2 有理数的加减运算-【指南针·课堂优化】2024-2025学年七年级上册数学（北师大版）

格南针·课堂花化·七年熊上册·数学(BS) 2 有理数的加减运算 第1课时 有理数的加法 理 1.有理数的结构 (4)一个数与零相加， 由 和 组成一个有理数 3.有理数的加法运算律 2.有理数的加法法则 (1)加法交换律： (1)同号两数相加， 符号，并把 (2)加法结合律： 相加； 4.运用运算律，通常有以下规律 (2)绝对值相等的异号两数相加时，和为0. (1) 的两数可先加. 绝对值不等的异号两数相加，取 (2) 的数先加 符号，并用 (3) 的数先加. (4) 的数先加. (3)互为相反数的两个数相加得零； 一-一一4一一一公=一一44一一一一-一44 ““一““““““““““““““一“““一““ 练 4.计算： 【基础过关】 (1)(-13)+(-5): (2)(-12)+5: 知识点①有理数的加法法则 1.比-3大5的数是 A.-15 B.-8 C.2 D.8 (3)(-76)+(+26):(4)2+(-2): 2.两数相加，其和小于每一个加数，那么() A.这两个加数必有一个是0 B.这两个加数必是两个负数 C.这两个加数一正一负，且负数的绝对值 较大 6(+1)+(-2号)：6(+18)+(+7号)： D.这两个加数的符号不能确定 3.若a=5,|b=2,则a+b为 A.±3 B.±7 C.3或7 D.±3或±7 ·28· 第二章有捷数及其运等 (-4)+(-2号)：(8)(-22)+1 知识点③运用有理数的加法运算律进行简便 计算 7.在1，一1，一2这三个数中，任意两数之和的最 大值是 () A.1 B.0 C.-1 D.-3 8.下列各式能用加法运算律简化计算的是 知识点②有理数加法的实际应用 A2号+(-2》 5.A地海拔高度为-210m,B地比A地高 680m,B地海拔高度为 B3+号+2 6.某仓库原有商品300件，现记录了10天内该 C.(-6)+(-7.8)+2+5.8 类商品进出仓库的件数如下所示(“+”表示 进库，“-”表示出库)：+30，-10，-15， D.36+(-)+(-23)+(-4号) +25,+17,+35,-20,-15,+13,-35. 9.简便时算3号+(-71)+[(-22)+(+71所 (1)请问经过10天之后，该仓库内的商品是增 得的结果是 ( 加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ A.0 B.10 (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费 C.1 D.-2.3 是每件3元，请问这10天要付多少人工搬 运费？ .[品+(]+[品+(]+[品+()】 +[品+()]的结果为 A清 B.一165 c篇 D.以上都不对 1L.(1)已知x、y、之三个有理数之和为0，若x 42y=-22则 (2)若a、b互为相反数，则a+2a…+49a+ 50a+b+2b+…+50b=_ 12.计算： (1)(-7)+(+11)+(-13)+9: ·29· 格南针·课堂犹化·七年熊上册·数学(BS) (2)(-2.41)+(+3.67)+(-5.59)+(-1.67): 15.同学们都知道15-（一2）川表示5与-2之差 的绝对值，也可理解为5与一2两数在数轴 上所对应的两点之间的距离，试探索：满足 条件x+3+|x一6|=9所有整数x的和为 16.如图，从左边第一个格子开始向右数，在每 个小格子中都填入一个整数，使得其中任意 三个相邻格子中所填整数之和都相等，若取 前3个格子中的任意两个数记作a、b,且a≥ b,那么所有的|a一b|的和可以通过计算 9-★+9-☆|+|★一☆得到，其结果 为，若a、b为前16个格子中的任意两 3)(-2)+(-5号)+4号+(-3号】 个数，且a≥b,则所有的|a-b|的和为 9★☆x-6 2… 17.阅读下列材料，并完成相应的任务。 公元1202年，意大利数学家斐被那契在所著的《算 法之术》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对 刚出生的小兔子（雌雄各一只）一个月后就能长成 大兔子，再过一个月便能生下一对小免子，每产一 对兔子必为一雄一雌，并且此后每个月都生一对小 兔子，一年内没有发生死亡.问一对刚出生的兔子 (雌雄各一只)，一年内能繁殖多少对兔子？第一个 月是一对未成熟的兔子，第二个月是一对成熟的兔 子，第三个月是两对兔子，第四个月是三对兔子，第 五个月是五对免子，如此不断繁殖…于是便得到 数列①：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…即斐波 那契数列. 【能力提升】 若将该数列每个数平方后得到数列②：1,1,4,9， 25,64,169,441,1156,3025,7921 13.(1)若1a=3,b1=5,且a>b,则a+b= 若将数列②中相邻的两个数相加：1十1=2,1十4 =5,4十9=13,9+25=34…得到的数仍旧是斐 (2)已知两个有理数a,b,则a+b 波那契数列中的数. b 任务： 14.1+(-2)+3+(-4)+·+19+(-20)+21 (1)根据材料中的数列①和数列②，我们得 +(-22)= 到：1+1+4=6=2×3：1+1+4+9=15=3 ·30· 第二章有捷数及其远等 ×5;1+1+4+9+25=40=5×8,类比前三 (4)若出租车起步价为10元，起步里程为 个算式，请写出下一个算式： 3km(包括3km),超过部分每千米1.2元，问 这天下午该出租车师傅的营业额是多少元？ (2)如图，表示算式“1+1+4+9=3×5”，请 你用同样的画法画出(1)中你写出的算式的 图形并标记相应的数字。 11 【核心素养】 18出租车一天下午以家为出发地在东西方向 营运，向东为正方向，向西为负方向，行车里 程（单位：km)依先后载客次序记录如下： +8,-9,-7,+6,-3,-14,+5,+12 (1)该出租车师傅将最后一名乘客送达到目 的地，出租车离家有多远？ (2)该出租车师傅下午离家最远有多少 千米？ (3)若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午 接送乘客，出租车共耗油多少升？ ·31· 格南针·课堂戏化·七年熊上册·数学(BS》 第2课时 有理数的减法 知 识 梳 1.有理数的减法法则：减去一个数，等于加 3.比较两数的大小，可用作差法： 上这个数的 (1)若a-b>0,则a>b: 2.有理数的减法的步骤：(1) 变成 (2)若a-b=0,则a=b: ,把 变成它的 :(2)再用加 (3)若a-b<0,则a<b. 法法则计算. 课 后 演练 【基础过关】 2(-)-(-)- 知识点①有理数的减法法则 1.在下面的数轴上，表示数(-2)一（一5）的点是 () N O P 30 号 A.M B.N C.P D.Q 2.如果a-1川+16+3到=0，那么6-a-2的值 (3)(-73)-(-22)-17-(-28): 是 ( A-4安B-2克C-1.1日 3.把下列减法运算转化成加法运算 (1)a-b=a+ (2)(-2)-(+3)=(-2)+(). (3)-5-6=-5+(). (4)-1-2+(-3)=-1+()+(-3). (4)-32-[(-23)-(+17)]: 4.计算： (1)(-21)-(+4)-(-7): ·32· 第二章有捷数及其运等 (5)10-(-13.71)-(+27.71)-(-15): 8.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个 幻方：将1~9这九个数字填入3×3的方格 内，使三行、三列、两条对角线上的三个数字 之和都相等.在如图的幻方中，字母m所表示 的数字是 n 2 (6)- -3引 -1-4.6-(-2.8)1 3 5 知识点③ 运用有理数减法比较数的大小 9.a=-23.4-(-23.5),b=23.4-23.5,c= 23.4一（一23.5），则 A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a 知识点②有理数减法的实际应用 10.比较-0.25，+2.3，-0.15的大小 5.为了解某地某天的天气情况，在某气象网站 查询到该地这天的最低气温为一2℃，最高气 温为7℃.则该地这天的温差（最高气温与最 【能力提升】 低气温的差)为 ( ) 11.某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量 A.-9℃B.-5℃C.5℃ D.9℃ 为(20士0.2)kg的字样，则从该超市里任意 6.某种植物成活的主要条件是：该地四季的温 拿出这种品牌的大米两袋，它们的质量最多 差不得超过20℃，若不考虑其他因素，下表 相差 中的4个地区： 12.已知la=4,b=2,且a+b=a+b,则a 地点 夏季最高温/℃ 冬季最低温/℃ -b= A地 41 -5 13.阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端 B地 38 20 点表示的数进行减法运算得到，例如下图，线 C地 28 -17 段AB=1=0-(-1):线段BC=2=2-0:线 D地 -2 -42 段AC=3=2-(-1). 其中适合这种植物生长的地区是 ( A.A地 B.B地 C.C地 D.D地 问题： 7.纽约与北京的时差为一13h,李伯伯在北京乘 (1)数轴上点M、N代表的数分别为一9和 坐早晨9：20的航班飞行20h到达纽约，那么 1,则线段MN=； 李伯伯到达时，纽约时间是 (甲城市 (2)数轴上点E、F代表的数分别为一6和 与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之 3,则线段EF=; 差，如当北京时间为8：00，东京时间为9：00， (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一 巴黎时间为1：00，那么东京与北京的时差为 个点表示的数为2，则另一个点表示的数为 9-8=1h,巴黎与北京的时差为1-8=-7h) m,则m= 33· 格南针·课堂犹化·七年熊上册·数学(BS) 14.已知a=8,b=6,且a、b异号，求a一b16.【阅读】4一1表示4与1差的绝对值，也可 的值。 以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点 之间的距离；|4+1可以看作4一(-1)1， 表示4与一1的差的绝对值，也可以理解为4 与一1两数在数轴上所对应的两点间的 距离。 由方之十0士2寸才 (1)14-(-1)川=-· (2)15+21=· (3)利用数轴找出所有符合条件的整数x,使 【核心素养】 得引|x+3=5,则x= 15.数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数 (4)利用数轴找出所有符合条件的整数x,使 进行减法运算得到，例如：如图①，若点A,B 得x+3|+x一2=5，这样的整数是： 在数轴上分别对应的数为a,b(a<b),则AB 的长度可以表示为AB=b-a 请你用以上知识解决问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向 左移动2个单位长度到达A点，再向右移动 3个单位长度到达B点，然后向右移动5个 单位长度到达C点， (1)请你在图②的数轴上表示出A,B,C三 点的位置 (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左 移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单 位长度和3个单位长度的速度向右移动，设 移动时间为1秒.试探究：在移动过程中， 3.AC-4AB的值是否随着时间t的变化而改 变？若变化，请说明理由：若不变，请求 其值， 634-32.1012月45678 图①0 图② ·34· 第二章 有捷数及其运等 第3课时 有理数的加减混合运算 1.在有理数的加减混合运算时，同级运算 (2)代数“和”既表示有理数的加法运算，也 应按 的顺序依次计算。 表示相加的结果，有理数的“和”可以大于任何 2.有理数的加减混合运算先统一成 一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是 再按照有理数加法运算的方法和步骤进行计算. 正数、零或负数 3.代数和的意义 (3)当一个符号看作性质符号（或运算符 几个正数或负数的和称为 代数和 号)时，就不能同时看作运算符号（或性质符 一般用省略 与 的形式来表示.如一5 号).如：3-4≠3-（一4）. -7+10表示 ,读作“ 5.有时可利用加法交换律、结合律简化 ”或读作 计算： 4.有理数的加减混合运算注意事项 (1)互为相反数，先加： (1)交换加数的位置时，一定要连同加数前 (2)和为整数，先加： 面的符号一起移动. (3)正加正，负加负，最后正负相加. 课 后 【基础过关】 2号 45 知识点①有理数的加减混合运算 5.计算：(1)(-7)-(+5)+(+13)= 1.(-3)-(-4)+7的计算结果是 2(-1)-(+63》-225+9 A.0 B.8 6.若“方框” 表示运算x一y十之十，则“方 C.-14 D.-83 2.下列不能表示式子一3一4的意义的是( 2 B.-3与4的差 框 A.一3与-4的和 -6 C.一3减去-4 D.-3减去4 7.计算： 3.把(-2)-(+3)-(-5)+(-4)统一为加法 (1)(-41)-(-18)-(+39)-(-72): 运算，正确的是 ( A.(-2)+(+3)+(-5)+(-4) B.(-2)+(-3)+(+5)+(-4) C.(-2)+(+3)+(+5)+(+4) D.(-2)+(-3)+(-5)+(+4) 4.把省略括号的和还原成加括号的和的形式： (1)-3-8+6= ·35· 格南针·课堂犹化·七年熊上册·数学(BS) (2)(+)+(号)-(+8)-()(+ 了，请你算出星期四快件的进出数为 星期三 +8 星期四 ■ 星期五 -14 三天合计 +3 11.如图是根据某市某天七个整点时的气温绘 (3)-0.182-(-3.105)-(0.318-6.065): 制成的统计图，则这七个整点时气温的平均 数是 ◆温度/℃ 40 30 2223283302622 20h (4(-0.5)-（-34）+2.75-(+72】 10 时问 8时10时12时14时16时18时20时 【能力提升】 12.已知a=1,b1=2,|c|=3,且a>b>c,那 么a+b-c= 知识点②有理数加减混合运算的实际应用 13.规定一种新运算：a※b=(a+1)-(b-1),右 8.潜水艇所在的海拔高度是一50米，一条海豚 边的运算是正常的加减运算.根据新运算， 在潜水艇上方10米，则海豚所在的高度是海 计算9※(3※6)= 拔 () 14.已知：[x]表示不超过x的最大整数，例：[4.8] A.-80米 B.-60米 =4,[-0.8]=-1.现定义：{x}=x-[x],例： C.-40米 D.40米 (1.5}=1.5-[1.5]=0.5,则{3.9}+{-1.8} 9.有人用600元买了一匹马，又以700元的价钱 (1}= 卖了出去；然后，他再用800元把它买回来，最 15.随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起 后以900元的价钱卖出.在这桩马的交易中， 了“微商”，很多农产品改变原来的销售模 他 () 式，实行网上销售，刚大学毕业的小明把自 A.收支平衡 B.赚了100元 家的冬枣产品放到网上，他原计划每天卖 C.赚了300元 D.赚了200元 100千克冬枣，但由于种种原因，实际每天的 10.某快递驿站将收到的快件数记为正数，取走 销售量与计划相比有出人，下表是某周的销 的快件数记为负数，其近三天的快件进出情 售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千 况如表所示，表中星期四的数据被墨水污染 克)： 36· 第二章有捷数及其运等 星期 二 三 四 五 六 化情况是后三天变化精况的一半，求7号这 与计划销售 天仓库粮食变化情况 +4 -3 -5+14-8+21-6 量的差额 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天 比销售量最少的一天多销售千克： (2)此前的上个周日小明卖了100千克冬枣， 现在用正数表示比前一天多的销售量，用负 数表示比前一天少的销售量，完成下面的销 售量变化表： 【核心素养】 星期 三 四五六 日 实际销售量 17.已知a是最大的负整数的相反数，b十4|= 比前一天的 2,且|c-51+|d+3=0. 变化量 (1)a=,b= ,C= (单位：千克》 ,d= (3)求本周实际销售总量与计划销售总量相 (2)计算a-b-c+d的值. 比，具体增加或减少了多少千克？ 16.某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一 天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“+”， 减少粮食记作“一” 68666ea 2 3号 4号 6号 T (1)通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变 化情况： (2)在1~7号中，如果前四天的仓库粮食变 ·37·相南杆▣课堂民化·七年点上景·板伞(B部》泉专基童 只.-ann业齐 4H-<-(+H)-1-11<-《--0 治是m-号)-1音 -()+(-】 亭-音如，山一6.- 5CDU,DkA线aC4 气4预mk1125特2845元 5.(1l-7i-8 2狼11-1(2 tB米C线Cn非1L,1)-2238 2.1102-1433斤（日-1 24-200,20过.一， 丑<n<h 1210有(21-7 .C.9D性+9h.2到 1L月M日1时4月1结日1位时 131)-2或-5202减04.-1川 2.2速631214.1.1 2 2红，u热l 15开1.300 5.125:20+47-2+19一2+9-27 从意DD球直径最误近标准直径， 13山+10%款示比标准价格真，一门D风表示比标角阶格 7.1141+4+等+粉+科-4-A×区2中图毫 3增加了17千克 第吉漾时数轴 民持， 线(1)微出车棒将值后一名乘客通站到日的地，出组军在1板<1自4元，仓库和食藏少？接 知钱棱罐 中量高的停为0风(1+从一无，是氏的格为0 家的内方，离家有2群 27号加食或少2线 1,原意正方向单位长度 ×(1410%3=10元3， 1士该出鞋车棒涛下午离家罐起有： 工，1用-2或-65-4-3或-1 1原点右造原点原点左站 )一的一+9无-量蓝比雅伦任)元，最A比样罪的乌 (这天下午该出相羊师物的青业额是器无 3有理鼓的乘除运算 1(1任边的数大于左动的数 抄元 第1环时有厘最的减法 (正指角着玉数负数 第1误时有见数的乘法 14门小工争的量7号南位：小李学的是多节座们 知识整理 Da>t4-0@m2n40049 白这实果叠可了多容同学1以略 1.阳反数1”一：“)“减数相阮数 妇飘规理 健后演依 漾后演塘 1,儿个和同恒鞋的和的 153A》4C5D 1(1>为E为员他对镇《20 第2课时隐时佳 1.1A 41左4310（料-发2（四 11)(-61-1》-44)一2 人(1负国数的个数奇数负偶数正2零 如识植理 1,280 一，1.4死南相等2)只看列0 气12)<可)<1=的<6 4-超2音由到《修 4,(》情定积的行号(2情定阳的色时值 喜.到数车为例数 2(1+”力-年 019>2>243 40-14 课品满体 人0g离数十食数个 1.2或4127度3打110C 支D61T,14:DM.4复H 1.A2D 二，1.(1有n数经它本0它的相度查 41a=4-6=:✉=-t 但+ga3-以日-风答 1.13943)gw-h减a=- 31行2-401-g0-44 2》◆雀<一10- 1L4,4k短122或6 这几便对情同时厚为 51用4一1)M对只数子是1或一8 1341110坐日-1减7 41g4g+5c用号 三，1，再个黄数，地对制大的反面小 14a一6的0值为14减一14 2有理数的加减运算 天C4D7.AkC9勤 他时值大的角数在绝时值小的角数的左边 51山A.B,C三点的物置如所不 焦1线-11L0Cq 1> 第1眼时有理数的加法 吉者十1寸寸古 以D1kC48 象后清格 知就接违 12)3C一41佛黄不变 5413非4292 Ln3.0 1,竹号艳形值 收6开2成- 62控7,61502)-国 远4-g9)-2m日)-g-y 11取相铜的给封值 0-1.-2.-1.0.1.1 01男一8到 (2地明售数大的教的较大的吧对值减士较小法老对值 线1个孩021.02红号 第3溪时南理数的加减混合姐耳 4105,￥-，22-54)-1 (4图这个数 从65减65减6声减n6减写 SD A B 7 C 如识顿理 人1g46=6+g(2Ha+6)4:=w+B+) 24,104博白-574 1成左同6之加法 R以，5c26÷3国-7(44（有厂14 4《1》互方相反数山行号杆司（分付相同 及代数面加号标好一5，一7份的行 2返p式号原或 (4?儿个数1堂用每数 我4-4，A=7=-书银A 编5，角7，至10的前罐就7如1n 第2课时有理数的唐类 国后演候 1L11D(21女68244)-C15121 覆后清插 知积视理 IC 2B AD 1211-4。=3.-1+=1-0,1,3(2}-1,14,1 LB 2.C 3.B L至鱼阳降0除数2例卷 成a的值为一四，A的算为9或一甲 4一1887a的《0面音 玉1行号)绝种值4从左到右 20 208