第04讲 二次函数的应用（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第04讲 二次函数的应用（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．二次函数的应用 1．（2023秋•蒙城县期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为　　 A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 2．（2022•和县一模）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的处，则小丁此次投掷的成绩是 　 　米． 3．（2023•定远县校级模拟）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）求高架桥两端的，的距离； （3）如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元米，其余部分广告牌的价格为160元米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 题型二．二次函数综合题 4．（2020秋•大观区校级月考）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为　　 A． B．1 C．5 D．8 5．（2023秋•合肥月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）的度数是 　　； （2）若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点，则的长的最大值是 　　． 6．（2024•淮北三模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）如图①，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标； （3）如图②，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接交直线于点，求的最大值． 分层练习 一、单选题 1．（2020·安徽淮北·一模）据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 3．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽阜阳·三模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（    ） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 6．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为（    ） A．6米 B．5米 C．米 D．4米 8．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 9．（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 二、填空题 11．（19-20九年级上·安徽合肥·期中）某水果店销售一批水果，平均每天可售出，每千克盈利元，经调查发现，每千克降价元，商店平均每天可多售出水果，则商店平均每天的最高利润为 元 12．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是 ． 13．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 14．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽 米．    三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设． (1)若矩形的面积为，求的长； (2)当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 16．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车辆．公司在经营中发现每辆车的月租金（元）与每月租出的车辆数（辆）有如下关系： （元） （辆） (1)观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数（辆）与每辆车的月租金（元）之间的关系式； (2)若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元． 17．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向C点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为x秒，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)y的值能否取14？若能，求对应的x的值；若不能，请说明理由． 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 19．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 20．（2024·安徽·模拟预测）在水平的地面上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆以点B为坐标原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，得到图①．已知电线杆之间电线的形状可近似地看成抛物线． (1)求电线最低点离地面的距离； (2)因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆： ①如图②，若将电线杆增设在距离为3米处，且使左侧抛物线的最低点与的距离为1米，离地面1.8米，求的长； ②如图③，若将一根长为3米的电线杆增设在线段之间的位置上，使右边抛物线的二次项系数始终是0.25，设电线杆离的距离为m米，抛物线的最低点离地面的距离为k米，当时，求k的取值范围． 21．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1是某文艺舞台背景装饰架的示意图，它是以支架为对称轴的轴对称图形（支架粗细忽略不计），垂直舞台于点O，米，米，曲线均为抛物线的一部分．数学活动小组测得曲线的最低点到舞台的距离是5米，与支架的水平距离是4米．以O为原点建立平面直角坐标系如图． (1)求曲线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)数学活动小组又测得曲线的最低点到舞台的距离是米，与支架的水平距离是5米．若按图2的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中垂直于舞台． ① 若与之间的距离比与之间的距离少2米，当米时，求的长度； ② 若，求装饰灯带总长度的最小值． 22．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 23．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型强化 题型一．二次函数的应用 1．（2023秋•蒙城县期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为　　 A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 【分析】设利润为根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案． 【解答】解：设利润为 元， 由题意可得，， ，， 当时最大， 故选：． 【点评】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解． 2．（2022•和县一模）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的处，则小丁此次投掷的成绩是 　7　米． 【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为，由待定系数法求得抛物线的解析式，令，得关于的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【解答】解：建立坐标系，如图所示： 由题意得：，，点为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入得： ， 解得， ， 令，得， 解得，（舍， 小丁此次投掷的成绩是7米． 故答案为：7． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 3．（2023•定远县校级模拟）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）求高架桥两端的，的距离； （3）如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元米，其余部分广告牌的价格为160元米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 【分析】（1）过点作于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，解方程，得出，的坐标，即可求解． （3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点作于点，作轴于点， 四边形是菱形，， ，， 在中，轴，， ，， ， ， ， 设抛物线对应的函数表达式为， 将，代入得，， 解得：， ； （2）令， 解得：， ， （米， （3）设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 设矩形中，米， 则，代入，， 得， ， ， 由（1）可得， ， 设总费用为， ； 当时，取得最小值， 最小值为， 菱形广告牌所需的最低费用为元． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型二．二次函数综合题 4．（2020秋•大观区校级月考）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为　　 A． B．1 C．5 D．8 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离； 当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【解答】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8； 故选：． 【点评】能够正确地判断出点横坐标最小、点横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键． 5．（2023秋•合肥月考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）的度数是 　　； （2）若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点，则的长的最大值是 　　． 【分析】（1）由求出，，，可得，，，故； （2）由，得直线解析式为，设，可得，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）在中，令得， ， 令得或， ，， ，，， ， ， 故答案为：； （2）由，得直线解析式为， 设，则， ， ， 当时，取最大值4， 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及勾股定理逆定理的应用，二次函数最值问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 6．（2024•淮北三模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）如图①，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标； （3）如图②，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接交直线于点，求的最大值． 【分析】（1）令，可求出点的坐标，将函数化为顶点式，可求出点的坐标； （2）当轴时，易得此时，则点的坐标为；过点作轴于点，可得，推出，由点为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，可得，设，则，，根据勾股定理求出值，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，求出，，证明得到，利用二次函数的性质可得结论． 【解答】解：（1）令， 解得或， ； ， 顶点； （2）， 当轴时，此时有，，， ，符合题意， 点的坐标为； 如图，当点在轴负半轴时，过点作轴于点， ，， ， ， ， 为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形， ， 设，则，， 在中，， 解得：， ， 设直线的解析式为：，将点、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点与点关于对称轴对称， ， 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ，， 点横坐标为， ，， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，一次函数，解直角三角形，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 分层练习 一、单选题 1．（2020·安徽淮北·一模）据省统计局公布的数据，某省2019年第二个月总值约为7.9亿元人民币，若该省第四个月总值为y亿元人民币，平均每个月增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是   （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均每个月增长的百分率为，可得第三月的总值为，第四月的总值为，即可解答． 【详解】解：设平均每个月增长的百分率为， ∵第二个月总值约为亿元人民币， ∴第三月的总值为， ∴第四月的总值为， ∴y关于x的函数表达式是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题的数量关系是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为，将代入，得：， ∴， 当时，， ∴高度为； 故选D． 3．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据、关于y轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，、关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 4．（2024·安徽阜阳·三模）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（    ） A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设利润为，先根据“利润（售价进价）销售量”得出与的关系式，再根据二次函数的性质求解是解题关键． 【详解】解：设利润为，由题意可得， ， ，， 则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值， 故选B． 6．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　） A．418 B．484 C．516 D．648 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，正确列出解析式是解题的关键．设仓库的宽为米，根据题意可求得仓库的长为米，再由矩形的面积公式列出函数解析式，最后根据函数性质求最值即可． 【详解】解：设仓库的宽为米 则仓库的长为：米 根据题意可得： 当时，有最大值，最大值为484． 故选：B． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为（    ） A．6米 B．5米 C．米 D．4米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，设拱桥两端分别为，顶端为，以所在直线为轴建立直角坐标系，则，，，点、的横坐标为， 设抛物线的解析式为，求出解析式为，当时，，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设拱桥两端分别为，顶端为，以所在直线为轴，线段中点为原点建立直角坐标系如图所示， ， 由题意得：，，，点、的横坐标为， 设抛物线的解析式为， 将，，代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为：， 当时，， （米）， 故选：D． 8．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 9．（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，二次函数的图象与性质，先分两种情况求解S与t之间的函数关系式，再判断即可． 【详解】解：如图，作直线， ∴，解得：， ∴， ∴， 当时， 当向右平移个单位长度可得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，且函数过， ∴A，B，D不符合题意； 当时，如图， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴C符合题意； 故选C 10．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 【答案】B 【分析】先证明，再证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值． 【详解】解：过点H作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，最大值为， 所以，四边形面积的最大值为 故选：B 【点睛】本题考查的有矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识，解题的关键在于寻找正确的三角形全等证明线段之间的数量关系以及学会利用参数构建二次函数解决最值问题． 二、填空题 11．（19-20九年级上·安徽合肥·期中）某水果店销售一批水果，平均每天可售出，每千克盈利元，经调查发现，每千克降价元，商店平均每天可多售出水果，则商店平均每天的最高利润为 元 【答案】 【分析】设每千克降价x元，先用含x的式子表示出每天的销售量，再设商店平均每天的利润为w元，根据每千克的盈利乘以销售量等于利润，写出关于x的函数，写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：设每千克降价x元，由题意得每天的销售量为： 40+×10=（40+20x）千克， 设商店平均每天的利润为w元，由题意得： w=（4-x）（40+20x） =-20x2+40x+160 =-20（x-1）2+180， ∵二次项系数为-20＜0， ∴当x=1时，w取得最大值180元． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系，正确列出函数关系式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键． 12．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是 ． 【答案】72 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，会求二次函数的最值．根据题意设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可． 【详解】解：设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为，则垂直于隔离栏的边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为72． 即围成养殖园的最大面积． 故答案为：72． 13．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可． 【详解】 由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为 对于抛物线，当时，，当时，， 当时，解得或5， ∴点P在台阶I上，落点的坐标是 故答案为：． 14．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽 米．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设． (1)若矩形的面积为，求的长； (2)当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当的长时，矩形的面积最大，最大面积是． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据题意求得，根据“矩形的面积为”列式得，解方程即可求解； （2）根据得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， 当时，， 即当的长时，矩形的面积最大，最大面积是． 16．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车辆．公司在经营中发现每辆车的月租金（元）与每月租出的车辆数（辆）有如下关系： （元） （辆） (1)观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数（辆）与每辆车的月租金（元）之间的关系式； (2)若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元． 【答案】(1)； (2)每辆车的月租金定为元时，公司获得最大月收益，最大月收益是元． 【分析】（）判断出与的函数关系式为一次函数，再利用待定系数法求出函数解析式； （）设租赁公司获得的月收益为元，求出与之间的二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格数据可知与是一次函数关系， 设其关系式为， 把、代入得， ， 解得， ∴与间的函数关系式为； （2）解：设租赁公司获得的月收益为元， 由题意得，， ∵， ∴当，即每辆车的月租金定为元时，公司获得最大月收益，最大月收益是元． 17．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向C点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为x秒，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)y的值能否取14？若能，求对应的x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是二次函数的解析式以及一元二次方程的应用： （1）根据题意可得：，，则，根据三角形的面积公式即可求出S关于x的函数关系式； （2）根据题意列出一元二次方程，判断是否有解即可 【详解】（1）∵出发时间为x，点P的速度为，点Q的速度为，则，， ∴， ∴； （2）不能，理由如下， 由题意得：， 即， ∴， ∴该方程无实数根， ∴的值不能取14． 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，计算见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得点，点，令，求出，，再根据判断即可； （3）令，则，求出抛物线L与x正半轴交于点，设抛物线M的解析式为，再将代入抛物线M的解析式，进而求出抛物线M的解析式，令，计算出y值与0.5进行比较即可． 【详解】（1）解：∵小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为 ∴， 即 ∵小球从点P处抛出， ∴将点代入抛物线解析式，得 解得： ∴ （2）∵，， ∴点，点 令，则 解得， ∵ ∴该同学抛出的小球能投入箱内． （3）该小球能弹出箱子，理由如下： 令，则 解得， ∴抛物线L与x正半轴交于点 设抛物线M的解析式为： ∴将代入抛物线M的解析式，得 解得， ∵该小球投入箱内后立即向右上方弹起 ∴ ∴抛物线M的解析式为： 令，则 ∵ ∴该小球能弹出箱子． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象的平移等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题． 19．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的确定、一次函数解析式的确定、中点坐标公式，三角形面积的计算．解题的关键是求出两个函数图像的交点坐标． （1）利用交点式求抛物线解析式即可． （2）先将代入抛物线解析式得出点E坐标，将点E得出直线解析式，联立抛物线解析式与直线解析式得出点F坐标，根据点M是线段的中点即可求出． （3）用题（2）的方法求出点的坐标（用含的式子表示），然后把四边形分割成几个三角形来求面积，再根据来求这个面积的最小值． 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解方程组，得 抛物线的解析式为． （2）把代入，得， 点E的坐标是． 把点代入，得，， 直线的解析式是． 联立方程组得，， ，， 点M的坐标是． （3）把代入，得， 点C的坐标是，． ，点D的坐标是． 把与联立方程组，得， ，． 如图，连接． 四边形的面积为： ． ， 当时，四边形的面积有最小值，最小值为． 20．（2024·安徽·模拟预测）在水平的地面上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆以点B为坐标原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，得到图①．已知电线杆之间电线的形状可近似地看成抛物线． (1)求电线最低点离地面的距离； (2)因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆： ①如图②，若将电线杆增设在距离为3米处，且使左侧抛物线的最低点与的距离为1米，离地面1.8米，求的长； ②如图③，若将一根长为3米的电线杆增设在线段之间的位置上，使右边抛物线的二次项系数始终是0.25，设电线杆离的距离为m米，抛物线的最低点离地面的距离为k米，当时，求k的取值范围． 【答案】(1)1.4米 (2)①2.1米② 【分析】（1）根据抛物线的坐标公式求出顶点坐标，即可达成答案， （2）①可得左边抛物线的最低点的坐标为且过点可求出函数关系式，在根据的横坐标为3，求出纵坐标即可， ②由于米，右侧抛物线的顶点一定在的垂直平分线上，可用的代数式表示，右侧抛物线的顶点的横坐标，设出顶点坐标，用顶点式表示抛物线的关系式，这样就建立一个关于与顶点纵坐标的关系式，当时，可求的取值范围． 本题考查二次函数的图象和性质，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用，善于将点的坐标与线段长的转化以及二次函数的对称性是解决问题的关键． 【详解】（1）解：由顶点坐标公式得：当，时， ， 抛物线的顶点坐标为． 电线最低点离地面的距离为1.4米； 答：电线最低点离地面的距离为1.4米． （2）解：①由图（1）的抛物线可得：点，点， 由题意得左侧抛物线的顶点为，且过点， 设左侧抛物线的关系式为，将点代入求得， 左侧抛物线的关系式为， 当时，米，即的长为2.1米． 答：的长为2.1米． ②米， 右边抛物线的顶点一定在的垂直平分线上， 因此右边抛物线的顶点的横坐标为，设顶点坐标为， 右边抛物线的关系式为，把点代入得，， 即： 当时，， 当，， 所以，当时，的取值范围是． 故答案为：． 21．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1是某文艺舞台背景装饰架的示意图，它是以支架为对称轴的轴对称图形（支架粗细忽略不计），垂直舞台于点O，米，米，曲线均为抛物线的一部分．数学活动小组测得曲线的最低点到舞台的距离是5米，与支架的水平距离是4米．以O为原点建立平面直角坐标系如图． (1)求曲线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)数学活动小组又测得曲线的最低点到舞台的距离是米，与支架的水平距离是5米．若按图2的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中垂直于舞台． ① 若与之间的距离比与之间的距离少2米，当米时，求的长度； ② 若，求装饰灯带总长度的最小值． 【答案】(1)曲线的函数表达式为 (2)①的长度为米，②灯带总长度的最小值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数，正确理解题意，将实际模型转换为熟悉的图形，是解题的关键． （1）由题意可得抛物线的顶点，再利用待定系数法，即可解答； （2）①求得点的横坐标，代入抛物线即可解答； ②求出抛物线的函数表达式，设灯带总长度为, , 则, 求得与之间的关系，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 代入得： 解得： ∴ 抛物线的函数表达式为 ； （2）解：①, 与之间的距离比与之间的距离少2米, ， 则即的长度为米； ②设抛物线的函数表达式为：， 代入得: ， 解得： ， ∴ 抛物线的函数表达式为， 设灯带总长度为, , 则, 则 ， ∴ 当时，w有最小值，最小值为 ∴ 灯带总长度的最小值为米． 22．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数的性质，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，解题的关键是求抛物线解析式． 23．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】(1) (2)（i）最大距离为  （ii） 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 学科网（北京）股份有限公司 $$