第04讲 相似三角形的判定（1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第04讲 相似三角形的判定（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 题型强化 题型一．相似三角形的判定 1．（2021秋•沈河区期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•闵行区期中）如图，已知在中，是上一点，连接，当满足条件　　时，． 3．（2022秋•徐汇区校级月考）如图，点是四边形的对角线上一点，且．求证：． 题型二、证明两三角形相似 4．（21-22九年级上·上海青浦·期中）下列各组图形一定相似的是（    ） A．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 B．都有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．任意两个等腰三角形 D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 5．（九年级上·上海·阶段练习）如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形: ． 6．（19-20九年级上·上海杨浦·阶段练习）在△ABC中，点D、E分别边AB、AC上的点，若AD＝2，DB＝7，AE＝3，EC＝3，求DE：BC的值． 分层练习 一、单选题 1．如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 3．下列两个三角形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 4．如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 5．下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 6．已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（    ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 7．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 种情况． 8．如图，中，点在边上，如果要判定，那么需要增加的一个条件可以是 ．    9．如图，相交于点O，添加一个条件 ，可以使． 10．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 ． 11．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ C=∠ F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8时，Rt△ABC和Rt△DEF是 的．（填“相似”或者“不相似”） 12．在中，点D、E分别在边AB、AC上，要使，只须添加一个条件，这个条件可以是： ．（只要填写一种情况） 13．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 14．如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）． 15．在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有 条 16．如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC ，且，则图中有 对相似三角形． 17．如图，在矩形ABCD中，作，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是 个． 18．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似． 三、解答题 19．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 20．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    21．如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法） 22．如图所示，在四边形ABCD中，，点E是对角线BD上一点，，求证． 23．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 24．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 25．如图，在与中，，，求证：．    26．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 相似三角形的判定（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 题型强化 题型一．相似三角形的判定 1．（2021秋•沈河区期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【解答】解：、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； 、阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 2．（2023秋•闵行区期中）如图，已知在中，是上一点，连接，当满足条件　　时，． 【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可． 【解答】解：由图可得，，要使，根据两角对应相等，两三角形相似，可添加条件：． 【点评】相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似． 3．（2022秋•徐汇区校级月考）如图，点是四边形的对角线上一点，且．求证：． 【分析】先由，，得出，再根据可得出，故可得出结论． 【解答】解：，， 又 ． 【点评】本题考查了三角形的相似性质的利用，当然还有其他方法，但在解题中，我们要灵活应用． 题型二、证明两三角形相似 4．（21-22九年级上·上海青浦·期中）下列各组图形一定相似的是（    ） A．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 B．都有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．任意两个等腰三角形 D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键. 根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性. 【详解】解：A. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形，没有明确对应边，不能判定两个三角形相似； B. 都有一个内角为80°的两个等腰三角形，不能得出两个三角形有两个角相等，不能判定两个三角形相似； C. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误; D. 如图， ∵两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形，即,为中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴故本选项正确. 故选D 5．（九年级上·上海·阶段练习）如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形: ． 【答案】△ABE∽△FDE 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，从而可推出∠ABD=∠CDB，已知对顶角相等，根据有两组角相等的两个三角形相似，从而得到△ABE∽△FDE． 【详解】解：∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠ABD=∠CDB． ∵∠AEB=∠FED， ∴△ABE∽△FDE． 故答案为：△ABE∽△FDE. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用． 6．（19-20九年级上·上海杨浦·阶段练习）在△ABC中，点D、E分别边AB、AC上的点，若AD＝2，DB＝7，AE＝3，EC＝3，求DE：BC的值． 【答案】 【分析】由两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△AED，即可求解． 【详解】∵AD＝2，DB＝7，AE＝3，EC＝3， ∴AB＝9，AC＝6， ∵，， ∴，且∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△AED， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，证明△ABC∽△AED是本题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两角对应相等或者三边成比例、夹角相等，两边成比例等方法证明相似，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ A、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； B、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； C、两边成比例，夹角相等，故该选项是正确的； D、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； 故选：C 2．如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 3．下列两个三角形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定即可得到答案． 【详解】解：两个直角三角形只可以确定一组角相等，无法判定相似，故选项A错误； 两个等腰三角形确定两边对应成比例，无法判定相似，故选项B错误； 两个等边三角形三个角对应相等，可以判定相似，故选项C正确； 两个面积相等的三角形，只能得到底和高积相等，无法判定相似，故选项D错误． 故选：C． 4．如图，不能使得成立的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，，∴，故不符合题意； C、不能推出，故符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故不符合题意； 故选：C． 5．下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质． 根据直角三角形中有两边之比为，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两 边之比为，只能是底与腰的比为，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形 是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x， ；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D． 【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意； B、如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么等腰三角形只能是底与腰的比是，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意； C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意； D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，设这两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意； 故选：B． 6．已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（    ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据与相似，可得，，，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：与相似，点分别对应点， ，，， ①分别是与的角平分线时：，， ， 又， ；故①正确； ②分别是与的中线时，，， ， ， 又， ；故②正确； ③分别是与的高时，现有条件不足以证明，故③错误； 综上可知，添加①或②时，可以证明与相似 故选A． 二、填空题 7．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 种情况． 【答案】3 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断． 【详解】①当∠ACP=∠B， ∵∠A=∠A， ∴， ∴①符合题意； ②当∠APC=∠ACB， ∵∠A=∠A， ∴， ∴②符合题意； ③当， 即， ∵∠A=∠A ∴， ∴③符合题意； ④∵当，即， 而∠PAC=∠CAB， 以上条件不能判断△APC和△ACB相似， ∴④不符合题意； 即有①②③这三种情况可得出， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 8．如图，中，点在边上，如果要判定，那么需要增加的一个条件可以是 ．    【答案】∠DAC＝∠ABC或∠ADC＝∠BAC或 【分析】根据相似三角形的判定定理，从图中可知∠C为公共角，那么再找一个对应角相等或对应边成比例的条件即可． 【详解】∵从图中可知∠C为公共角， ∴如果再加上∠DAC＝∠ABC或∠ADC＝∠BAC或都可判定△ADE∽△ABC， 故答案为：∠DAC＝∠ABC或∠ADC＝∠BAC或． 【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定定理这一知识点的理解和掌握，解答此题的关键是学生熟练掌握相似三角形的判定定理，这是以后学习相似三角形的基础，要求学生应熟练掌握． 9．如图，相交于点O，添加一个条件 ，可以使． 【答案】 【分析】此题是开放题，解题时注意相似三角形的判定定理．此题的已知条件为，根据有两个角对应相等的三角形相似，可添加或；根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可添加． 【详解】解：此题答案不唯一： ∵，要使使， ∴可添加：或或， 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的三角形相似．解题时注意要认真分析． 10．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 ． 【答案】 【分析】根据DE∥BC，可得 ，从而得到,即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ， ∴， ∴， ∵，DE＝1， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 11．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ C=∠ F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8时，Rt△ABC和Rt△DEF是 的．（填“相似”或者“不相似”） 【答案】相似. 【详解】解：如图所示： ∵AC=3，AB=5，DE=10，EF=8， ∴BC==4，DF==6， ∴AC:DF=CB:EF=1:2 ， ∵∠C=∠F=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF． 故答案为：相似． 12．在中，点D、E分别在边AB、AC上，要使，只须添加一个条件，这个条件可以是： ．（只要填写一种情况） 【答案】∠AED=∠B（答案不唯一） 【详解】试题分析：根据三角形相似的判定定理，有两个角对应相等，两个三角形就相似，由题意得：∠A=∠A，若填上∠AED=∠B，则有△AED∽△ABC，于是对应边成比例：BC：DE=AC：AD，转化成，与所给条件相符，故填∠AED=∠B． 考点：相似三角形的判定与性质． 13．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 【答案】△PBA∽△PAC. 【详解】解：∵AP=，PB=1，AB=，AC=，PC=5， ∴， ∴△PBA∽△PAC． 故答案为：△PBA∽△PAC． 14．如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）． 【答案】∠ADE=∠B 【详解】分析：由于△ADE和△ABC有一个公共角，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ADE=∠B，使△ADE∽△ABC． 详解： 当∠ADE=∠B， ∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC． 故答案为∠ADE=∠B． 点睛：考查了相似三角形的判定：解题关键是运用相似三角形的判（两组对应角相等的两个三角形相似）． 15．在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有 条 【答案】3 【分析】由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似． 【详解】∵三角形ABC是直角三角形. ∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件； ①当l∥BC时，可得三角形相似； ②当l∥AC时，亦可得三角形相似； ③当l⊥AB时，三角形也相似， 故满足题中的直线L共有3条. 【点睛】本题考查相似三角形的判定，对于没有图的题可根据题意画出图形，通过图形得出小三角形与△ABC有一个角是公用角（也就是相等的）是解决此题的关键. 16．如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC ，且，则图中有 对相似三角形． 【答案】3 【详解】因为梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC， 所以∠A＝∠D, 又， 所以 , 所以△ABP∽△DPC, 所以∠ABP＝∠DPC, ∠APB＝∠DCP, 又AD//BC， 所以∠APB＝∠PBC, ∠DPC＝∠PCB, 所以△ABP∽△PCB,△PCB∽△DPC, 所以共有3对相似三角形. 17．如图，在矩形ABCD中，作，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是 个． 【答案】5 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的传递性判定即可. 【详解】∵， ∴∠CFD=∠AFD=∠AFE=90°. ∵CD∥AB, ∴∠CDF=∠AEF, 又∵∠CFD=∠AFE, ∴△CFD～△AFE； ∵∠ADF=∠EDA, ∠AFD=∠DAE, ∴△ADF～△EDA； ∵∠AEF=∠DEA, ∠AFD=∠DAE, ∴△DAE～△AFE； ∵∠DCF=∠DCA, ∠CFD=∠ADC, ∴△CDF～△CAD； ∵∠AEF=∠ABC, ∠EAF=∠BAC, ∴△AEF～△ACB； ∴△CFD～△AFE～△DFA～△DAE～△CDA～△ABC. 故答案为5. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似. 18．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似． 【答案】4或9． 【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可． 【详解】当△ADP∽△ACB时，需有，∴，解得AP＝9； 当△ADP∽△ABC时，需有，∴，解得AP＝4． ∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键． 三、解答题 19．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 20．如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，添加，结合，即可得证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加， 证明：∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 21．如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．若，则，根据作一个角等于已知角的方法，作，交于点E即可． 【详解】解：如图，点E即为所求． ． 22．如图所示，在四边形ABCD中，，点E是对角线BD上一点，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】利用已知条件证明，，即可证得． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，以及相似三角形的判定，解题关键是根据已知条件找到与两个对应角相等，即可求证． 23．已知：如图，、交于点，请添加一个条件________，使得，然后再加以证明． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理“有两个角相等的两个三角形相似；有两边成比例，且这两边夹角相等的两个三角形相似”即可解答． 【详解】解：①当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ②当添加时，证明如下： ∵，， ∴； ③当添加时，证明如下： ∵，， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 24．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【答案】证明见解析 【分析】在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可． 【详解】证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明． 25．如图，在与中，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】类似证明判定定理1的思考和分析，分别在射线、上截取，，构造，则．从而可得结论． 【详解】解：如图，分别在射线、上截取，，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理的证明，熟记沪教版的三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边是解本题的关键． 26．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC． 【详解】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴△ECD是等腰三角形， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$