专题03 二次函数与几何图形的六种综合应用-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题03二次函数与几何图形的六种综合应用 题型01线段最值问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是(　　) A． B． C． D． 【例1-2】（22-23九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图已知，点P是抛物线上一动点，点Q是x轴上一动点，G，H是坐标系内两个动点，且四边形是矩形，连接，则线段长度的最小值为 ． 【例1-3】（20-21九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A（5，0），B（-1，0）两点，与轴交于点C（0，）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线的顶点，连接，，求的面积； （3）若点是抛物线上的一个动点，过点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标． 【变式演练】 【变式1-1】（20-21九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 【变式1-2】．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．    （）的值为 ． （）长度的最大值为 ． 【变式1-3】（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过、、三点，动点在抛物线上． （1）若点使得是以为直角边的直角三角形，请你求出所有符合条件的点的坐标． （2）过动点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标． 题型02面积最值问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ． 【例2-3】（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点是正方形内一点，已知：，则的面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】（21-22九年级上·陕西商洛·期中）如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)直接写出点、的坐标， ； ． (2)是抛物线对称轴上的一点，连接、．求的最小值． (3)点是下方抛物线上的一点， 连接、．当的面积最大时，求点坐标． 题型03全等三角形问题 【典例分析】 【例3-1】（九年级上·浙江·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D、M为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得以D、M、C为顶点的三角形与△DME全等，则点M的坐标为 【例3-2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标； (3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例3-3】（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线与x轴交于点、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围； (3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ．    【变式3-2】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标． 【变式3-3】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 题型04特殊三角形存在性问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【例4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【例4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； (2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【变式演练】 【变式4-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．    (1)求该二次函数的关系式； (2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，点P为抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型05平行四边形存在性问题 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式以及点C的坐标； (2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值； (3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由． 【例5-2】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数与直线交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的顶点C在x轴上． (1)求二次函数的表达式； (2)点p为线段上的一个动点（点p不与A、B两点重合），过点p作轴交抛物线于点E，设线段的长为h，点p的横坐标为t，当t取何值时，h有最大值？最大值是多少？ (3)点D为直线与对称轴的交点，在线段上是否存在一点p，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且． (1)求a，b，c的值． (2)如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S． ①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围： ②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23九年级上·海南海口·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P的横坐标为3，求的面积； (3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标． (4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为、，点C的坐标为．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接、、． (1)求抛物线的解析式； (2)当四边形的面积最大时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标； (3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06角度问题 【典例分析】 【例6-1】．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例6-2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．    (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【例6-3】（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)如图2，若点是的中点，点是抛物线上一点，其横坐标为，试探究是否存在点，使？若存在，求出的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； (3)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 【变式6-3】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，垂足为点E，连接，当四边形的面积最大时 ①求证：四边形是平行四边形； ②若点F是的中点，在抛物线上是否存在点Q，使得经过点F、Q的直线与y轴所夹的锐角与相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03二次函数与几何图形的六种综合应用 题型01线段最值问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，矩形中，已知，，点是边上一点，以为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边上运动时，线段长度的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图作交的延长线于，于，交于．则．设由，推出，在中，勾股定理求得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图作交的延长线于，于，交于．则．设 ， ，， ， ， ， ， 在中， 时，有最大值，最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题 【例1-2】（22-23九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图已知，点P是抛物线上一动点，点Q是x轴上一动点，G，H是坐标系内两个动点，且四边形是矩形，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据矩形的性质知，求线段长度的最小值即求线段长度的最小值，当点P是抛物线的顶点，且轴时，线段取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 求线段长度的最小值即求线段长度的最小值， ∴当点P是抛物线的顶点，且轴时，线段取得最小值， ， ∴抛物线的顶点为， ∴线段长度的最小值为3，即线段长度的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，明确当点P是抛物线的顶点，且轴时，线段取得最小值是解题的关键． 【例1-3】（20-21九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A（5，0），B（-1，0）两点，与轴交于点C（0，）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线的顶点，连接，，求的面积； （3）若点是抛物线上的一个动点，过点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）的面积=；（3）点的坐标为，或，． 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把点C坐标代入求解即可； （2）由抛物线的表达式得顶点，过点作轴交于点，设直线的表达式为，然后把点A、C坐标代入求解，然后根据割补法求解三角形面积即可； （3）点在直线上，设点，由题意得，四边形为矩形，故，即当线段的长度最短时，只需要最短即可，然后根据两点距离公式进行求解即可． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式得顶点， 过点作轴交于点， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为， 当时，，则， 则的面积； （3）点在直线上，设点， 由题意得，四边形为矩形，故，即当线段的长度最短时，只需要最短即可， 则有， ∴根据两点距离公式可得：， ，故存在最小值（即最小），此时， 故点， 点、的纵坐标相同， 故，解得， 故点的坐标为，或，． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及矩形的性质与判定，关键是根据题意求出二次函数解析式，然后根据矩形的性质求解最值即可． 【变式演练】 【变式1-1】（20-21九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 【答案】 【分析】由点C在抛物线y＝（x−1）2−1=x2−2x上，可设点C的坐标为(x，x2−2x)，点B在直线y＝x上，且BC∥y轴，可得点B的坐标为(x，x)，而线段BC的长就是两点纵坐标差，从而得出关于BC长与自变量x的函数关系式，根据函数的最值，即可求出BC最大值． 【详解】解：∵点C在抛物线y=（x-1）2-1=x2−2x上， ∴设点C的坐标为(x，x2−2x)． ∵点B在直线y＝x上，BC∥y轴， ∴点B的坐标为(x，x)． ∵点B在点C的上方，设BC的长为L， ∴L= x−（x2−2x）=−x2＋3x＝−(x−)2＋， ∵a＝−1＜0， ∴L有最大值， ∴线段BC长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值问题，掌握二次函数的图象和性质并能根据函数关系式求出最值是解题的关键 【变式1-2】．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．    （）的值为 ． （）长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】（）把代入求出点坐标，再代入即可求解； （）设点的横坐标为，的长度为，分别求出点和点的纵坐标，可得，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：（）把代入得， ， ∴， 把代入得， ， 解得， 故答案为：； （）设点的横坐标为，的长度为，则点的纵坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标也为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴是的二次函数， ∵， ∴当时，取最大值， 此时，， ∴长度的最大值为， 故答案为：． 【变式1-3】（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过、、三点，动点在抛物线上． （1）若点使得是以为直角边的直角三角形，请你求出所有符合条件的点的坐标． （2）过动点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）先求出A、B两点的坐标，分两种情况，如图1，第一种情况，当时，先求出的解析式，再根据求出的解析式，和二次函数联立即可得出结果，第二种情况，当时，求出的解析式，同样也是联立即可； （2）如图2所示，连接，四边形是矩形，根据垂线段最短，可得当时，最短，即最短，根据条件可知为等腰直角三角形，根据中位线可得到点的纵坐标是，代入即可得出结果． 【详解】解析：（1）令， 解得：，， 点的坐标为，， ①如图1，当时， 由（1）可知点A的坐标为， ， 设的解析式为， 将点A的坐标代入得，解得， 直线的解析式为， ， ， 为等腰直角三角形， 延长与x轴交于D点， ， ， 为等腰直角三角形， ， 设CD的解析式为， 将点D的坐标代入得-，解得， 直线的解析式为， 将与联立， 解得，（舍去）， 点的坐标为； 图1 ②如图1，当时， 设与x轴交于E点，同理得， 直线的解析式为， 将与联立， 解得，（舍去）， 点的坐标为， 综上所述，的坐标是或； （2）如图2所示：连接， 图2 由题意可知，四边形是矩形，则， 根据垂线段最短，可得当时，最短，即最短， 由（1）可知，在中， ，， 是的中点， 又， ， 点的纵坐标是， ，解得： 当最短时，点的坐标是：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括二次函数和几何的结合，涉及一次函数、垂线段最短问题，有一定综合性，熟练掌握函数的性质是解题的关键 题型02面积最值问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则高为，设面积为S，则，找到面积最大时的值，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，计算可以解题． 【详解】设，则高为，设面积为S ， 的面积最大， ， 即， 过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小， ， ， ， 的周长最小值为：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解题的关键． 【例2-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和旋转的性质可得， 连接，作交 于 Q， 于 M，连接，设交于点 O．证出，可得，再证明，可得，同理，从而得到，设，则，再证出，列出含x的面积公式，利用二次函数配方即可得到最大值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∵将绕点A顺时针旋转至， ∴， ， ∴， ， 连接，作交 于 Q， 于 M，连接，设交于点 O． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及二次函数的运用，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定及二次函数的运用 【例2-3】（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意可得，点与点关于对称，可得，设抛物线解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设，如图所示，过点作轴交于点，则，可得，再根据三角形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴， 由抛物线的对称性可知：点与点关于对称， ∴点的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴． （2）解：的解析式为，点为直线上方的抛物线上的一点， 设，如图所示，过点作轴交于点， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值是， ∴， 此时点坐标． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点问题，几何图形面积的计算方法，图形结合分析的方法是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点是正方形内一点，已知：，则的面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，二次函数的性质，勾股定理．过点P作，垂足分别为M，N，延长交于点Q，则，，可得四边形是矩形，从而得到，再由，可得，设，根据勾股定理可得，从而得到，进而得到，再由三角形的面积公式可得，然后根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作，垂足分别为M，N，延长交于点Q，则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最小值，最小值为． 故选：B 【变式2-2】（21-22九年级上·陕西商洛·期中）如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值等知识点，作于M，根据正方形的性质易得，设，则，根据等腰三角形的性质即可得出，由三角形面积公式得出，根据二次函数的性质即可求得结果，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】如图，过点P作于M， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为16． 故答案为：16． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)直接写出点、的坐标， ； ． (2)是抛物线对称轴上的一点，连接、．求的最小值． (3)点是下方抛物线上的一点， 连接、．当的面积最大时，求点坐标． 【答案】(1)， (2)的最小值为 (3)点坐标为 【分析】（1）在二次函数中，令，令，即刻求解； （2）根据题意可得：、关于抛物线的对称轴对称，且是抛物线对称轴上的一点，得到当点在直线上，即时，最小，最小值为，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）如图，过点作，交轴于点，交于点，先求出直线的解析式为，设，则， 得到，再根据，得到关于的二次函数即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， ，， 令，则， ， 故答案为：，； （2）二次函数的对称轴为：， 根据题意可得：、关于对称轴对称，且是抛物线对称轴上的一点， 当点在直线上，即时，最小，最小值为， 由（1）知，，， ，， ， 的最小值为； （3）如图，过点作，交轴于点，交于点， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 即， 当时，的面积最大， 此时点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，线段的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识 题型03全等三角形问题 【典例分析】 【例3-1】（九年级上·浙江·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D、M为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得以D、M、C为顶点的三角形与△DME全等，则点M的坐标为 【答案】（，），（，），（2，），（3，） 【分析】先通过解析式求出A，B，C的坐标，然后讨论①当点E和A重合，即DE1=DC时，②点E与点B重合，即DE2=DC时，作出示意图，写出DM直线解析式联立解出即可. 【详解】解：把y=0代入，解得x=1或-3，则A点坐标为（1，0），B点坐标为（-3，0），把x=0代入，解得y=，则C点坐标为（0，）， ①当点E和A重合，即DE1=DC时， ∵∠E1DM=∠CDM， ∴DM⊥AC， ∵KAC=， ∴KDM=， 则DM直线解析式为：， 联立，解得或， ∴M1（，），M2（，）， 如图： ②点E与点B重合，即DE2=DC时， 同理可得DM⊥BC， ∵KBC=， ∴KDM=， 则DM直线解析式为：， 联立，解得或， ∴M3（2，），M4（3，）， 如图： 综上，符合题意的M坐标为：（，），（，），（2，），（3，）. 【点睛】本题是对二次函数的综合考察，熟练掌握二次函数的综合运用及分情况讨论是解决本题的关键，难度较大. 【例3-2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标； (3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握利用待定系数法求出二次函数解析式以及二次函数的图象和性质，全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出直线的解析式，可得从而得到，进而得到即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 解得： ∴直线的解析式为， 设 当时，最大，最大为4， （3）解：存在，理由如下： 抛物线的解析式为， ， 与全等， 当时，点与点关于对称轴对称， 故； 当时，点重合，故， 综上，或 【例3-3】（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线与x轴交于点、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围； (3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）将A，C两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求n的取值范围； （3）在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点点代入得： ，解得： 故抛物线的表达式为：； （2）令，则或，即点， ∴函数的对称轴为， ∵， ∴该函数有最小值，最小值为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，n的取值范围； （3）解：在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方， 如下图当点P在对称轴右侧时，点P为点D关于x轴的对称点，此时与全等， 即点； 当点在对称轴左侧时，也满足与全等，此时点和点P关于对称轴对称，与点C重合， 即点； ∵当时，，当时，， ∴点和点都在抛物线上， 故存在点P，使与全等，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数表达式的求解、点的对称性、三角形全等等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ．    【答案】或或或 【分析】此题应分四种情况考虑：（1）当，时；（2）当，时；（3）当，时；（4）当，时，利用特殊三角形三边关系，根据三角形全等即可求解． 【详解】（1）当，时，    设，代入， 解得：（舍去），， ，， 又， ，， ； （2）当，时，    过点作轴，垂足为， 由（1）得，，， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ， ； （3）当，时，      设，代入，解得：（舍去），， ，， ， ， ， ； （4）当，时，    过点作轴，垂足为点， 由（3）得，， 在中，由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 又， ， ， ， 综上所述，点A的坐标是或或或． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及二次函数图象和性质，由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用． 【变式3-2】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，对应点的坐标为或；点的坐标为对应点E的坐标为或 【分析】（1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解; 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 故设抛物线的表达式为：； （2）在（1）中，当 时，， 即， 当时，即， 解得：， ， ， 设， 则， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， 对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， 对应点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合题，涉及到绝对值的运用，分类求解是解题本题的关键 【变式3-3】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)点的坐标为或，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是 （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据条件求出三点坐标，根据即可求解； （3）根据题意可知时，以为顶点的三角形与全等，设点，分两种情况：当点P在抛物线对称轴右侧时；当点P在抛物线对称轴左侧时分别求解． 【详解】（1）解：把和代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴，把代入得：， ∴， 令，解得：，∴， 令，则，解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与对称轴相交于点M，如图， 把代入直线的解析式为得：， ∴， ∴； （3）解： 由（2）得：，，，对称轴， ∴， 由题意得：， 则当时，以为顶点的三角形与全等， 设点， 当点P在抛物线对称轴右侧时，，解得， ∴， ∴点， ∴点或； 当点P在抛物线对称轴左侧时，由抛物线对称性可得，， 此时点或； 综上：点的坐标为或，点的坐标为或 题型04特殊三角形存在性问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，即可求解； （3）设点，根据是以为底的等腰三角形，所以，则，求解即可得出t值，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 对于一次函数， 当时，， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为： （2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小， 理由：的周长为最小， 设直线的表达式为 把，代入得： ，解得 ∴直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，，即点； （3）解：存在，理由： 设点 ∵直线与y轴的交点为D， 当时，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ， ． ∵， ∴． 即P点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中 【例4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4)的值是或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积； （3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可； （4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵点是抛物线上的动点，， ∴， ∴， 设的解析式为：，与轴交于点， 把和代入得：， ∴， ∴的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∴的面积； （3）解：如图1，当点位于直线下方时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求得的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴； 当点位于直线上方时，作轴于，于， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即． 综上，或． （4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ∵， ∴抛物线对称轴是直线， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键 【例4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； (2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线， 点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为即可得顶点； （2）设， 可得 根据是以为斜边的直角三角形，有 即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时， 随的增大而减小，可得 ②当 即 时， 时最小值为这种情况不存在最小值为；③当 时，随的增大而增大，有 ，分别解方程可得答案. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ， 点的坐标为， ∴， 将代入得： ，解得 ∴抛物线的解析式为， 当 时， ， ， 故答案为：； （2）解：存在点， 使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令 得 ， ∴， ∵， ，， ， 是以AC为斜边的直角三角形， ， ， 解得或 ∴或； （3）解：由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得 (舍去)或 ， ∴此时 ； ②当 即时， 时最小值为 ， ∴这种情况不存在最小值为； ③当时， 随的增大而增大， 时， 取最小值， ， 解得(舍去)或 ； ∴此时 ， 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用 【变式演练】 【变式4-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)D的坐标为： (3)存在，点F的坐标为：或或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小， 理由：为最小， 对称轴为，由点的对称性知，点的对称点D的坐标为：； （3）存在，理由： 令，则， 解得或， ∴点，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点， 由点A、C、F的坐标得，， 同理可得：， 当时， 则， 解得：（舍去）或2， 即点； 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或或； 综上，点F的坐标为：或或 【变式4-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．    (1)求该二次函数的关系式； (2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的值有最大值，此时点的坐标为 (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先利用一次函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）作轴交于，设，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）先配方得到，则，抛物线的对称轴为直线，设，利用等腰三角形的性质，当时，即；当时，即；当时，即；然后分别解关于的方程即可得到对应的点坐标． 【详解】（1）解：当时，，则， 当时，，解得：，则， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： （2）作轴交于，如图，    设，则， ， 当时，的值有最大值，此时点坐标为 （3）∵抛物线， ∴顶点，对称轴为直线， 设 当时，为等腰三角形，即， 解得： 此时点坐标为：，， 当时，为等腰三角形，即， 解得：， 此时点坐标为： 当时，为等腰三角形，即， 解得：（舍去），， 此时点坐标为：； 综上所述，的坐标为或或或 【变式4-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，点P为抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值； (4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为1； (3)或； (4)点E的坐标为或. 【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据（2）的结论结合函数图象，从而确定m的值； （4）设，而、，，，，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】（1）解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， 点， ，点到的距离为1， ， 的面积为1； （3）解：由（1）知，点到的距离为1， 此时点，， ∴当或时，该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1； （4）解：如图，∵， ∴对称轴为直线， 设，而、， ∴，，， ∵为斜边， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或. 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；会利用待定系数法求函数解析式；二次函数与特殊三角形，关键是根据已知条件讨论点P的位置 题型05平行四边形存在性问题 【典例分析】 【例5-1】（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式以及点C的坐标； (2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值； (3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，的最大值为 (3)存在， 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标． （2）由待定系数法可求出直线的解析式，的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值． （3）存在．由题意可得，设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，由求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得到， 解得：， ． 将C点的横坐标代入，得， ； （2）设直线的函数解析式是 ， ， 解得：， 直线的函数解析式是． 设P点的横坐标为，则P、E的坐标分别为：，， 点在E点的上方，， 当时，的最大值，此时； （3）存在．理由：如图， ∵抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，直线的函数解析式是，抛物线的解析式是． ， ， 点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，轴， ， 由（2）知， ，解得或0（舍去）， 点P的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． 【例5-2】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数与直线交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的顶点C在x轴上． (1)求二次函数的表达式； (2)点p为线段上的一个动点（点p不与A、B两点重合），过点p作轴交抛物线于点E，设线段的长为h，点p的横坐标为t，当t取何值时，h有最大值？最大值是多少？ (3)点D为直线与对称轴的交点，在线段上是否存在一点p，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)当为时，的最大值为 (3)存在一点，使得四边形是平行四边形，此时 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，根据背景图形得出是解题关键． （1）将点代入函数解析式，求出的值即可得出抛物线解析式； （2）设点的横坐标为，可表达点和点的坐标，进而可得出线段的长，利用二次函数的性质可得出的最大值； （3）令，可得点的坐标，根据题意可知，，若四边形是平行四边形，只需要即可，由题可知，抛物线的对称轴为直线，即点的横坐标为1，由此可得出的点和点的坐标，进而求出的长，由（2）得出的长，由此建立方程，即可得出的值，进而可求出点的坐标． 【详解】（1）将点代入函数解析式， ，解得， 二次函数的表达式为； （2）令，解得或， ． 设的横坐标为， ，， ． ， 当为时，的最大值为． （3）存在，理由如下： 抛物线的顶点为， ， 点为直线与对称轴的交点， ， ；轴， ， 若四边形是平行四边形，则只需， 由（2）知，， ，解得（舍或， ． 综上，存在一点，使得四边形是平行四边形，此时． 【例5-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且． (1)求a，b，c的值． (2)如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S． ①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围： ②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)①；②存在， 【分析】（1）根据矩形的对边相等求出点A、B的坐标，把两点的坐标代入抛物线解析式，再联立，解关于a，b，c的三元一次方程组，然后即可得到抛物线的关系式； （2）①根据速度的不同，表示出，的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的关系式，根据速度分别求出点P与点Q的运动时间即可得到t取值范围；②先根据二次函数的最大值问题求出S取最大值时的t的值，从而求出点P与点Q的坐标，再根据平行四边形的对边平行且相等，分与是对边时，与是对边时，两种情况求出点Q的坐标，然后代入抛物线解析式进行验证，如果点Q在抛物线上，则存在，否则不存在， 本题属于二次函数综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，动点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用方程思想和分类讨论思想解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵抛物线经过点A，B，且， ∴， 解得：， 故答案为：，，， （2）解：∵，，， ∴， ①根据题意，，，， ∴， 点P运动的时间为秒，点Q运动的时间为秒， 所以，t的取值范围是； ∴； ②， ∴当秒时，S取最大值， 此时，，，， ∴，，， 所以，要使P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形， （i）当与是对边时，点R的横坐标是或，纵坐标是4， 所以点R的坐标为或， 当时，， ∴不在抛物线上， 当时，， ∴不在抛物线上， 所以与是对边时，点R不在抛物线上， （ii）当与是对边时，点R的横坐标是，纵坐标是， 所以点R的坐标是， 当时，， 所以与是对边时，点在抛物线上， 综上所述，抛物线上存在点，使P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形 【变式演练】 【变式5-1】（22-23九年级上·海南海口·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P的横坐标为3，求的面积； (3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标． (4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形面积最大面积是，此时 (4)存在，或或或 【分析】（1）直接使用待定系数法求解即可； （2）过点P做轴的平行线交于点，将分为和分别求解即可； （3）结合（2）将四边形面积分为和两部分相加，设，则，列出四边形面积的表达式，将其化为顶点式即可解题； （4）根据平行四边形的性质，结合坐标与图形，以及二次函数图象与性质，分别讨论点B，M，N，P形成平行四边形的情况，再求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点， 将、两点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设的所在直线的解析式为：， 将代入得：，解得：， 的所在直线的解析式为， 将P的横坐标代入得：， 的坐标为， 如图，过点P做轴的平行线交于点，则点横坐标为， 将点横坐标为代入，， 的坐标为， 由图知： ； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 点A、（A点在B点左侧）关于直线对称， ， ， 如（2）所示： 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时即； （4）解：由（2）可知：的坐标为， ①如图所示，四边形为平行四边形， ，且， ∴点的纵坐标为，，解得：，， ∴点的坐标为， ， 设点， ， ，则，即； ②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于点，过点作轴于点， ，，，， 可得， ，且，设，， ，解得：，， 当时，，即，则，当时，，即，则， 点的坐标为或； ③如图所示，四边形为平行四边形， ，，， 设，则， ，即点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，二次函数与几何图形的综合，二次函数的最值，平行四边形性质，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键 【变式5-2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为、，点C的坐标为．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接、、． (1)求抛物线的解析式； (2)当四边形的面积最大时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴交于，可得由得二次函数，利用二次函数性质即可求解； （3）分类讨论①为边时，（ⅰ）当与重合时，此时四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，即可求解；（ⅱ）当构成四边形是平行四边形时，由点的平移得点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，可得点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，设，由点的平移规律得，由点在轴上，即可求解； ②为对角线时，同理可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ， ， ， ， ， ，， 当时，取得最大值； （3）解： ， ； ①为边时， （ⅰ）当与重合时，此时四边形是平行四边形， ，， 轴， 四边形是平行四边形， ， ； （ⅱ）如图，当构成四边形是平行四边形时， 点由点向左平移个单位，再向上平移个单位， 点由点向左平移个单位，再向上平移个单位， 设， ， 在轴上， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 或； ②如图，为对角线时， 此时当与重合时，四边形是平行四边形， 同理可求：； 综上所述： 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数几何综合应用，待定系数法，动点产生的面积最值问题，动点平行四边形问题，能“化动为静”表示出面积，熟练利用二次函数的性质求解，能根据点的不同位置进行分类讨论求解是解题的关键 【变式5-3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标； (3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝－x2－2x＋3 (2) (3)或或 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，由此求出A、B、C的坐标，再把解析式设为交点式利用待定系数法求解即可； （2）如图1，过点作轴交于点，利用待定系数法求出设直线解析式，设，则，求出，即可利用二次函数的性质求解即可； （3）如图2，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，根据与纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点在轴下方时，根据与纵坐标互为相反数，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，，， 设抛物线解析式为，将代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点， 设直线解析式为，将，代入， 得：， 解得：， 直线解析式为， 设，则， ， ， ， ， 当时，的面积最大，此时点的坐标为； （3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方． ①当点在轴上方时，∵， ∴与纵坐标相等， ， 解得：，（舍去）， ， ②当点在轴下方时，∵为对角线， ∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0， ∴与纵坐标互为相反数， ， 解得：，， 或， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是有关二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积和四边形面积，平行四边形性质，解一元二次方程等知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握待定系数法及平行四边形性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想思考解决问题是解题关键． 题型06角度问题 【典例分析】 【例6-1】．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值为2，的坐标为； (3)存在，或． 【分析】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用了三角形的面积得出关于n的方程，以防遗漏； （1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，根据解方程，可得答案； 【详解】（1）点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）存在． 设点， 如图，过点作于点，连接． ， ， ． ， ． 由的面积，得， 即化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或 【例6-2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．    (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②；③存在，． 【分析】（1）分别把与代入，再解方程可得答案； （2）①当与轴平行时， 则，再利用相似三角形的性质可得答案；②如图，过点作的平行线，交于点，可得，再利用相似三角形的性质可得答案；③假设存在点，如图，延长交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，求解，设的解析式为，将代入解析式可得解析式为，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，可得方程， 解得或， ． （2）①当与轴平行时， ∴， ∴， ∵当， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点，    ， ，， ， ， 设， 设的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 的解析式为， ∴时，， ∴， ， 当时，取最大值为． （3）假设存在点，如图，延长交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，    ， ，， ， ，， ， ， ， ， 设的解析式为，将代入解析式得：， 解得：， 解析式为， 令，解得或（舍）， 存在点满足题意，此时． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键 【例6-3】（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)如图2，若点是的中点，点是抛物线上一点，其横坐标为，试探究是否存在点，使？若存在，求出的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2) (3)在抛物线上存在点，当或时，使． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接由对称性可得，则当P、B、C三点共线时，有最小值，即此时有最小值，求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案； （3）如图所示，取点，连接，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则射线与抛物线的交点即为点N的位置，同理取，可证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：把、代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接 点B与点关于对称轴对称， ， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 在中，当时，， ∴ 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为， ， 对称轴为直线， 将代入得，， ； （3）解：存在点，使． 如图所示，取点，连接， ∵，点M为的中点， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴射线与抛物线的交点即为点N的位置， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 同理取，可证明， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，当或，． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； (3)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)的最大值为； (3)点的坐标为：或． 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据顶点坐标为，设二次函数的顶点式为，由题意，将代入解析式得，，即可求解； （2）作轴交于点，是等腰直角三角形，当最大时，最大，求得关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）当，则，即，进而求解． 【详解】（1）解：顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为， 抛物线与轴交于， ， 解得，． 二次函数的解析式为； （2）解：令， ． 或3． 抛物线与轴的交点，． 由，得，直线为． 作轴交于点， 设，则， ∵直线与轴夹角， ∴是等腰直角三角形，当最大时，最大． ， ∵， ∴有最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：存在，理由： 如图，当， 则， 即， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点的坐标为：， 当时， 即， 解得：， 则点； 当点在点的上方时， 则，设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点， 综上，点的坐标为：或． 【变式6-2】（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点的坐标为：或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； （2）解：过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， 故面积有最大值，当时，面积的最大值为4； （3）解：当点在轴上方时， 所以平行于x轴 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在轴下方时， 设交轴于点，设点， ， 则， 则， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键 【变式6-3】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，垂足为点E，连接，当四边形的面积最大时 ①求证：四边形是平行四边形； ②若点F是的中点，在抛物线上是否存在点Q，使得经过点F、Q的直线与y轴所夹的锐角与相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①见解析；②存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，特殊四边形问题； （1）运用待定系数法进行作答即可； （2）①当时，，得，通过、，解得直线的解析式为：，那么设，则，所以，当时，得，，即，，故四边形是平行四边形； ②分两种情况画出图形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，将、代入得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①在抛物线上，当时， 解得：， ∴， 设直线的解析式为 把、代入 得 解得 ∴直线的解析式为： ∵点在线段上， 设，则 ∴ 故 当时，则， 那么四边形的面积最大，此时， ∵轴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②设交x轴于点N， ∵点F是的中点，， ∴点F的坐标是， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，则，    设直线与x轴的负半轴交于点R，则， 则， 则点R即为点B， 设直线的解析式为，把点B和点F的坐标代入得 解得 ∴直线的解析式为：， 联立得到 解得或， ∴此时点Q的坐标为或， 如图，当时， 设直线与x轴的正半轴交于点M， ∵ ∴， ∴，    则， 则， ∴点M的坐标是， 设直线的解析式为，把点B和点F的坐标代入得 解得 ∴直线的解析式为：， 联立得到 解得或， ∴此时点Q的坐标为或， 综上可知，点Q的坐标为或或或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$