第04讲 一次函数的图象与性质（9个知识点+9种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第04讲 一次函数的图象与性质（9个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点6．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点7．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点8．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点9．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 题型强化 题型一．一次函数的定义 1．（2023秋•瑶海区期末）已知是关于的一次函数，则为　　． 2．（2023秋•淮北月考）下列函数中，是一次函数的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•怀宁县期中）已知关于的函数是一次函数，求的值． 题型二．正比例函数的定义 4．（2023秋•埇桥区校级期中）若函数是正比例函数，则的值为　　 A．3 B． C． D．0 5．（2023秋•金安区校级月考）已知关于的函数是正比例函数，则　　． 6．（长丰县期中）已知函数． （1）若函数为正比例函数，求的值； （2）若函数图象与轴的交点坐标为，求的值； （3）若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 题型三．一次函数的图象 7．（2022秋•大观区校级期中）一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（怀远县期末）函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是　　． 9．（肥东县校级月考）在同一坐标系中，画出函数与的图象． 题型四．正比例函数的图象 10．（2023秋•蒙城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，将，，从小到大排列并用“”连接为　　． 11．（2021秋•淮北期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中　　 A． B． C． D． 题型五．一次函数的性质 12．（2023秋•金安区校级期末）已知点，在直线上，则，的大小关系是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•淮北期末）已知一次函数．若当时，函数有最小值，则的值为 　　． 14．（2023秋•天长市月考）已知，函数，试回答： （1）为何值时，图象过原点？ （2）为何值时，随增大而增大？ 题型六．正比例函数的性质 15．（2023•玉环市校级开学）若函数的图象上有两点，、，，当时，，则的值可以是　　 A． B．0 C．1 D．2 16．对每个的值，是，，中的最大值，则当变化时，函数的最小值为 　　． 17．（蒙城县校级月考）已知正比例函数，若随的增大而增大，求的取值范围． 题型七．一次函数图象与系数的关系 18．（2021•包河区校级开学）一次函数的图象不经过第　　象限． 19．（2023秋•亳州月考）一次函数的值随的增大而减小；则点所在象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2023秋•包河区校级月考）已知一次函数，是常数）． （1）若该一次函数为正比例函数，求的取值范围和的值； （2）若随的值增大而减小且不经过第一象限，求，的取值范围． 题型八．一次函数图象上点的坐标特征 21．（2023秋•埇桥区期中）已知点，都在直线上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 22．（2023秋•蜀山区校级期中）直线恒过一定点，则该点的坐标是 　　．平面直角坐标系中有三点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值是 　　． 23．（2023秋•庐阳区校级期末）某一次函数的图象经过点，和，求的值． 题型九．一次函数图象与几何变换 24．（2023秋•霍邱县期中）若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为 　　． 25．（2023秋•蜀山区校级期中）一次函数的图象，可由函数的图象　　 A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 26．（2022秋•阜阳期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点为一次函数图象上一点，求的值． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若函数是关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．1或 B． C．1 D．2 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）下列关于一次函数的说法中，正确的是（    ） A．该函数图象不经过第三象限 B．该函数图象经过点 C．该函数值y随x的增大而增大 D．该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若函数是正比例函数，则的值为（    ） A．2 B． C． D．0 4．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知正比例函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）函数①；②；③；④；⑤，是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（20-21八年级上·安徽淮北·期中）点在第一象限内，且，点的坐标为，设的面积为S，则下列图象中，能正确反映，S与之间的函数关系式的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（19-20八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知y﹣1与x成正比例，当x＝3时，y＝2．则当x＝﹣1时，y的值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 9．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）把直线l：沿x轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·安徽六安·期中）当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，则的取值范围是（） A．且 B． C． D． 二、填空题 11．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如果正比例函数的图象经过点，那么 ． 12．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）若与成正比例， 且当时， ， 则与之间的函数表达式为 ． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 14．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）已知直线与x轴的交点在之间（不包括A、B两点），则m的取值范围是 ． 三、解答题 15．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，求函数的图象经过哪些象限？ 16．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知是关于的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 17．（19-20八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知y﹣3与3x+2正比例，且x=2时，y=5 （1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数； （2）点（4，6）是否在这个函数的图象上． 18．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数． (1)试说明与成正比例函数关系； (2)当一次函数经过点、时，求出函数表达式． 19．（21-22八年级上·安徽亳州·期末）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题： (1)写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y是不是x的一次函数； (2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？ 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数经过点，与x轴交于点A． (1)求b的值和点A的坐标； (2)画出此函数的图象； (3)观察图象，当时，x的取值范围是______． 21．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）已知是一次函数． (1)求的值； (2)若，求对应的取值范围． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求m的值； (2)当时，求x的取值范围． 23．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知，一次函数． (1)画出这个函数的图象； (2)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (3)若直线与的图象交与y轴上一点，且直线过点，求直线的函数解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一次函数的图象与性质（9个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点4．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点6．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点7．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点8．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点9．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 题型强化 题型一．一次函数的定义 1．（2023秋•瑶海区期末）已知是关于的一次函数，则为　　． 【分析】根据一次函数定义可得，且，再解出的值即可． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 2．（2023秋•淮北月考）下列函数中，是一次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的定义条即可求解． 【解答】解：只有满足， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 3．（2023秋•怀宁县期中）已知关于的函数是一次函数，求的值． 【分析】利用一次函数的定义，可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出的值． 【解答】解：关于的函数是一次函数， ， 解得：， 的值为． 【点评】本题考查了一次函数的定义，牢记“一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数”是解题的关键． 题型二．正比例函数的定义 4．（2023秋•埇桥区校级期中）若函数是正比例函数，则的值为　　 A．3 B． C． D．0 【分析】根据正比例函数的定义得，由此解出即可得出答案． 【解答】解：是正比例函数， ， 由，解得：， 由，解得：， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义的定义是解决问题的关键． 5．（2023秋•金安区校级月考）已知关于的函数是正比例函数，则　　． 【分析】根据正比例函数的定义得到，然后解方程可得的值． 【解答】解：关于的函数是正比例函数， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． 6．（长丰县期中）已知函数． （1）若函数为正比例函数，求的值； （2）若函数图象与轴的交点坐标为，求的值； （3）若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 【分析】（1）根据一次函数和正比例函数的定义，可得出的值； （2）直接把代入求出的值即可； （3）直线中，随的增大而减小说明． 【解答】解：（1）是正比例函数， ， 解得； （2）当时，，即， 解得； （3）根据随的增大而减小说明．即． 解得：． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键；还要熟悉在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 题型三．一次函数的图象 7．（2022秋•大观区校级期中）一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数的、的符号判定该一次函数所经过的象限即可． 【解答】解：一次函数的，， 一次函数图象经过第一、三、四象限， 即一次函数图象不经过第二象限． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 8．（怀远县期末）函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是　　． 【分析】根据图象的性质，当时，求的取值范围即函数图象落在轴的下方所对应的的值，． 【解答】解：根据图象和数据可知，当即图象在轴下方，． 故答案为． 【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力． 9．（肥东县校级月考）在同一坐标系中，画出函数与的图象． 【分析】用两点法画函数的图象即可，取函数上的两点是一般采用的是函数与、轴的交点． 【解答】解：根据正比例函数的性质，过；再任取函数图象上一点即可． 易得与坐标轴的交点，，． 【点评】用两点法画一次函数的图象，一般是先确定两点（常用的是函数与，轴的交点），然后描点，连线画出直线即可． 题型四．正比例函数的图象 10．（2023秋•蒙城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，将，，从小到大排列并用“”连接为　　． 【分析】根据直线所过象限可得，，，再根据直线陡的情况可判断出，进而得到答案． 【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得，，， 再根据直线越陡，越大，则． 则， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大 11．（2021秋•淮北期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【解答】解：、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误； 、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 题型五．一次函数的性质 12．（2023秋•金安区校级期末）已知点，在直线上，则，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【解答】解：， 随的增大而减小， 又点，在直线上，且， ． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 13．（2023秋•淮北期末）已知一次函数．若当时，函数有最小值，则的值为 　5或　． 【分析】根据函数的增减性，再由的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出的值即可． 【解答】解：当时，函数随的增大而增大， 当时，， ， 解得：； 当时，函数随的增大而减小， 当时，， ， 解得：； 的值为5或． 故答案为：5或． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 14．（2023秋•天长市月考）已知，函数，试回答： （1）为何值时，图象过原点？ （2）为何值时，随增大而增大？ 【分析】（1）根据一次函数的图象过原点及一次函数的定义列出关于的不等式组，求出的值即可 （2）根据一次函数的性质及一次函数的定义列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：（1）函数的图象过原点， ，解得； （2）随增大而增大， ，解得． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 题型六．正比例函数的性质 15．（2023•玉环市校级开学）若函数的图象上有两点，、，，当时，，则的值可以是　　 A． B．0 C．1 D．2 【分析】利用正比例函数的增减性求出的取值范围，结合选项即可得到答案． 【解答】解：正比例函数图象上有两点，，，，当时，， 随的增大而减小， ， 结合选项，四个选项中只有在的范围内． 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数图象与系数的关系是解题的关键． 16．对每个的值，是，，中的最大值，则当变化时，函数的最小值为 　2　． 【分析】分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，画出大致图象，再根据交点坐标和图象即可求解． 【解答】解：联立，解得：， 直线与直线交于点； 联立，解得：， 直线与直线交于点； 联立，解得：， 直线与直线交于点， 函数图象如下， 由图象可知当时，最大，且； 当时，最大，且； 当时，最大，且， 当变化时，函数的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出任意两函数的交点坐标是解答此题的关键． 17．（蒙城县校级月考）已知正比例函数，若随的增大而增大，求的取值范围． 【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出的取值范围． 【解答】解：根据随的增大而增大，知：， 解得． 故的取值范围为． 【点评】考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小． 题型七．一次函数图象与系数的关系 18．（2021•包河区校级开学）一次函数的图象不经过第　二　象限． 【分析】由一次函数中，的取值范围确定图象在坐标平面内的位置． 【解答】解：一次函数中的， 该函数图象经过第一、三象限． 又， 该函数图象与轴交于负半轴， 该函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 19．（2023秋•亳州月考）一次函数的值随的增大而减小；则点所在象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题意知，，由此即可求解． 【解答】解：的值随的增大而减小， ， 点在第四象限， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 20．（2023秋•包河区校级月考）已知一次函数，是常数）． （1）若该一次函数为正比例函数，求的取值范围和的值； （2）若随的值增大而减小且不经过第一象限，求，的取值范围． 【分析】（1）该一次函数为正比例函数，则，，解得，即可求解； （2）根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：（1）一次函数，是常数）， 该一次函数为正比例函数，则，， 解得，； （2）一次函数，是常数）的图象随的值增大而减小且不经过第一象限， ，， ，． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象在第二、三、四象限是解答此题的关键． 题型八．一次函数图象上点的坐标特征 21．（2023秋•埇桥区期中）已知点，都在直线上，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】先根据一次函数的解析式得出函数的增减性，进而可得出结论． 【解答】解：一次函数中，， 随的增大而减小． ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 22．（2023秋•蜀山区校级期中）直线恒过一定点，则该点的坐标是 　　．平面直角坐标系中有三点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值是 　　． 【分析】将变形为，则可得出该点的坐标；直线将分成面积左右面积之比为的两部分，分析出直线与轴的交点，代入解析式即可得的值． 【解答】解：， 直线必经过定点， 直线恒过一点，则该点的坐标是； ，直线将分成面积的两部分， 直线为过的直线， ， 解得：， 直线也可以为过的直线， ， 解得：， 故答案为：，3或． 【点评】本题考查了直线过定点的计算、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 23．（2023秋•庐阳区校级期末）某一次函数的图象经过点，和，求的值． 【分析】把点，代入解析式，利用待定系数法求一次函数解析式，然后把点代入得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：设一次函数的解析式为， 把点，分别代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； 点在一次函数图象上， ， 解得． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 题型九．一次函数图象与几何变换 24．（2023秋•霍邱县期中）若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为 　　． 【分析】根据平移不改变的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可得出直线的函数解析式． 【解答】解：设平移后直线的解析式为． 把代入直线解析式得， 解得． 所以平移后直线的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换及待定系数法求函数的解析式，掌握直线平移时的值不变是解题的关键． 25．（2023秋•蜀山区校级期中）一次函数的图象，可由函数的图象　　 A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数的图象向下平移2个单位后所得直线的解析式为：． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 26．（2022秋•阜阳期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点为一次函数图象上一点，求的值． 【分析】（1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入解析式，即可求解． 【解答】解：（1）依题意，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， 经过点， ， 解得； 一次函数的表达式为； （2）点在上， ， 解得． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若函数是关于x的一次函数，则m的值为（    ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据形如、是常数且的函数叫做一次函数进行求解是解题的关键． 根据一次函数的定义列出有关的方程，继而求出的值． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）下列关于一次函数的说法中，正确的是（    ） A．该函数图象不经过第三象限 B．该函数图象经过点 C．该函数值y随x的增大而增大 D．该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键．根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及三角形面积公式进行分析判断． 【详解】解：A．由于一次函数中的，，所以函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故该选项错误； B．直线，令可得， 解得：，所以函数图象经过点，故该选项错误； C．由于一次函数中，所以y随x的增大而减小，故该选项错误； D．直线，令可得，因此该函数图象与y轴的交点坐标为，该函数图象与x轴的交点坐标为，函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：，故该选项正确． 故选：D． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若函数是正比例函数，则的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如的是正比例函数． 4．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把各个选项分别代入正比例函数解析式进行排除选项即可． 【详解】解：A、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； B、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； C、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； D、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； 故选D． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知正比例函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限，随的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，随的增大而减小． 根据正比例函数图象与系数的关系列出关于的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数中，的值随自变量的值增大而减小， ， 解得，； 故选：B． 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）函数①；②；③；④；⑤，是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如是常数）的函数，叫做一次函数．据此对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①符合一次函数的一般形式，是一次函数； ②符合一次函数的一般形式，是一次函数； ③不符合一次函数的一般形式，不是一次函数； ④符合一次函数的一般形式，是一次函数； ⑤不符合一次函数的一般形式，不是一次函数； 所以，是一次函数的有3个． 故选：C． 7．（20-21八年级上·安徽淮北·期中）点在第一象限内，且，点的坐标为，设的面积为S，则下列图象中，能正确反映，S与之间的函数关系式的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据已知条件变形得到y与x的解析式及其取值范围，再求出面积的解析式，结合取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵P（x，y）在第一象限内，且x+y=4， ∴y=4-x，x>0，4-x>0， ∴y=-x+4(0<x<4) 又∵A（4，0） ∴S=×4×（-x+4）=2x+8(0<x<4) 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象，在解答过程中要注意x，y的取值不同，则图象不同． 8．（19-20八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知y﹣1与x成正比例，当x＝3时，y＝2．则当x＝﹣1时，y的值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】设，把x＝3，y＝2代入求出k的值，把x＝﹣1代入函数解析式即可得到相应的y的值. 【详解】由题意设， 则由x＝3时，y＝2，得到：2﹣1＝3k， 解得：， 则该函数解析式为：， 把x＝﹣1代入得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，再根据给定x的值求y的值，这是基础题型，务必要掌握. 9．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）把直线l：沿x轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移．根据题意可得直线l上两点坐标：，，这两点向右平移2个单位长度得到的点为，，据此利用待定系数法进一步求解析式即可． 【详解】解：由题意可得，直线l上两点坐标：，， 这两点向右平移2个单位长度得到的点为，， 设平移后直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故选：A． 10．（23-24八年级上·安徽六安·期中）当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，则的取值范围是（） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系稍微有点难度，要求有一定的分析能力． 先把代入正比例函数及一次函数的解析式，求出的值，再根据当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】当时，正比例函数的函数值为，一次函数的函数值为， ∵时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值， ∴， ∴， 当时，正比例函数和一次函数平行，符合题意； 当时，正比例函数和一次函数交点横坐标为， 由题意可得， ， 综上所述，． 故选：C． 二、填空题 11．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如果正比例函数的图象经过点，那么 ． 【答案】 【分析】用待定系数法求解即可． 【详解】∵正比例函数图象过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正比例函数，解题的关键是正确运用待定系数法求解析式． 12．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）若与成正比例， 且当时， ， 则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，由题意可设，把时， 代入即可求出，进而得到与之间的函数表达式，理解成正比例的含义是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时， ， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，然后根据函数的增减性求最值即可． 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，． 故答案为：12． 14．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）已知直线与x轴的交点在之间（不包括A、B两点），则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得的值是解题的突破口．根据题意得到x的取值范围是，则通过解关于的方程求得的值，由的取值范围来求的取值范围． 【详解】解：∵直线与x轴的交点在之间， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴， 即：， 故答案为：． 三、解答题 15．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，求函数的图象经过哪些象限？ 【答案】第二、四象限 【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限，可求出的范围，进而可得出，即可知函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得：， ∴， 函数的图象经过第二、四象限． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意求出的范围是解题的关键． 16．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知是关于的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，将代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：和x成正比例， 设， 当时，， ∴， ； （2）由（1）知， 点是该函数图象上的一点， 把点代入， 得，解得． 17．（19-20八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知y﹣3与3x+2正比例，且x=2时，y=5 （1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数； （2）点（4，6）是否在这个函数的图象上． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2）点（4,6）不在此函数图象上 【分析】（1）因为y﹣3与3x+2正比例，可设y−3=k(3x+2)，又x＝2时，y＝5，根据待定系数法可以求出解析式，从而判断y与x的函数关系； （2）把x＝4代入函数解析式，将求出的对应的y值与6比较，即可知道是否在这个函数的图象上． 【详解】解： (1)设y−3=k(3x+2)， 把x=2,y=5代入得5−3=k(6+2),解得 ， 所以y−3= (3x+2)， 所以 ，y是x的一次函数； (2)当x=4时， ，所以点（4,6）不在此函数图象上. 【点睛】主要考查了用待定系数法求函数的解析式．本题要注意利用正比例函数的特点，列出方程，求出未知数的值从而求得其解析式． 18．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数． (1)试说明与成正比例函数关系； (2)当一次函数经过点、时，求出函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了待定系数法确定一次函数关系式，正比例函数的定义； （1）将解析式写成正比例函数形式，进而即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 即 ∴与成正比例函数关系； （2）解：将、代入，则 ∴ ∴ 19．（21-22八年级上·安徽亳州·期末）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题： (1)写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y是不是x的一次函数； (2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？ 【答案】(1) (2)20张 【分析】（1）根据第一张桌子可坐4人，以后每多一张桌子多2人，可列函数关系式，再判断即可； （2）将y=42代入（1）中的函数关系式即可求出． 【详解】（1）解：∵一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人， ∴如果是x张方桌，则所坐人数是． ∴y与x之间的函数解析式为， （2）解：把代入， 得，解得． 答：需要20张这们样的方桌． 【点睛】本题考查了根据图形求一次函数的解析式，及一次函数的判断、求自变量的取值，根据图形列出函数表达式是解题的关键． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数经过点，与x轴交于点A． (1)求b的值和点A的坐标； (2)画出此函数的图象； (3)观察图象，当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)．； (2)见解析 (3)x的取值范围是． 【分析】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关键． （1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出的值，从而求出一次函数的解析式，令时，得出的值即可得出点A的坐标； （2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线即可； （3）先求得当时，，根据图象，即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴． ∵当时，， 解得． ∴； （2）解：由（1）知，，， 画图如下： ； 即为所求； （3）解：当时，则，解得， 由图知，当时，x的取值范围是． 21．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）已知是一次函数． (1)求的值； (2)若，求对应的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一般形如（是常数，且）的函数是一次函数，根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）首先判断该函数图像的增减性，然后结合题意即可获得答案； 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴且， 解得； （2）由（1）可知，该一次函数的表达式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，对应的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、一元一次方程的应用、绝对值的应用、一次函数的图像与性质等知识，理解一次函数的定义、熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键． 22．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象经过点和． (1)求m的值； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求得即可； （2）利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴． （2）解：∵，随的增大而减小． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，的取值范围为． 23．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知，一次函数． (1)画出这个函数的图象； (2)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (3)若直线与的图象交与y轴上一点，且直线过点，求直线的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2)a的值为，点Q的坐标为 (3) 【分析】（1）列表，描点、连线，即可画出函数图象； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，再将其代入点的坐标中，即可求出点的坐标； （3）先求出一次函数的图象与y轴的交点，再用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：列表： 0 2 4 3 2 1 0 描点、连线，画出函数图象；    （2）解：点在这个函数的图象上， ， 解得：， 的值为，点的坐标为； （3）解：对于一次函数， 令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标为， 设直线直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线直线的解析式为． 【点睛】本题考查了画一次函数图象，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用描点法，画出函数图象；（2）牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”；（3）掌握待定系数法求一次函数解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $$