1 认识有理数-【指南针·课堂优化】2024-2025学年七年级上册数学（北师大版）

第二章有捷数及其远等 第二章 有理数及其运管 认识有理数 第1课时 有理数 知 识 1.相反意义的量 (2)按正数、0、负数分 (1)定义：相反意义的量是指两个数量，它 正整数 们所表示的意义恰好相反 (2)相反意义的量必须具备两个条件： 有理数 零 ①两个量所表示的属性相同，是同一类对 象，也就是说这两个量的单位相同： 负分数 ②两个量表示的意义恰好相反， 2.两个具有相反意义的量，将其中一个量规 注意：①分类的结果应是不重不漏：②和 定为正，则另外一种与它意义相反的量就规定为 统称为非负有理数：和 统 ,所以我们得到了新的数，像一1，一5，-3.5 称为非正有理数：③正整数和零统称为非负整数也 等这样带“一”的数叫做 :3,500,1.2等这样 叫自然数：负整数和零统称为非正整数：④有限小 带“十”的数（通常省略“十”）叫 ,既不 数，无跟循环小数，百分数都看成分数. 是正数，也不是负数。 3.有理数： 和 统称有理数 4.有理数的分类： (1)按定义分 正整数 整数零 有理数 正分数 分数 ·19· 格南针·课堂犹化·七年熊上册·数学(BS) 后 演 练 【基础过关】 知识点②有理数的分类 7.下列对于“0”的说法：①0是正数与负数的分 知识点①用正负数表示具有相反意义的量 界；②0℃是一个确定的温度：③0是正数：④0 1.(乐山中考)如果规定收入为正，那么支出为 是自然数：⑤不存在既不是正数也不是负数的 负.收入2元记作+2，支出5元记作 ( 数；⑥0是非负数，其中正确的有 () A.5元 B.-5元 A.3个 B.4个 C.-3元 D.7元 C.5个 D.2个 2.在下列选项中，具有相反意义的量的是() A.收入20元与支出30元 8对于下列各数：-5.0，号-02.10%，8其中 B.上升了6米和后退了7米 说法错误的是 ( C.卖出10斤米和盈利10元 A.-5,0,8都是整数 D.向东行30米和向北行30米 B分数有号，-0.2,10% 3.(1)规定零上温度为正，那么零下温度为 零上10℃用 来表示，零下5℃用 C正数有号，10%.8 来表示 D.一0.2是负有理数，但不是分数 (2)海拔是+845m,表示 9.分别写出一个符合下列要求的有理数， 海拔是-497m,表示 (1)是整数又是负数： 4.在一次安全教育知识竞赛中，七年级(1)班参 (2)是分数但不是正数： 赛选手的平均分为90分，张浩得了87分记作 (3)既不是正数又不是负数：； 一3分，则王磊得了95分记作 ,李金得 (4)是正数但不是分数： 了90分记作 (5)最小的非负有理数： 5.通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有 明确的规定.例如，图纸上注明一个零件的直 10把下列各数填在相应的集合中：92，一号3 0.03 0.03 径是30 002'g30 表示这个零件直径 0.02 1415,-20,0.0.38, 72024,-0.25,-9 的标准尺寸是30mm,实际产品的直径最大可 正有理数集合{ …} 以是30.03mm,最小可以是 6.某日小明在一条南北方向的公路上跑步，他从 负有理数集合 A地出发，如果把向北跑1008m记作 -1008m,那么他折回来又继续跑了1010m 分数集合 …}. 表示 这时他停下 来，此时他在A地的 边.距A地m小 非正数集合剂 明共跑了 m 整数集合{ …} 20· 第二章有捷数及其运等 【能力提升】 【核心素养】 11.纽约、悉尼与北京时差如下表（正数表示同 14.在一次同学聚会上，小王的座位号与下列一 一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一 组数中负数的个数相等，小李的座位号与下 时刻比北京时间晚的时数)： 列一组数中正整数的个数相等 城市 悉尼 纽约 5,-8号0.-10，+33-4.1. 时差/时 +2 -13 -0.01,53,-号，-10%，+20.-20 当北京6月15日23时，悉尼的时间是 (1)小王、小李坐的各是第几号座位？ ,纽约的时间是 (2)若这次同学聚会的人数是小王座位号的 12.a为不超过1.5的正整数，b为不超过2.5的 2倍与小李座位号的4倍的和，这次聚会到 非负整数，而兮为最简分数，则号的值为 了多少名同学？ 13.一种商品的标准价格是200元，但随着季节 的变化，商品的价格可浮动士10%，想一想： (1)±10%的含义是什么？ (2)请计算该商品的最高价格和最低价格. (3)如果以标准价为标准，超过标准价记作 “+”,低于标准价记作“一”，那么该商品价格 的浮动范围又可以怎样表示？ 15.如图所示，有A,B,C三个集合，每个集合中 所包含的数都写在下面的大括号内，请把这 些数填入对应的三个圈内. A:{3,2,0,4}, B:{5,6,-5,0,2} C:{-5,0,4,-2. ·21· 格南针·课堂犹化·七年熊上册·数学(BS) 第2课时 绝对值 识 梳 一、相反数 ③一个负数的绝对值是 L相反数的意义：(1)几何意义：数轴上，分别位 a(a>0) 于原点的两旁且与原点的 的两点所表示 即a= 0(a=0) 的数互为相反数；(2)代数意义： 符号 的 a(a<0) 两数互为相反数.特别地，0的相反数是 2.绝对值的性质 2.多重符号化简：(1)在一个数前放上 (1)对任何有理数a,有a0. 号仍是该数：(2)在一个数前放上 号 (2)绝对值最小的数是 等于这个数的相反数. (3)若|x=a(a>0),则x= 3.若a、b互为相反数，则a十b=,反过 (4)a=一a,即互为相反数的两个数的绝 来，若a+b= ,则a、b互为相反数. 对值相等。 相反数的推广：一个数前有 (5)若a=b,则 号等于这个数：一个数前有 “一”号等 (6)若几个绝对值的和等于0，则 于该数的相反数， 二、绝对值 (7)a≥a. 1.绝对值的意义 三、有理数的大小比较 (1)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴 L.比较两个负数的大小 上表示数a的点与原点的 ,记作a.一个 法则： 数的绝对值是 ,因此绝对值不能为负数 因为两负数表示在数轴上， (2)代数意义： ①一个正数的绝对值等于 2.作差法：若a-b>0,则ab:若a-b ②0的绝对值等于； =0,则a b:若a-b<0,则ab. 课 后演练 2.下列各组数中，相等的是 【基础过关】 A-（-)和-0.5 知识点①相反数 1.下列各对数中互为相反数的是 B+(-0.2)和(+号) A.-5与-(+5) B.-(-7)与+(-7) C.-(+10)和-(-0.01) C.-(+2)与+(-2) D-(-3)和-(+) D.}与-(-3) ·22· 第二章有捷数及其运等 3.(1)如果-a=-5.4,那么a= ,如果b 10.(宁波中考)在一2，一1,0，π这四个数中，最 =一（一9），那么一b ,如果一a=a,那 小的数是 () 么a= A.-2 B.-1 C.0 D. (2)2m是 的相反数： 知识点③有理数的大小比较 (3)x一y的相反数为 11.用“>”号或“<”号填空， (4)π一3的相反数是 (1)-5-15:(2)-x3.14: 4.(1)+(+7.2)= ,相反数是 (2)若a、b互为相反数，则a-(5-b)的值为 (3)0 -0.10-3-23 (5)-(-2.5) -|-2.5|: (3)若一个负数的相反数小于2，则这个负整 (6)-(-5) -[-(-5)]. 数是 12.(1)大于-5且不大于2的整数有 知识点②绝对值 5.(鞍山中考)-2023的绝对值是 (2)相反数大于一2且小于3的整数有 A.-2023 B.2023 13.已知a=20,b=9,且a<b,求a,b的值 C21 2023 D.2023 6.下面的说法中正确的是 A.有理数的绝对值一定比0大 B.有理数的相反数一定比0小 C.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 14.用“<”号将+(-3)，一（一一4），0， 相等 D.互为相反数的两个数的绝对值相等 -(-2.5),-(+1)连接起来. 7.下列说法正确的是 ( A.一a一定是负数 B.a一定是正数 C.a一定不是负数 D.-a一定是负数 8.化简： (1)1-7.51= (2)1+52 (3)--71=:(4)-(--8)= (5)3.14-π= 9.已知a=4,b=7,c=8,且a,b表示的数 知识点④有理数大小比较的应用 在原点右边，c表示的数在原点左边.求a、b、c 15.下表是世界五大洲的最低，点及其海拔高度： 的值. 世界五大洲 亚洲 欧洲 非洲 大洋洲 美洲 的最低点 死海 里海 阿萨尔湖北艾尔湖死谷海 海拔/m -422 -28 -153 -16 -85 ·23· 格南针·课堂戏化·七年熊上册·数学(BS) 根据以上数据，海拔最低的是 21.若a是小于1的正数，试用“<”号将一a, A美洲死谷海 B.大洋洲北艾尔湖 1,,0,-1,1连接起来为： aa C.亚洲死海 D.非洲阿萨尔湖 16.如表是我国几个城市某年一月份的平均气 温，其中气温最低的城市是 ( 22. 已知a-（278),b-(28)c 城市 北京 武汉 泉州 哈尔滨 平均气温 1169 ,判断a、b、c三数的大小关系是 -4.6 3.8 13.1 -19.4 -2.78 (单位：℃) A.北京B.武汉 C.泉州 D.哈尔滨 23.对于有理数x,我们规定[x]表示不大于x 17.某年我国人均水资源比上年的增幅是 的最大整数，如[1.2]=1，[3]=3，[-4.6] -5.6%,后续三年各年比上年的增幅分别 是-4.0%，13.0%，-9.6%，这些增幅中最 =-5,若。]-5，则x的取值是下列四 小的是 ( 个数40、45、51、56中的 A.-5.6% B.-4.0% 【核心素养】 C.13.0% D.-9.6% 24.国际乒联规定在正式比赛中采用大球，对大 18.几种气体的液化温度（标准大气压）如表：其 球的直径有严格的规定，现有5个乒兵球，测 中液化温度最低的气体是 ( 量它们的直径，超过标准直径的毫米数用正 气体 氧气 氢气 氮气 氨气 数表示，不足的毫米数用负数表示，检验结 液化温度℃ -183 -253 -195.8 -268 果如下： A.氦气B.氮气 C.氢气 D.氧气 A.-0.1毫米； 19.已知m是正整数，设ym=|x一m+(m B.-0.2毫米： x),例如：当x=2,m=3时，y2=|2一3|+ C.+0.3毫米； (3-2)=2,若1D+y2+y3)+·+y202) D.-0.05毫米： =2023×2024,则m= E.+0.1毫米. 你认为应选哪一个乒乓球用于比赛？为 【能力提升】 什么？ 20.(1)若m-1+|n+2|=0,则m=,n (2若=12器则1+x-1+1x-2 +x-3引= ·24· 第二章有捷数及其运等 第3课时 数 轴 1.数轴 规定了 的直 (2)根据正、负数在数轴上的位置可知： 线叫数轴. 大于0， 小于0， 大于一切 2.数轴上的点与有理数之间的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示， 注意：①若4为正数可表示为 :②若a为 正有理数用 的点表示；0用 表 零可表示为 :③若a为负数可表示为 示，负有理数用 的点表示 ④若a为非负数可表示为 :⑤若a为非正数可 3.利用数轴比较两个有理数的大小 表示为 (1)在数轴上表示的两个数， 【基础过关】 B A.0 B.1 C.2 D.3 知识点①数轴的概念 4.如图，在数轴上点M表示的数可能是() L.已知数轴上的点A,B分别表示数a,b,其中 L从上上上→ -4-3-2-1012 -1<a<0,0<b<1.若a×b=c,数c在数轴 A.1.5 B.-1.5 上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置 C.-2.4 D.2.4 可能是 () 5.(南充中考)数轴上表示m和m+2的点到原 点的距离相等，则m为 () 0 0 1 B A.-2 B.2 C.1 D.-1 B 0 6.(1)-3在原点 边，距原点个单位长度， C D 数5对应的点在数轴上距原点个单位长度， 2.下列有关数轴的说法：①在画数轴时，原点位 一5对应的，点距5对应的点个单位长度， 置可以任意确定；②一般情况下，取向右的方 (2)数轴上与表示-3的点相距5个单位长度 向为数轴的正方向：③数轴中的长度单位可 的点表示的数是 根据实际需要任意选取；④数轴上的点只能 (3)从数轴上表示一1的点开始，向右移动6 表示整数，其中正确的有 ( 个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 到达的终点所表示的数是。 知识点②数轴上的点与有理数之间的关系 7.有一只蜗牛以每秒2个单位长度的速度从数 3.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的 轴上表示一6的点A出发，向右爬行4秒到达 数是一1，那么点B表示的数是 () B点，则B点表示的数是： ·25· 格南针·课堂花化·七年然上册·数学(BS》 知识点③利用数轴比较有理数的大小 12.已知在数轴上点A、点B所表示的数分别是 8.如图，根据有理数a,b,c在数轴上的位置，下 一12和5，蚂蚁甲、乙分别从点A、点B处同 列关系正确的是 ( 时出发向数轴正方向运动，甲的速度为每秒 3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长 0 度.当蚂蚁乙到达点C处时，如果此时蚂蚁 A.c>6>0>a B.a>b>c>0 甲与蚂蚁乙相距4个单位长度，那么点C到 C.c>a>0>b D.a>0>b>c 原点的距离是 9.比较下列每对数的大小，并用“>”“<”或 13.如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是 “=”填空 2024,若OA=OB,则点B表示的数是 (1)-100 0.0001:(2)3 4 (3)-8 3 1 8 (4)-0.125 -2024 0 14.a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a (5)-0.001 0: (6)-π -3.14. =|b 10.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示 (1)求出a、b、c各数的绝对值： 20 (2)比较a、一a、-c的大小； (1)用“>”“<”或“=”填空： (3)化简|a+b1+a-bl+a+cl+|b-c. a+b0,c-a0,b+20: (2)化简：a+bl+2c-a-b+2. 【能力提升】 11.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示 的数分别为-3,1.若BC的距离为2，则AC 的距离为 ·26· 第二章有捷数及其运等 【核心素养】 15.如图，点O为原点，已知数轴上点A和点B所表示的数分别为一12和8，动点M从点A出发，以 每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒2个单位长度 的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)当t=2时，AM=个单位长度，BN=个单位长度，此时MN的中点C所对应的有理 数为 ； (2)在运动过程中，当MN=AB时，求点M所对应的有理数。 之 12 01 ·27·指南针·课受优化·七年拨上册·数学(BS)考答 指南针·课常优化·七年级上册·数学同步答案 略1n1或1.. 第一章 丰富的图形量界 典文 23.(118(2(300 000 1.一x4-3m。 1.B 第2深时 截一个凡何体 1 生活中的立体图形 第二,②×~计 20 知到 -rts 第1深时 杜的认识 3C 4B51 1. 三年形,正、长方形,,回、到 度 方白 2.本一造检的体阻大: 知识 6.(案不二) 2.三,正,长,、五边彩,云过影等 一()-: 1.D.8C 1.长方已 面长 3.长方,随及不则图形等 课后演 观 第二(了-. 4.三那,同.既 1.C 2C33 4C5.A .2B 6.1 7.320 14 7 3.长方 旧 三梳整 展接体 现体 柱 1B 21 3.③. 4 5A 6.D 7.B 1n.略 4C $①②0 5 -6l 7.D 8.7 177 50 1 11. 2.案一狗的位的阻大 11dr或s &.多士个无1个多( 3)由1)(2,以较长一组对过中点所在线%览转 第3课时 从三个方向看物体的形 1 20 1(0+503 形多个1个面1个 三年形多 得到的隔的林积天。 短理 14(1(不(% &.1 18 2 1 11 13 2 130,3814813710 117 1.本视图,左视图,视阳 .这个直社右7个,它的所有幅的面积之和是30 (2点数一副数一2-数 第二章 有理数及其运算 1(187 0 118 11 900 2.(11看 1B (2从着辨的图用 1 认识有理数 .(1小立中三的在块,阅红的1块一折的 2 从立体图形到平面图形 (30M上m看阻 (块,注有红色的!块. 3.(1长和高(2高和宽(30长程宽 第1课时 有理数 (2)如果四切三,小立直体中三红的有8地,两好 第1课时 晨开与折叠 4 短识理 的2地,一近的1,没有的8 超识理 3。,本文中三红的有8,西夜红的A1的3长左(2)满 形 1.页 数 正数13.数 分数 1.D 2.D 3.B 4D 5A 6.B 7.6 4.41)角极数 分数(21正有理数 正分数 一块一红的-块,有的-1境 (三个长死 商个三角形( 8.171n① 真存理数 数 零 正有短数 零 有理要 第2课时 平面用形旋静戏立体用形 11.(1-7的最大鱼% 课后演 1A 1D3C447 (这个料体少出5上5-11个小立方块搭或:这个凡 1.121 1.五线 画1线 面体3线 点 5.1号4正形移到③号本正直右边 多也》+-16十小立方块指选 $(1第10七-七 4.名个i 7长为1n,积是16-6m 12.tmr 海耳比7m 后演 6.B 7.D.4 10左到后-次填~“ 451分 回与思考 1.10 10.B 11A 12.A 13.C 14三校壮 15.90 5.15mm 知 2.(117 30 1315 385回 (21 16(1(2100 1(10231.3% 6.小又南了1010来 满2318 3.(11 2+1 11 1线自体 1s119共 7.11.8.D 2. 多 (W-}--} nAM.5E.1.x 25000m 41-2 (20-07 300 13012 G0 4A 5D6.C2.1 .(与A的是 3. 书 三 1n ..3.1(150.a1.20. 1(一十直三 一条直出 (2)如是F在,队左面看B.么面C或A可4.33185-3.现点数+一枝致 在ir 5.想,想 (0长厚一ō 2n5 2 指南料·课堂优化·七年版上册·数学(B】考 1-80--0. m1-1 H--f】--a-]- (-1(-) 15.C 16.D 17.D 18.A 19.2021 5.0(10(216文 -20.0-2.-0. 501(5-】6- 2.01-:( 7.1B 8C9C 101 11-2 700 2-202-0. 2.(110 12-100K.67 (0-! 1.(0(n-(-7 -1- 8.C9D1+0112 11.1日1时31日1 11-17 011-11 2.6 2311 1111H11 15.15 1620 0 24.次D.D现直格路掉近析准直轻. 151325 42+4 -7 -】+10 -82 +1 - 17.711t14君+--×7 1 3.113+10%老比标高1%.-30以表比标难价格 第3课时 数 辐 (3增了17千克 . .(1这出车铁后一名客选达到日暗,出相车在3(1)首死.在连稻减少7 t 家克,家有 (2最高给为20×(1+10)-20元1,是概分热为0 (277号少: 1.原点 正方官 单益长应 1艺该出粗车师年高远在1a 0(01-10%-10元 17.011-2-6-1(2--1 1.原点右 点 点左 31一+2元,比21汇,比 (70这天下与出和车标掉的幅是13元 1.(1)的数大干左的数 第2课时 3 有理鼓的乘除运复 (正数 曹 注数 数 ,有理的减法 知m 14.(3以王的是7号位,4.本的是3号班 第1课时 有理数的乘 -① 4.数 1.“一-减数院数 这会列了28 15略 理 后陈 观后演析 1..个相知数的和的 1.B2C304C5D 1c1A 第2课叶 范对挂 1.(1)为 为员 地对(20 6(13310(2-8或)(20 3.1D(-(0-](-6(0-) 扣识 3.(1)夜国数的个数 奇数 数 正 (21零 7.1D 41-18(2-1-0(511 4.(1)确定积的号(2)确定的绝 一、1.(1相 1看 (142(00-(0 ,01”(: 4 4.例数 为数 (1一} 1.n数 数 5D6D 7.11:208.4 B 课 11.2度( 11.47或11 13.:00{ 1.A1D 二.1(1题 数(它本 0的相 1s-.---- 1n+2-1.13-8 2.1(20 (31---) (2一(-。 11..41成6 3.(n-(0?00- 13.02-1点7 过对号 15.417 4-1 120M对数字是1或-) 4(124(2-403(40-) 三.1.两个员哲,绝对大的区否小 14-的荫为11-14 2 有理鼓的加减运算 结上的必数在地的小的数的也 15.(1)A.B.C三点的掉置图听 5C6D7.A1C2员 第1课时 有理数的加法 1三_ 11 1.1-1 11① 清 120 1C 18 1③AC-A的不 1.n2.B 15.0101 (201 1着号炮前 11(17(i2-) 612217.8 1.(1-p 2-1 3.(0-。(~ 1-- 1.(1)取同 (---1.0.1: (2)封咬大的数的 较大的绝对的减去较小绝对值 1s.1个28021.022.初1 第3湿时,理数的加减混会运耳 AD?-7-[17-1 (4)0这个此 3t减6选选或 识理 5D6D7. 31-(--0) 24(1-(- 1.铜 2 A.(1)%反 ()号相回(3分 8115(215(-7((5-71 5.1){寻2)1 (4个数加数 3.代数面 加号 号 -.一7.1的程 --7--8.A 5.7正10前 减:减7如10 后演练 第2议时 有理数的法 11.01(2(1 陪演 1c2B10 概 11.1m~4-8--161-1-15. 1.n 2.ci1 4(11-81)-7(-(40-} 1.至 高 细院0隐数2鹤 13.为一20为或一 403-3一+0 3.(1号 2前 4.左回 20r 2is