精品解析：2024年山东省潍坊市初中学业水平考试模拟试题（四）

参照秘密级管理※启用前 试卷类型：A 2024年山东省潍坊市初中学业水平考试数学模拟试题（四） 注意事项∶ 1．本试题满分 150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要错位置． 第I卷(选择题共44分) 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分，每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 计算：（ ） A. B. 6 C. D. 8 2. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数a在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　） A. 度量窗户的两个角是否是 B. 测量窗户两组对边是否分别相等 C. 测量窗户两条对角线是否相等 D. 测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 5. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（ ）．（结果保留根号） A. B. C. D. 6. 如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法不正确的是（　　） A. 该函数的最大值为6 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，对应的函数值 D. 当和时，对应的函数值相等 二、多项选择题(共4小题，每小题5分，共20分，每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分) 7. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下： 下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 8. 下列计算正确的是（     ） A. B. C. D. 9. 如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，点在对角线上，过点作，交边于点，过点作交于点，连接．下列结论正确的是（ ） A. B. 四边形的面积不变 C. 当时， D. 的最小值是20 第Ⅱ卷(非选择题共106分) 三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果) 11. 分解因式：__________． 12. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为______． 13. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足次的概率是_____． 14. 如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为___________． 四、解答题(共8小题，共90分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）先化简，再求值：，其中； （2）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值． 16. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接．当时，求的长． 17. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 18. 小颖妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小颖帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 小颖将调查数据按照一定顺序做出了重新整理，并填写在下表中， 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 （1）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系． （2）根据以上信息，小颖妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 19. 某中学九年级共有600名学生，为了了解学生信息技术操作水平，学校教学研究中心从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试． 【数据的收集】被抽取的20名学生的信息技术测试成绩（单位：分）如下： 81    90    82    89    99    95    91    83    92    93 87    92    94    88    92    87    100    86    85    96 【数据的整理与分析】 （1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图； （2）①这组数据的中位数是______；这组数据的众数是 ． ②分析数据分布的情况（写出一条即可）_________； （3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数． 20. 如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且． （1）求证：DE是的切线； （2）若点F是OA的中点，，，求EC的长． 21. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度． （1）如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______； （2）小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由； （3）经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理※启用前 试卷类型：A 2024年山东省潍坊市初中学业水平考试数学模拟试题（四） 注意事项∶ 1．本试题满分 150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要错位置． 第I卷(选择题共44分) 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分，每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 计算：（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A 【点睛】此题考查了有理数乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 2. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 3. 已知数a在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴、不等式的性质，先根据数轴得出，根据不等式的性质得出，即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　） A. 度量窗户的两个角是否是 B. 测量窗户两组对边是否分别相等 C. 测量窗户两条对角线是否相等 D. 测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定的应用，掌握矩形判定方法是关键；根据矩形的判定即可解答． 【详解】解：A、度量窗户的两个角是否是，不能保证窗户是矩形； B、测量窗户两组对边是否分别相等，只能保证是平行四边形，不能保证是矩形； C、测量窗户两条对角线是否相等，无法保证是矩形； D、测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等，根据对角线相互平分且相等的四边形是矩形，保证是矩形； 故选：D． 5. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（ ）．（结果保留根号） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键． 因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段的长度，最后根据即可得出结论． 【详解】点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点， ， ， 支撑点之间的距离为． 故选：A． 6. 如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法不正确的是（　　） A. 该函数的最大值为6 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，对应的函数值 D. 当和时，对应的函数值相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获得有效信息是解题关键．根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案． 【详解】解：由图象可知： A．该函数的最大值为6，原说法正确，故本选项不合题意； B．当时，随的增大而增大，原说法正确，故本选项不合题意； C．设时，，则， 解得， ， 当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项符合题意； D．设时，，则， 解得， ， 当时，； 设时，， 则， 解得， ， 当时，， 当和时，对应的函数值都等于4， 当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C 二、多项选择题(共4小题，每小题5分，共20分，每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分) 7. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下： 下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：．这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项符合题意； ．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为，故该选项不符合题意； ．这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项符合题意； ．箱线图左边缘是3，右边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项符合题意； 故选：ACD 8. 下列计算正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，根据各自的运算法则一一计算并判断． 【详解】解：．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项不符合题意； 故选：BD． 9. 如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查动点的图象，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，则B选项正确； 即： 解得：，A选项正确； 当时，点P在上， ，C选项错误； 当时，点P在上， ，D选项正确； 故选：ABD． 10. 如图，矩形中，，，点在对角线上，过点作，交边于点，过点作交于点，连接．下列结论正确的是（ ） A. B. 四边形的面积不变 C. 当时， D. 的最小值是20 【答案】BCD 【解析】 【分析】A、根据线段垂直平分线的性质判断即可；B、先根据相似三角形的判定与性质求出四边形对角线的长，再根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；C、根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；D、先根据轴对称确定最小值的位置，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：A、， 要使，需要，而不一定是的中点， 故选项不符合题意． B、如图，延长交于， 在矩形中，， ，， ， ， 又， ， ， 即：， 解得：， ∴四边形的面积为：， 故选项符合题意． C、， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选项符合题意． D、， 当最小时，的值最小， 如图，作关于的对称点，延长到点，作，连接， 由对称的性质得，， 又，， ， ， 当三点共线时，的值最小， 此时同理可得， ，而， ， 又， 四边形是平行四边形， 设， 在中，， ， ， 解得， ， ， 即的最小值是12.5+7.5＝20， 故选项符合题意． 故答案为：BCD． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 第Ⅱ卷(非选择题共106分) 三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果) 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 12. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 13. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数（单位：次），按劳动次数分为组：，，，，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足次的概率是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查直方图，求概率，利用概率公式进行计算即可，解题的关键是读懂题意，从直方图中获取信息． 【详解】由题意，得：， 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．利用轴对称的性质，得出当点D移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，进行计算即可． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点，连接、， ∵点D和点关于直线成轴对称， ∴， 当点C和点重合时，即点A、三点共线时，的值即为的值最小，则：， 由题意得，， ， ，的长， ∴阴影部分周长的最小值为． 故答案为：． 四、解答题(共8小题，共90分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）先化简，再求值：，其中； （2）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值． 【答案】（）；；（）或． 【解析】 【分析】（）先利用平方差，完全平方公式化简，然后合并同类项即可； （）根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解； 本题考查了整式的运算和解不等式组，熟练掌握运算法则及解法是解题的关键． 【详解】（）解：原式 ， 当， ∴原式； （）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴， ∵所有整数解的和为， ∴不等式组的整数解为，，，或，，，，，，， ∴或， ∴或， ∵为整数， ∴或． 16. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接．当时，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，再证明四边形是菱形，计算即可． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数值的应用，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键． 17. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为； 【解析】 【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：过作，垂足为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵的长为，高为， ∴． ∴在中，()． ∵，， ∴． ∴． ∴设． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 即信号塔的高为． ∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键． 18. 小颖妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小颖帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 小颖将调查数据按照一定顺序做出了重新整理，并填写在下表中， 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 （1）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系． （2）根据以上信息，小颖妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 【答案】（1） （2）①25元或35元 ②30元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用及一元二次方程的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键． （1）根据表格数据，进行求解即可； （2）①设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；②设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格可知销售量是售价的一次函数； 设销售量为y盆，售价为x元，， 把代入得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①∵每天获得400元的利润， ∴， 解得或， ∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元； ②设每天获得的利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴当时，w取最大值450， ∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元． 19. 某中学九年级共有600名学生，为了了解学生信息技术操作水平，学校教学研究中心从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试． 【数据的收集】被抽取的20名学生的信息技术测试成绩（单位：分）如下： 81    90    82    89    99    95    91    83    92    93 87    92    94    88    92    87    100    86    85    96 【数据的整理与分析】 （1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图； （2）①这组数据的中位数是______；这组数据的众数是 ． ②分析数据分布的情况（写出一条即可）_________； （3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数． 【答案】（1） 频数分布直方图，如图； （2）①；92 ②测试成绩分布在的较多（不唯一） （3）480人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据极差和组距，可以判断组数，确定分点后，列频数分布表进行统计即可；再将频数分布表中的数据用频数分布直方图表示出来，最后从图表中观察整体的情况，得出结论； （2）①根据中位数及众数的定义求解即可；②根据频数分布直方图即可解答； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：数据从小到大排列：81、82、83、85、86、87、87、88、89、90、91、92、92、92、93、94、95、96、99、100 最大值是100，最小值为81，极差为，若组距为5，则分为4组， 频数分布表 成绩分组 划记 频数 4 6 7 3 【小问2详解】 解：①中位数是；由（1）数据92出现了3次，最多，故众数为92． 故答案为；92； ②测试成绩分布在的较多（不唯一）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人． 20. 如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且． （1）求证：DE是的切线； （2）若点F是OA的中点，，，求EC的长． 【答案】（1） 证明：如图，连结OC， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴DE是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连结OC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证，即可由切线的判定定理得出结论； （2）解，求出，从而求得，则可求得，再证，得，即可求得，即可由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点F为AO中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 21. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度． （1）如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______； （2）小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由； （3）经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由． 【答案】（1）； （2）解：理由如下： 如下图， 解：∵小丽滑动矩形，使得恰为边的中点， ∴，， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3） 解：小丽的猜想正确，当时，总成立，理由如下： 如下图，取的中点，连接、， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵恰为边的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∴， ∴小丽的猜想正确． 【解析】 【分析】（1）证，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解； （2）证得，同理可得，由，，得，进而有，再根据矩形的性质即可得证； （3）当时，取的中点，连接、，由，恰为边的中点，得，进而证，得，于是有，由平行线分线段成比例得，同理可证：，于是有，从而即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴即， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，比例的性质，平行线的判定及性质以及中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形OCPQ是平行四边形，理由如下： ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）略 （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $