第04讲 一元二次方程的概念（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第04讲 一元二次方程的概念（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型强化 题型一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•宝山区期末）下列方程中，关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•奉贤区期中）当　　时，方程是一元二次方程． 3．（2021秋•浦东新区校级月考）已知方程是关于的一元二次方程，求的值． 题型二．一元二次方程的一般形式 4．（2021秋•徐汇区校级月考）若一元二次方程的各项系数的和为，则　　． 5．（虹口区校级期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．3 B．0 C． D． 6．（2020秋•浦东新区校级月考）将方程化为一般式为 　　，它的二次项是 　　，一次项系数是 　　． 题型三．一元二次方程的解 7．（2023秋•长宁区校级期末）已知是方程的一个根，那么　　． 8．（2022秋•奉贤区期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是　　 A．1或 B． C．1 D． 9．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于的方程和有公共根，求：的值． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程有一个根是0，那么的值是（    ） A．1或 B．1 C． D．0 2．（19-20八年级上·上海·课后作业）一元二次方程化成一般式后，的值分别是（        ） A．6、4、3 B．6、﹣4、﹣3 C．5、4、﹣3 D．5、﹣4、3 3．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列方程中是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．（八年级上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ） A．3 B．0 C．-3 D． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 二、填空题 7．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）当 时，方程是一元二次方程． 8．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知为方程的一个根，则代数式 ． 9．（22-23八年级上·上海·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 10．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）将方程化为一般式为 ，它的二次项是 ，一次项系数是 ． 11．（22-23八年级上·上海·阶段练习）关于方程是一元二次方程，则 ． 12．（19-20八年级上·上海静安·阶段练习）将一元二次方程化成一般式： ． 13．（22-23八年级上·上海宝山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ． 14．（20-21八年级上·上海青浦·期末）如果是方程的一个根，那么代数式的值是 ． 15．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如果关于x的方程的一个根是1，那么 ． 16．（22-23八年级上·上海·期中）已知、是方程的两根，，则 ． 17．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的二次项系数是 ；一次项是 ． 18．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知一元二次方程的一根为0，则 ． 三、解答题 19．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 20．（19-20八年级上·上海·课后作业）判断下列方程哪些是一元二次方程． （1）；      （2）；     （3）； （4）；            （5）． 21．（22-23八年级·上海·假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（为已知数）； (7)． 22．（19-20八年级上·上海·阶段练习）若是一元二次方程的根，求的值． 23．（八年级上·全国·课后作业）下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 24．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知方程的一个根是，求代数式的值． 25．（19-20八年级上·上海·课后作业）若是一元二次方程的根，，，试比较A、B的大小． 26．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1． 27．把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． （1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） ①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x-4=0； ④-x2+2x+4=0； ⑤x2-2x-4=0． （2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次方程的概念（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型强化 题型一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•宝山区期末）下列方程中，关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【解答】解：．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； ．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（2022秋•奉贤区期中）当　　时，方程是一元二次方程． 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可． 【解答】解：由得到：， 关于的方程是一元二次方程， ． ． 故答案为： 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 3．（2021秋•浦东新区校级月考）已知方程是关于的一元二次方程，求的值． 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 题型二．一元二次方程的一般形式 4．（2021秋•徐汇区校级月考）若一元二次方程的各项系数的和为，则　　． 【分析】根据移项，可得一般形式，根据各项系数的和，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：移项，得． 由各项系数的和为，得 ． 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用各项系数的和得出关于的方程是解题关键． 5．（虹口区校级期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．3 B．0 C． D． 【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出的值即可． 【解答】解：方程整理得：， 由常数项为0，得到， 解得：（舍去）或， 则， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为． 6．（2020秋•浦东新区校级月考）将方程化为一般式为 　　，它的二次项是 　　，一次项系数是 　　． 【分析】先移项，再得出答案即可． 【解答】解：， 移项，得， 所以方程化为一般式为，它的二次项是，一次项系数是， 故答案为：，，． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键． 题型三．一元二次方程的解 7．（2023秋•长宁区校级期末）已知是方程的一个根，那么　　． 【分析】将代入原方程即可求出的值． 【解答】解：将代入， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型． 8．（2022秋•奉贤区期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是　　 A．1或 B． C．1 D． 【分析】把代入方程得到一个关于的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：把代入方程得：， ． 故选：． 【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程是解此题的关键． 9．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于的方程和有公共根，求：的值． 【分析】把两式相减，消掉，然后因式分解，分情况讨论． 【解答】解：方程①和②有公共根， ①②得，， 因式分解得，， 解得，，． 当时，得， △，方程无解，舍去； 当时，代入方程可得，，解得． 把代入得，，解得，； 把代入得，，解得，； 有公共根，符合题意； 故的值为． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据方程有公共根，列出方程组解答． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程有一个根是0，那么的值是（    ） A．1或 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查方程的根，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，把代入方程计算即可． 【详解】解：当方程是一元一次方程时， 即， 把代入方程得： ， 解得：， ， 当方程是一元二次方程时， 即， 把代入方程得： ， 解得：， ， 综上，． 故选：A． 2．（19-20八年级上·上海·课后作业）一元二次方程化成一般式后，的值分别是（        ） A．6、4、3 B．6、﹣4、﹣3 C．5、4、﹣3 D．5、﹣4、3 【答案】C 【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值． 【详解】原方程可整理为：5x2+4x﹣3=0，∴a=5，b=4，c=﹣3． 故选C． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．当所给方程不是一般形式时，一定要化为一般形式，再确定各项系数的值． 3．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列方程中是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程为一元二次方程，据此即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程是一元二次方程；当时，方程为，是一元一次方程，故方程不一定是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简为，是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程整理为，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 4．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．，不是整式方程，故本选项不符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 5．（八年级上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ） A．3 B．0 C．-3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，求得，再根据一元二次方程中二次项系数不为零即可完成. 【详解】∵关于x的一元二次方程的常数项为0 ∴，则 ∵即 ∴ 故选C 【点睛】本题考查一元二次方程中二次项系数不为零的运用，熟练掌握一元二次方程相关知识点是解题关键. 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，若，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根．解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 【详解】解：∵，若， ∴当时，， ∴此方程必有一个根为． 故选：B． 二、填空题 7．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）当 时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为2次的整式方程，列式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的值．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知为方程的一个根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是根据方程的根可得，整体代入即可解题． 【详解】解：∵为方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·上海·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，且， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键． 10．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）将方程化为一般式为 ，它的二次项是 ，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为进行解答即可． 【详解】解：， 移项，得， 所以方程化为一般式为，它的二次项是，一次项系数是， 故答案为：，， 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式的定义是解题的关键． 11．（22-23八年级上·上海·阶段练习）关于方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵关于方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解二次项系数不为零是解题关键． 12．（19-20八年级上·上海静安·阶段练习）将一元二次方程化成一般式： ． 【答案】 【分析】根据整式运算法则和移项的性质进行解答即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握去括号法则、合并同类项法则和移项的法则． 13．（22-23八年级上·上海宝山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 14．（20-21八年级上·上海青浦·期末）如果是方程的一个根，那么代数式的值是 ． 【答案】6 【分析】根据方程的解的意义得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程的解是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值． 15．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如果关于x的方程的一个根是1，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．根据一元二次方程的解，把代入原方程得到关于k的一元一次方程，然后解此方程即可． 【详解】解：把代入原方程得， 解得，． 故答案为：1． 16．（22-23八年级上·上海·期中）已知、是方程的两根，，则 ． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 17．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的二次项系数是 ；一次项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，根据“一元二次方程中，a是二次项系数，是一次项系数，c是常数项”即可解答． 【详解】解：整理为：， ∴二次项系数为，一次项为， 故答案为：，． 18．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知一元二次方程的一根为0，则 ． 【答案】1 【分析】将代入已知方程，求得c，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一根为0， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义以及一元二次方程的解． 三、解答题 19．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）关于x的方程是一元二次方程，m应满足什么条件？ 【答案】 【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案． 【详解】解：， 结合题意得： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 20．（19-20八年级上·上海·课后作业）判断下列方程哪些是一元二次方程． （1）；      （2）；     （3）； （4）；            （5）． 【答案】（1）（4） 【分析】本题根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）． 一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】方程（1）符合一元一次二次方程的定义，故正确． 方程（2）为分式方程，故错误． 方程（3），为二元二次方程，故错误． 方程（4），符合一元二次方程定义，故正确． 方程（5）经化简为4x=0，该方程为一元一次方程，故错误． 故一元二次方程为（1）（4）． 【点睛】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 21．（22-23八年级·上海·假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（为已知数）； (7)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 (6)不是 (7)是 【分析】（1）根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程必须满足三个条件∶未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，并且是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． （2）根据一元二次方程的定义判断即可； （3）根据一元二次方程的定义判断即可； （4）根据一元二次方程的定义判断即可； （5）根据一元二次方程的定义判断即可； （6）根据一元二次方程的定义判断即可； （7）根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：中两个未知数，是二元二次方程， 故不是一元二次方程； （2）解：中对式子进行整理，两边项都消去了，剩下，为一元一次方程， 故不是一元二次方程； （3）解：中对含有一个未知数，未知数的最高次数为1， 故是一元二次方程； （4）解：中，分母里含有未知数，是分式方程， 故不是一元二次方程； （5）解：不是整式方程， 故不是一元二次方程； （6）解：中当是，原式化为， 故不是一元二次方程； （7）解：化简即为， ∴是一元二次方程． 【点睛】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 22．（19-20八年级上·上海·阶段练习）若是一元二次方程的根，求的值． 【答案】 【分析】依题意，是方程的根，则可得，然后对进行整体代入代数式中求解即可． 【详解】解：由题可得：是方程的根， ∴； ∴，将其代入代数式中： ∴原式＝ ＝ ＝． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的性质，关键在于构造整体代入的等式． 23．（八年级上·全国·课后作业）下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析；（6）见解析. 【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义判断即可. 【详解】解：（1）未知数最高次数是1，故不是一元二次方程； （2）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：1，一次项系数是：0，,常数项是：-4； （3）是分式方程，故不是一元二次方程； （4）将方程左右展开后可得：4x+8=0，未知数最高次数是1，故不是一元二次方程； （5）方程中，当a=0时不是一元二次方程，故不是一元二次方程； （6）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：2，一次项系数是：-5，,常数项是：7. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 24．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入方程得到，从而变形得，代入代数式得，再由变形得到即可得到答案． 【详解】解：已知方程的一个根是， ，即， ， 由变形得， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，根据条件，恒等变形，整体代入代数式化简求值是解决问题的关键． 25．（19-20八年级上·上海·课后作业）若是一元二次方程的根，，，试比较A、B的大小． 【答案】A=B 【分析】首先把（2ax0+b）2展开，然后把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=﹣c，再代入前面的展开式中即可得到A与B的关系． 【详解】把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=﹣c． ∵（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，∴B=（2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=﹣4ac+b2=A，∴A=B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义．既利用了方程的根的定义，也利用了完全平方公式，有一定的难度． 26．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1． 【答案】34 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得关于x1与x2的等式，然后代入所求式子降次化简后可得关于x1+x2的式子，由阅读材料可得x1+x2的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根为x1，x2， ∴2x12﹣5x1﹣3＝0，2x22﹣5x2﹣3＝0，即2x12＝5x1+3，2x22＝5x2+3， ∴原式＝5x1+3+2（5x2+3）+5x1＝10（x1+x2）+9， ∵x1+x2＝，∴原式＝10×+9＝34． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和整体的数学思想，读懂题意、灵活应用一元二次方程的解的定义是解答的关键． 27．把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． （1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） ①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x-4=0； ④-x2+2x+4=0； ⑤x2-2x-4=0． （2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？ 【答案】（1）①，②，③，④；（2）二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【分析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2, 即可变形得到正确选项； （2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【详解】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）， 因此①，②，③，④是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式． （2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）， 在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项． 其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 若设方程x2-x=2的二次项系数为a（a≠0）， 则一次项系数为-2a，常数项为-4a， 因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．综述, 这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 学科网（北京）股份有限公司 $$