∴，解得. 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 故. 若选条件②，， 令，得， ∴公比， ∴数列是首项为2，公比为2的等比数列. 从而. （2）因为， 所以， 两式相减，得， 即， 所以. 精练核心考点 1．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； (1)求数列的通项公式； (2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，在根据，作差得到，结合等比数列的定义计算可得； （2）依题意可得，则，再利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）因为是与的等差中项，可得， 当时，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为， 可得数列是首项和公比均为的等比数列， 所以； （2）若是以为首项，为公差的等差数列， 则， 可得， 数列的前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 2．（2024·四川内江·三模）已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知结合等比数列的性质求解等差数列的首项，即可求解，由得，两式相减得，再验证，最后利用等比数列的定义求解即可. （2）利用错位相减法求解数列的和即可. 【详解】（1）依题意，设等差数列的首项为，因为，，成等比数列， 所以，又，即，解得， 故， 由已知，故， 两式相减，得， 又，解得，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故. （2）由（1）得， 故， 则， 两式相减得 ， 故. 3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列满足. (1)求的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用累乘法可求得通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得前项和. 【详解】（1）因为， 所以，，，……，， 所以， 所以，得； （2）由（1）得， 令数列的前项和为，则 所以， 所以 ， 所以 所以数列的前项和为. 题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）解：因为在等差数列中，公差，其前项和为，，且， 则，① 由可得，可得，② 联立①②可得，， 所以，. （2）解：因为， 当时，且； 当时，. 综上所述，. 例题2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，210； (2)212. 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合性质求出公差及首项即可得解. （2）由（1）求出数列的通项公式，判断项的正负，再结合（1）的结论求解即得. 【详解】（1）等差数列的前项和为，由，得，解得， 由，得，解得，则，公差， 因此，对称轴为，因为，则当或时，， 所以，的最大值为210. （2）由（1）知，，则， 所以 . 例题3．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）先判断数列各项的符号，再根据其符号分类讨论求解即可. 【详解】（1）由， 当时，， 当时，，满足上式， 综上，； （2）令，得，解得， 令，得，解得， 则当时，， 当时， ， 综上所述，. 精练核心考点 1．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为，且. (1)求数列 的通项公式; (2)记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前 项和公式、通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式. （2）由 ，得 ，当 时，，此时 ; 当 时，，此时 ，由此能求出结果. 【详解】（1）设数列 的公差为， 由 ， 得 ， 解得 ， . （2）由 ，得 当 时，， 此时 当 时，， 此时 ， 所以. 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列的前n项和. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据和的关系求出数列的通项公式；再根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列 （2）由通项公式可知：当时.分两种情况，根据等差数列的前n项和即可解答. 【详解】（1）证明： 当时，； 当时，； 经验证当时上式成立， 所以. 因为（常数） 所以数列是等差数列. （2）由(1)知： . 令，则. 因为， 所以当时，； 当时，； 综上所得： 3．（23-24高三上·湖北·期中）已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）分和两种情况求和. 【详解】（1）设的公差为，则：， . （2）， 令， 当时，， ， 当时，， 综上所述：. 题型九：重点考查其他方法求和 典型例题 例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知数列的前项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前100项的和为 . 【答案】319 【分析】先求出数列的通项公式，根据数列的通项公式结构特征即可求解. 【详解】，， 则当时，， 于是得，即， 而，即， 因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，， 因为数列在区间内的项的个数， 则有， ， ， ， 所以数列的前100项的和为. 故答案为：319. 例题2．（23-24高二下·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 【答案】(1)34 (2) 【分析】（1）根据定义求出，再求； （2）由定义得，再求即可. 【详解】（1）由题意可得时，， 故； （2）当时，代入公式可得， 且， 故当时， 时，，代入上式也成立. 综上，. 精练核心考点 1．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可； （2）求出前12项的每一项，最后求和即可. 【详解】（1）当时，，①， 所以当时，②， ①②得， 即也满足该式，所以. （2）由（1）知， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依次类推，可知. 所以数列的前12项和为. 2．（2023·山东·一模）已知正项数列的前项和为，且，． (1)求； (2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）当时，利用累加法可求得的表达式，结合可得出的表达式，再检验的情形，综合可得出的通项公式； （2）由求出数列的通项公式，列举出数列的前项，即可求得的值. 【详解】（1）解：对任意的，因为， 当时， ， 因为，所以，故． 当时，适合， 所以，． （2）解：因为，， 所以当时，， 所以，， 所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 所以的前项是由个与个组成．所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$