第01讲 等差数列（14大核心题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第01讲 等差数列 目录 题型一：重点考查判断等差数列 1 题型二：重点考查由递推关系证明数列是等差数列 2 题型三：重点考查等差中项 3 题型四：重点考查利用等差数列性质计算 3 题型五：重点考查等差数列的应用 4 题型六：重点考查等差数列的单调性 5 题型七：重点考查等差数列中的最大（小）项 6 题型八：重点考查等差数列中基本量计算 7 题型九：重点考查等差数列前项和中基本量计算 8 题型十：重点考查等差数列前项和片段和性质 9 题型十一：重点考查两个等差数列前项和比的问题 10 题型十二：重点考查等差数列前项和最值问题 11 题型十三：重点考查根据等差数列前项和最值求参数 13 题型十四：重点考查含绝对值的数列求和 13 题型一：重点考查判断等差数列 典型例题 例题1．（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，， 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式，并判断它是不是等差数列． 精练核心考点 1．（2024高二·重庆·学业考试）下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高二·全国·专题练习）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 3．（23-24高二·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等差数列： (1)1，1，1，1，1； (2)4，7，10，13，16； (3) －3，－2，－1，1，2，3． 题型二：重点考查由递推关系证明数列是等差数列 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）设是等差数列的前项和，且为常数，则 ． 例题2．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知数列满足，，则 . 精练核心考点 1．（23-24高三上·贵州铜仁·期末）已知数列满足，且，则 ． 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ． 题型三：重点考查等差中项 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东日照·期中）已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 例题2．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，若与的等差中项是2，则的最小值为 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ． 题型四：重点考查利用等差数列性质计算 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）等差数列中，若，为方程的两根，则等于（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 例题2．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 例题3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知各项不为0的等差数列满足，则等于（    ） A．1 B．8 C．4 D．2 2．（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．（23-24高二下·海南·期中）在等差数列中，若，则 . 题型五：重点考查等差数列的应用 典型例题 例题1．（23-24高二下·广西钦州·阶段练习）在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 精练核心考点 1．（23-24高三上·贵州毕节·期中）已知数列是公差为1的等差数列，且，则 . 2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在等差数列中，已知，则 ． 题型六：重点考查等差数列的单调性 典型例题 例题1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2024·北京海淀）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）（23-24高二·全国·课后作业）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型七：重点考查等差数列中的最大（小）项 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 例题2．（多选）（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 例题3．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 精练核心考点 1．（23-24高二·全国·课后作业）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（    ）． A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定 2．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期末）在等差数列中，若，,则（    ） A． B． C．的最大值为15 D．的最大值为25 3．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知正项等比数列满足条件，． (1)求的通项公式； (2)设，求的最大值． 题型八：重点考查等差数列中基本量计算 典型例题 例题1．（2024·湖南·三模）已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为，则这个多边形的边数为（    ） A．4 B．6 C．23 D．6或23 例题2．（24-25高二下·全国·期末）等差数列的首项，且，则（   ） A．4044 B．4045 C．4046 D．4047 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，． (1)求数列的第10项； (2)112是数列的第几项？ (3)80到110之间有多少项？ 精练核心考点 1．（23-24高二下·福建福州·期末）在等差数列中，，则（    ） A．7 B．11 C．14 D．16 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，，是关于项数n的一次函数． (1)求的通项公式，并求； (2)若是由组成的，试写出的一个通项公式． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 题型九：重点考查等差数列前项和中基本量计算 典型例题 例题1．（23-24高二下·广西柳州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 例题2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 2．（23-24高二下·河南南阳·期中）是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中． (1)，，，求n和d； (2)，，求和d． 题型十：重点考查等差数列前项和片段和性质 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 例题2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 例题3．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（    ） A．130 B．150 C．180 D．210 2．（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列中， ， ， （    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则 题型十一：重点考查两个等差数列前项和比的问题 典型例题 例题1．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 例题3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么 ． 题型十二：重点考查等差数列前项和最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·全国·课堂例题）若数列为等差数列，为前n项和，，，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．和均为的最大值 例题2．（多选）（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．使成立的的最大值为62 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值，并求当取得最小值时n的值. 精练核心考点 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（多选）（23-24高二下·河南濮阳·期中）设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是17 3．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，， (1)求 (2)当取最大值时，求的值 题型十三：重点考查根据等差数列前项和最值求参数 典型例题 例题1．（23-24高三上·山东青岛·期末）是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 例题2．（2014·江西·高考真题）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围 ． 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 2．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 题型十四：重点考查含绝对值的数列求和 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 例题2．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 精练核心考点 1．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和． 2．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 等差数列 目录 题型一：重点考查判断等差数列 1 题型二：重点考查由递推关系证明数列是等差数列 4 题型三：重点考查等差中项 5 题型四：重点考查利用等差数列性质计算 7 题型五：重点考查等差数列的应用 9 题型六：重点考查等差数列的单调性 10 题型七：重点考查等差数列中的最大（小）项 12 题型八：重点考查等差数列中基本量计算 15 题型九：重点考查等差数列前项和中基本量计算 18 题型十：重点考查等差数列前项和片段和性质 21 题型十一：重点考查两个等差数列前项和比的问题 23 题型十二：重点考查等差数列前项和最值问题 26 题型十三：重点考查根据等差数列前项和最值求参数 29 题型十四：重点考查含绝对值的数列求和 31 题型一：重点考查判断等差数列 典型例题 例题1．（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 例题2．（多选）（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，， 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果. 【详解】根据等差数列的定义，可得： A中，满足(常数)，所以是等差数列； B中，满足(常数)，所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足(常数)，所以是等差数列. 故选：ABD. 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式，并判断它是不是等差数列． 【答案】；数列不是等差数列 【分析】根据和的关系求解数列的通项即可，进而根据等差数列的定义判断其是否为等差数列. 【详解】当时，， 当时，． 又不满足， ∴数列的通项公式是 ∵， ∴数列中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴数列不是等差数列，数列是从第二项起以2为公差的等差数列． 精练核心考点 1．（2024高二·重庆·学业考试）下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 2．（多选）（2024高二·全国·专题练习）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果. 【详解】根据等差数列的定义，可得： A中，满足(常数)，所以是等差数列； B中，满足(常数)，所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足(常数)，所以是等差数列. 故选：ABD. 3．（23-24高二·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等差数列： (1)1，1，1，1，1； (2)4，7，10，13，16； (3)－3，－2，－1，1，2，3． 【答案】(1)是等差数列 (2)是等差数列 (3)不是等差数列 【分析】（1）根据等差数列的定义判断； （2）根据等差数列的定义判断； （3）根据等差数列的定义判断． 【详解】（1）根据等差数列的定义可知，所给数列是首项为1，公差为0的等差数列． （2）根据等差数列的定义可知，所给数列是首项为4，公差为3的等差数列． （3）因为，所以这个数列不是等差数列． 题型二：重点考查由递推关系证明数列是等差数列 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）设是等差数列的前项和，且为常数，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知条件，结合通项公式，依次求出关于的等式，再通过作差，即可求解． 【详解】解：当时，， 即，即． 因为， 所以当时，， 两式相减得， 所以，两式相减得． 因为数列为等差数列， 所以数列的公差，故， 解得． 例题2．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知数列满足，，则 . 【答案】/0.5 【分析】等式两侧取倒数可得数列为公差为2的等差数列，即可根据求得. 【详解】由得，∴数列是公差为2的等差数列，则. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高三上·贵州铜仁·期末）已知数列满足，且，则 ． 【答案】/ 【分析】化简可得，则，进而得到. 【详解】由，得，且， 则是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，故， 故答案为：. 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】首先根据递推公式变形得到，再根据等差数列的定义求数列的通项公式，变形后求的值. 【详解】由题意，易知， 由，两边取倒数得，即， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 所以，即， 则. 故答案为：. 题型三：重点考查等差中项 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东日照·期中）已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据等差中项的概念求值. 【详解】由题意：. 故选：D 例题2．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，若与的等差中项是2，则的最小值为 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为与的等差中项是2，可得， 即，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项的定义求解. 【详解】由等差中项的定义得： 则a，b的的等差中项为： ， ． 故选：A． 2．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ． 【答案】3 【分析】根据等差中项的定义求解． 【详解】与的等差中项为． 故答案为：3. 题型四：重点考查利用等差数列性质计算 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）等差数列中，若，为方程的两根，则等于（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】B 【分析】根据韦达定理求得，然后利用等差数列下标和的性质求解即可. 【详解】∵，为方程的两根，∴， 由等差数列的性质得，即， ∴. 故选：B 例题2．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【答案】B 【分析】根据下标和性质计算可得. 【详解】因为，且，所以， 又，所以， 又，所以，解得. 故选：B 例题3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据公差不为0的等差数列满足，结合等差数列的下标和定理得出，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1， 故选：B． 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知各项不为0的等差数列满足，则等于（    ） A．1 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据等差数列项的性质计算即可 【详解】由等差数列得，解得或． 因为各项不为0，所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】直接由等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 3．（23-24高二下·海南·期中）在等差数列中，若，则 . 【答案】4 【分析】根据等差数列的下标和性质即可求解. 【详解】在等差数列中，， 所以，则. 故答案为： 题型五：重点考查等差数列的应用 典型例题 例题1．（23-24高二下·广西钦州·阶段练习）在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质运算求解. 【详解】在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则这个数列共有项， 设该数列的公差为d，则. 故选：B. 例题2．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据等差数列下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则， 所以. 故答案为：3. 精练核心考点 1．（23-24高三上·贵州毕节·期中）已知数列是公差为1的等差数列，且，则 . 【答案】// 【分析】利用等差数列通项公式的性质即 即可得 【详解】由数列是公差为1的等差数列，且可得， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在等差数列中，已知，则 ． 【答案】20 【分析】根据等差数列的下标和性质运算求解. 【详解】∵数列为等差数列，则，可得， ∴. 故答案为：20. 题型六：重点考查等差数列的单调性 典型例题 例题1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 例题2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 精练核心考点 1．（2024·北京海淀）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性. 【详解】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B 2．（多选）（23-24高二·全国·课后作业）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断. 【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为． 由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立； 若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立． 故选：ABC． 题型七：重点考查等差数列中的最大（小）项 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解. 【详解】 由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 例题2．（多选）（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件求出的值，利用等差数列的求和公式可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；求出的最小值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，故当或时，取最小值，C错； 对于D选项，， 故当时，取得最大值，D对. 故选：ABD. 例题3．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值，最大值3，理由见解析 【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明 （2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解 【详解】（1）证明：因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 精练核心考点 1．（23-24高二·全国·课后作业）等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（    ）． A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案 【详解】因为，， 由等差数列的性质可得， 所以，所以该数列的公差， 所以绝对值最小的项在0附近的项中取得， 因为，所以， 所以绝对值最小的项为， 故选：C 2．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期末）在等差数列中，若，,则（    ） A． B． C．的最大值为15 D．的最大值为25 【答案】ABC 【分析】根据题意求得数列的首项和公差，可判断A;结合等差数列的通项公式判断C;利用等差数列前n项和公式，判断 ，可得答案. 【详解】在等差数列中，，, 设公差为d，则，故A正确； ，B正确； ，故的最大值为，C正确； 由以上分析可知等差数列为递减数列， 且当时，；当时，， 故的最大值为，D错误， 故选： 3．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知正项等比数列满足条件，． (1)求的通项公式； (2)设，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式进行求解即可. （2）利用二次函数的思想求的最大值． 【详解】（1）设的公比为q， 由题意得，所以， ， 所以，． 所以． （2）． 二次函数的图象的对称轴为， 故当或11时，取得最大值，且最大值为． 题型八：重点考查等差数列中基本量计算 典型例题 例题1．（2024·湖南·三模）已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为，则这个多边形的边数为（    ） A．4 B．6 C．23 D．6或23 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式，建立方程求得多边形的边数. 【详解】由题意可知：，则， 即，得，解得：或. 当时，不合题意； 故选：B. 例题2．（24-25高二下·全国·期末）等差数列的首项，且，则（   ） A．4044 B．4045 C．4046 D．4047 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式，把转化成d的等式解出d，然后求出. 【详解】因为是等差数列， 所以, 又， 所以，解得, 所以， 故选:B. 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，． (1)求数列的第10项； (2)112是数列的第几项？ (3)80到110之间有多少项？ 【答案】(1)25 (2)第39项 (3)10项． 【分析】（1）借助等差数列的性质可得其首项与公差，即可得其第10项； （2）由其首项与公差可计算出数列通项公式，再代入计算即可得解； （3）借助数列通项公式得出不等式后计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为d，则，解得， 则； （2），由，解得． 所以112是数列的第39项． （3）由，解得， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项． 精练核心考点 1．（23-24高二下·福建福州·期末）在等差数列中，，则（    ） A．7 B．11 C．14 D．16 【答案】C 【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出，从而得到. 【详解】设公差为，则， 所以 故. 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，，是关于项数n的一次函数． (1)求的通项公式，并求； (2)若是由组成的，试写出的一个通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设通项公式列方程组计算求出通项，再求数列的项； （2）根据已知列出数列的项归纳求出. 【详解】（1）设，则解得，∴，∴． （2）∵为5，9，13，17，…，∴． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【分析】（1）由，结合，求出公差，再利用，把代入求出； （2）由，把，公差，，代入求出； （3）由，把，，代入得到关于的方程组，求解即可得到的通项公式. 【详解】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 题型九：重点考查等差数列前项和中基本量计算 典型例题 例题1．（23-24高二下·广西柳州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式及性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 而，由，得. 故选：D 例题2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】A 【分析】先由等差数列前n项和公式求出，进而求出公差d，再由等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】由题结合等差数列性质有，， ， 设等差数列的公差为，则，， 故. 故选：A. 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式及项的性质化简后，代入即得； （2）利用等差数列的片段和的性质得到新的等差数列，由等差数列的前项和公式求出新数列的公差，通过求新数列的第11项即可求出. 【详解】（1）∵为等差数列，∴，， ∴． （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为， 即（*）．又∵，代入（*）式，解得， ∴，． 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列前项和公式， 得：，， 又， ， 即， 又， ， 由此可知，数列是单调递减数列， 点在开口向下的抛物线上， 又， 点与点关于直线对称， 当或时，最大. 故选：C 2．（23-24高二下·河南南阳·期中）是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，即可求解． 【详解】由，， 可得且，即且， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中． (1)，，，求n和d； (2)，，求和d． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程解出； （2）根据等差数列的求和公式和通项公式列方程解出． 【详解】（1）， ． ， ． （2），． ， ． 题型十：重点考查等差数列前项和片段和性质 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和分段和的性质计算即可求值. 【详解】∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴， ∴，∴． 故选:C. 例题2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 例题3．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可. 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（    ） A．130 B．150 C．180 D．210 【答案】C 【分析】由等差数列片段和的性质即可求解. 【详解】等差数列的前项和中，也成等差数列， 即成等差数列，． 故选：C． 2．（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列中， ， ， （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列性质可知，，仍为等差数列，代入即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 在等差数列中，，仍为等差数列， 所以， 所以． 故选：C． 3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则 【答案】81 【分析】根据等差数列的性质和等差中项的性质得到，然后解方程即可. 【详解】根据等差数列的性质可得，，成等差数列， 所以，即，解得. 故答案为：81. 题型十一：重点考查两个等差数列前项和比的问题 典型例题 例题1．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和的性质及和与项的关系即可求解. 【详解】由，可得， 因为数列，都是等差数列， 所以不妨令， 所以， ， 所以. 故选：C 例题2．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为和，且， 所以. 故选：C 例题3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 【答案】 【分析】根据设出的二次形式，由此求得，即可化简得到结果. 【详解】因为等差数列和的前n项和分别为和， 故可设， 所以， 所以. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D 2．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果. 【详解】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论） 同理因为为等差数列的前项和，所以可设． 又，所以，即， 整理得，解得． 不妨设，则，则，故， 故选：D． 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么 ． 【答案】/0.75 【分析】给出的两个数列为等差数列，把转化为两数列的前7项和的比得答案． 【详解】数列，均为等差数列，且其前项和分别为，， ． 故答案为：． 题型十二：重点考查等差数列前项和最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·全国·课堂例题）若数列为等差数列，为前n项和，，，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．和均为的最大值 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】依题意，设等差数列的公差为， 由，得， 对于A，由，A正确； 对于B，由，B正确； 对于C，由，，C错误； 对于D，由，可得数列为递减数列，且，则， 所以和均为的最大值，D正确. 故选：C 例题2．（多选）（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．使成立的的最大值为62 【答案】AC 【分析】由题意可知，，，结合等差数列求和公式可判断A，B，D；由可判断C. 【详解】由题意可知，故A正确； 又，所以，故B不正确； 即，所以当时，取得最小值，故正确； 因为， 所以， 所以使成立的的最大值为61，故D不正确． 故选：AC． 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值，并求当取得最小值时n的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可求出通项公式； （2）先求出，再根据二次函数的性质可得取得最小值. 【详解】（1）若选择①： 设等差数列的公差为d，由可得； 又，得，即， 解得，， 所以； 即数列的通项公式为. 若选择②： 设等差数列的公差为d，由可得； 又，即，得； 解得，， 所以； 即数列的通项公式为. （2）若选择①： 由可得，， 根据二次函数的性质可得当时，为最小值， 即当时，取得最小值，且最小值为. 若选择②： 由可得，， 根据二次函数的性质可得当或时，为最小值， 即当或时，取得最小值，且最小值为. 精练核心考点 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解. 【详解】等差数列中，，，则， 因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正， 所以当取得最小值时，. 故选：B 2．（多选）（23-24高二下·河南濮阳·期中）设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是17 【答案】ABC 【分析】利用等差数列的性质及求和公式一一判定选项即可. 【详解】对于A，因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 对于B，由上知显然当时，取得最大值，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：ABC 3．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，， (1)求 (2)当取最大值时，求的值 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将已知条件用等差数列的首项和公差表示，解方程组得到首项和公差，从而求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质，即可判断出取最大值时的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得，所以. （2）， 所以当取最大值时，或. 题型十三：重点考查根据等差数列前项和最值求参数 典型例题 例题1．（23-24高三上·山东青岛·期末）是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由已知结合等差数列的性质可得：，，，然后分情况考虑，结合等差数列的通项公式可求. 【详解】由题意得，时，取得最大值，所以有，，， 若，则， 若，，则，有， . 故选：D 例题2．（2014·江西·高考真题）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意列出不等式组求解即可． 【详解】由题意得：，所以，解得， 故答案为：． 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知得出，公差，然后分和两种情况讨论. 【详解】由题意知是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差， 若，此时，，是等差数列的前项和中的最小值， 此时，即，则； 若，，此时是等差数列的前项和中的最小值， 此时，，即， 则， 综上可得：的取值范围是， 故答案为：． 2．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 题型十四：重点考查含绝对值的数列求和 典型例题 例题1．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、求即可. 【详解】（1）时，， 时，， 又， 所以； （2）由（1）， 当时，， 当时， ， . 例题2．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件，列出关于首项和公差的方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，分和两种情况，去绝对值，再求. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可知，，， 所以，解得：，， 所以； （2）由（1）可知，，，当时，， 所以当时， ， 当时， ， ， ， 所以. 精练核心考点 1．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合和与项的递推关系先求出，然后结合等差数列的定义即可证明； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以时，， 当时，适合上式， 故， 所以时，， 故数列是以为首项，以2为公差的等差数列； （2）， 当时，， 则 当时， ， 故. 2．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)，数列是等差数列，理由见解答 (2) 【分析】（1）当时，求得，当时，利用，可求得，进而可得数列是等差数列； （2）令，解得且，分与两种情况计算可得的值. 【详解】（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$