专题01 二次函数的图形和性质应用的六种类型-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题01二次函数的图形和性质应用的六种类型 题型01二次函数的图像在解题中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【例1-2】（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，二次函数的图象过点，当时，函数值的取值范围是 ． 【例1-3】（22-23九年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、、，求的面积． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则以下结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当时，．正确的是（    ） A．① ② ③ B．① ③ C．① ② ④ D．① ② ③ ④ 【变式1-2】（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，点P是该抛物线上一动点，其横坐标为n．若抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为，则n的值为 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 题型02二次函数图像的平移在解题中的应用 【典例分析】 【例2-1】（2024九年级上·全国·专题练习）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·广东东莞·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ． 【例2-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于x的二次函数（m为常数）． (1)求m的值； (2)将该函数图象向下平移n个单位，使得平移后的图象经过点，求n的值． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（   ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【变式2-2】（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点，与过点平行于轴的直线相交于点点在第一象限抛物线的顶点在直线上，对称轴与轴相交于点平移抛物线，使其经过点，，则平移后的抛物线的解析式为 ． 【变式2-3】（22-23九年级上·浙江宁波）已知二次函数图像的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数解析式． (2)将该二次函数的图像向左平移几个单位能使平移后所得图像经过坐标原点？并求平移后图像对应的二次函数解析式． 题型03二次函数的性质在解题中的应用 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·广东湛江·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 【例3-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）若二次函数的图象如图所示，求a的值． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的图象经过点，则代数式的值为（　　） A． B．0 C．2 D．5 【变式3-2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）抛物线，当时，函数y的取值范围是 【变式3-3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线． (1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点； (2)若点，，都在抛物线上，且，求m的取值范围． 题型04二次函数图像上的三角形在解题中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为 ． 【例4-3】（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？ (3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，抛物线过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，使得是以为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 ．（提示：两点距离公式为：） 【变式4-3】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积． (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？ 题型05二次函数图像上的四边形在解题中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【例5-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与直线只有一个公共点，且过点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形的周长为 ． 【例5-3】（22-23九年级上·贵州黔南·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点是抛物线对称轴上一动点，点是直线上一动点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·广西钦州·期末）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，且其周长是20，则四边形的面积的最大值是（    ） A．25 B．30 C．40 D．50 【变式5-2】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为 ． 【变式5-3】（22-23九年级上·云南保山·期末）如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上，且，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06二次函数图像上的平行线在解题中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，点、均在抛物线上，且与轴平行，其中点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【例6-2】（21-22八年级下·浙江金华·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【例6-3】（2023九年级上·河南洛阳）如图，抛物线与x轴交于点，，点A在点B的右侧，与y轴交于点C． (1)若直线AC的解析式为，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，过点B的直线与抛物线交于另一点P．若直线AC与直线BP平行，求点P的坐标； (3)点，为平面直角坐标系内两点，连结MN．若抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出c的取值范围． 【变式演练】 【变式6-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）直线l过点且与x轴平行，若抛物线（a为常数）与直线l无交点，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a<0）的顶点为A，与抛物线交于x轴上方的点B． （1）点B的横坐标是 （2）过点B作平行于x轴的直线，分别与两条抛物线的另一个交点为D，C，连结AD，AC，OC，OD，则四边形ACOD的面积为    【变式6-3】（20-21九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，（点位于点的左侧），为顶点，直线经过点，与轴交于点． （1）求线段的长； （2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为．若新抛物线经过点，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线平行于直线，求新抛物线对应的函数表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数的图形和性质应用的六种类型 题型01二次函数的图像在解题中的应用 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求解析式，把和代入计算即可． 【详解】∵抛物线经过点，且顶点在直线上， ∴，解得， ∴， 故选：D． 【例1-2】（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，二次函数的图象过点，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象性质，正确掌握二次函数的图象性质是解题的关键．先求解二次函数的解析式，由对称轴在里，故分别算出，，所对应的函数值，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 解得； ∴， 那么对称轴， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以当时，则函数值y的取值范围是， 故答案为： ． 【例1-3】（22-23九年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、、，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）分别把，代入，利用待定系数法求解即可． （2）连接、、，延长与轴交于点，求解，直线为，可得，再利用割补法求解面积即可； 【详解】（1）解：分别把，代入， 得 解得：． 故这个二次函数的解析式为：； （2）解：如图，连接、、，延长与轴交于点， ∵当时，， ∴， ∵，，设为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和坐标与图形面积等．要熟练掌握才能灵活运用 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则以下结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当时，．正确的是（    ） A．① ② ③ B．① ③ C．① ② ④ D．① ② ③ ④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值，把点坐标代入， 求出的值，即可得到函数解析式； 令 求出的横坐标，然后求出的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案． 【详解】解：①∵抛物线与交于点， 解得：故①符合题意； ②过点作于点， ∵是抛物线的顶点， ∴ ， 故②不符合题意； ③当时， 解得： ∴ ∴ 是等腰直角三角形，故③符合题意； ④时， 解得： ∴当 时， 故④不符合题意． 综上，符合题题意的有①③， 故选： 【变式1-2】（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，点P是该抛物线上一动点，其横坐标为n．若抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为，则n的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、一元二次方程求解．利用待定系数法求解，根据，得出抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．进行分类讨论当时，当时，求解一元二次方程． 【详解】解：∵抛物线经过点、点， 解得 ∴拋物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 当时，抛物线顶点为最低点， ∴，解得； 当时，点为最低点，将代入中，得， ∴， 解得（舍），． 综上所述，的值为5或． 故答案为：5或． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)线段长度得最大值是，此时的坐标是 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案； （2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3），分和两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将代入表达式，解得， 抛物线的表达式为：， 即：； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入表达式，得， 直线的表达式为：； 设，． 则； 当时，有最大值，为， 把代入，得：， ， 线段长度得最大值是，此时的坐标是； （3）解：根据题意，， 当时，有：， 解得（舍去）； 当时，有：， 解得：，（舍去）； 综上所述：当时，满足条件． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识 题型02二次函数图像的平移在解题中的应用 【典例分析】 【例2-1】（2024九年级上·全国·专题练习）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了抛物线图像的平移，熟练掌握抛物线图像的平移方法是解题的关键．根据抛物线平移的方法：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可得到平移后的表达式．先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到平移后对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移2个单位，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为， 所以平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 【例2-2】（23-24九年级上·广东东莞·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象平移，掌握图形平移规律是解题的关键，根据函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位得，，再向上平移1个单位得，， 故答案为： 【例2-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于x的二次函数（m为常数）． (1)求m的值； (2)将该函数图象向下平移n个单位，使得平移后的图象经过点，求n的值． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的定义、图象和性质，平移变换，待定系数法求函数解析式，能结合题意确定m的取值范围是解题的关键． （1）根据二次函数的宝座求解即可； （2）利用平移的性质得到平移后的函数解析式为，再代入点，解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， （2）解：由（1）得，， 所以，将该函数图象向下平移n个单位得，， 代入点，得： ∴ 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（   ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，根据对称轴和抛物线与x轴交点的坐标位置，结合图象向上平移的特点，分和讨论即可． 【详解】解：当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且； 当时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ，且． 故选： 【变式2-2】（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点，与过点平行于轴的直线相交于点点在第一象限抛物线的顶点在直线上，对称轴与轴相交于点平移抛物线，使其经过点，，则平移后的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据二次函数图像的对称性确定出顶点的纵坐标是解题的关键，解题的关键是根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数； 先求出点的坐标，再根据中位线定理可得顶点的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出的值，再求出点的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为，把点、的坐标代入进行计算即可得解． 【详解】解：令，则， 点，， 抛物线的对称轴为，直线的解析式为， 抛物线的顶点在直线上， ， 顶点的纵坐标为， 即， 解得，， 由图可知，， ， ， 对称轴为直线， 点的坐标为， 设平移后的抛物线的解析式为， 则， 解得：， 所以． 故答案为： 【变式2-3】（22-23九年级上·浙江宁波）已知二次函数图像的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数解析式． (2)将该二次函数的图像向左平移几个单位能使平移后所得图像经过坐标原点？并求平移后图像对应的二次函数解析式． 【答案】(1) (2)将二次函数向左平移3个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为， 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的平移问题： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）设将二次函数向左平移m个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为，再代入原点坐标求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设将二次函数向左平移m个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为， ∴， 解得或（舍去）， ∴将二次函数向左平移3个单位后所得图像经过坐标原点，则平移后的二次函数解析式为 题型03二次函数的性质在解题中的应用 【典例分析】 【例3-1】（22-23九年级上·广东湛江·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 【例3-2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质进行求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴由表格可知：该抛物线的顶点坐标是， 由表格可知抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，总有， ∴， 故答案为：， 【例3-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）若二次函数的图象如图所示，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象，依据题意得函数图象过，故可代入解析式，再结合开口向下，进而可以得解 【详解】解：由题意，二次函数图象过， ∴， ∴ ∴或， 又函数图象开口向下， ∴， ∴ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的图象经过点，则代数式的值为（　　） A． B．0 C．2 D．5 【答案】B 【分析】把点代入解析式得即，解答即可． 本题考查了抛物线过点，求代数式的值，熟练掌握图象过点的意义是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）抛物线，当时，函数y的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了抛物线图像与性质，根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为，处于取值范围内，将对称轴代入抛物线解析式即可得到y的最小值，再根据距离对称轴越远的函数值越大，即可得到y的最大值，并注意根据取值范围，y的取值能否等于最小值和最大值，即可解题． 【详解】解：由题可知：抛物线开口向上，对称轴为， ， 的最小值为， ， 的最大值为， 当时，函数y的取值范围是， 故答案为： 【变式3-3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线． (1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点； (2)若点，，都在抛物线上，且，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】（1）依据题意，由，从而，又，故，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，由点,,都在抛物线上，从而抛物线的对称轴为，进而分与进行分类讨论，即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】（1）证明：由题意， ． ， ． ， ，即． 该抛物线与轴总有两个公共点． （2）解：由题意，点，都在抛物线上， 抛物线的对称轴为． 当，即时， ， 可作抛物线草图如图1、2， 由图可知，此时点的横坐标小于0，与题目矛盾， 舍去． 当，即时， ， 可作抛物线草图如图 由图可得， ， ． 作抛物线草图如图 由图可得， ， ． 综上所述，的取值范围是或 题型04二次函数图像上的三角形在解题中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点．点是第三象限抛物线上一动点，连接．则面积的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用配方法来求最值问题． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点， 令，得 ， ， 令，即，解得或， , 设直线的表达式为 ， 将 ，代入， 解得 ， 直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，最大，最大面积为． 故选：C． 【例4-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点A的坐标，进而求出，再根据三角形面积计算公式得到，据此求出点P的横坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得； 在中，当时，解得； ∴点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【例4-3】（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？ (3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点坐标为或 (3)m有最小值， 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据平行于的直线上两点间的距离，求出的长，根据面积和差列出方程即可求解． （3）根据平行的性质，将平移到上，根据轴对称的性质得出的对称点，根据两点间线段最短，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由，，得 ， 即， 把A，B，C的坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：作轴交于M点，如图1 由，得的解析式为， 设P点坐标为． 的长为， ， ； 由，得 ． 化简，得，解得， 点坐标为或； （3）解：m有最小值，理由如下： 在上作，如图2 作关于对称轴的对称点，连接， 取得最小值为． 在中，由勾股定理，得 ， ． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式4-2】（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，抛物线过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，使得是以为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 ．（提示：两点距离公式为：） 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，进而得到，设经过点A且与直线垂直的直线交y轴于E，则，可证明是等腰直角三角形，从而得到，则直线解析式为；再求出抛物线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；可求出经过点B且与直线垂直的直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或； 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 设经过点A且与直线垂直的直线交y轴于E，则， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 设经过点B且与直线垂直的直线解析式为，则， ∴经过点B且与直线垂直的直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或。 【变式4-3】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积． (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把、两点的坐标代入求出和的值即可求出抛物线的解析式； （2）先得出点的坐标为，再结合三角形面积公式，以为底，到的距离为，代入面积公式计算，即可作答． （3）易得关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为点M，连接，运用待定系数法解的解析式为，令，则，即可作答． 此题考查了二次函数图象上的坐标特征，待定系数法求函数的解析式；轴对称性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 当时，， 故点的坐标为， ，两点的纵坐标相同， 轴， 点到的距离为， ． （3）解：∵，，， ∴关于对称轴对称， ∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接， 此时周长最小， ∵， ， 设的解析式为， 把和分别代入， 得出， 解得， ∴的解析式为， 令，则， ∴． 题型05二次函数图像上的四边形在解题中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系；把，分别代入求得，，然后根据图象即可求得答案． 【详解】解：如图所示：把代入得，， 把代入得， 抛物线的开口越小，的绝对值越大， 抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或 故选C．    【例5-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与直线只有一个公共点，且过点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形的周长为 ． 【答案】44 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 依据题意，抛物线与直线只有一个公共点，可知该抛物线顶点的纵坐标是，由和，可得抛物线的对称轴和的长度，从而可以得到关于b，c的关系式，通过转化即可求得n的值，从而可以求得四边形的周长． 【详解】解：由题意，∵抛物线经过点和点， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 又抛物线与直线只有一个公共点， ∴抛物线的顶点在直线上． ∴， 即 又 ∴四边形的周长为是： 故答案为：44． 【例5-3】（22-23九年级上·贵州黔南·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点是抛物线对称轴上一动点，点是直线上一动点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）过点作轴于点，设，则，，，由可得，再利用二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式为，由、得，设点的坐标为，分为平行四边形的边和对角线两种情况，画出图形，结合平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把、、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点， 设，则，，， ∴ ， ， ， ∵， ∴当时，四边形面积的最大，最大值为． （3）解：设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点P横坐标为， ∵，， ∴， 设点的坐标为， 当为平行四边形的边时，如图， ∵， ∴， ∴或， ∴或； 当为对角线时，点即为直线与抛物线对称轴的交点， 把代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·广西钦州·期末）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，且其周长是20，则四边形的面积的最大值是（    ） A．25 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值，三角形的中位线的性质，矩形的性质，得到四边形的面积是解题的关键．连接、，交于点，根据三角形中位线性质得出，，由四边形是矩形，即可得到，进而即可得出四边形的面积，设的长为，则相邻的边为，从而得到，根据二次函数的性质即可求得结论． 【详解】解：连接、，交于点， 点、、、分别是边、、、的中点， ，，，， 四边形是矩形， ， 四边形的面积， 四边形的周长为20， 设的长为，则相邻的边为， ，， ， 四边形的面积的最大值是50． 故选：D 【变式5-2】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，由菱形的性质得，，由二次函数的性质得直线是抛物线的对称轴，由得，即可求解；掌握菱形的性质和二次函数的性质，由性质得到直线是抛物线的对称轴是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于， 当时，， ， 四边形是菱形， ， ， 轴， 轴， ， ， 直线是抛物线的对称轴， 抛物线 ， ， ， ， 解得：； 故答案： 【变式5-3】（22-23九年级上·云南保山·期末）如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上，且，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点D的坐标为或； (3)存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）连接，作交的延长线于，可求得，即得，得到，设，则，由可得，即得，据此即可求解； （）设，，分两种情况：以为边和以为对角线，画出图形，根据平行四边形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴，                                               ， ， ， 把、代入得，                                                           ， ， ∴抛物线解析式为； （2）解：连接，作交的延长线于， ∵，， 轴， 又∵， ， ，                                         设，则， ， ， ， ， ， 点的坐标为或； （3）解：设，， ①以为边，则且， 过作垂直对称轴于，轴于，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 或， 或；                                               ②以为对角线，则，，如图，则在轴上，与重合， ； 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，余角性质，正确的作出图形是解题的关键． 题型06二次函数图像上的平行线在解题中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，点、均在抛物线上，且与轴平行，其中点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟记：抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标之和的一半等于对称轴是解题关键．据此即可求解． 【详解】因为与轴平行，， 所以点的纵坐标为3， 设点的横坐标为，则， 解得：． 所以点的坐标为． 故选：B． 【例6-2】（21-22八年级下·浙江金华·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】(6，5) 【分析】根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线x=1对称，即可求解． 【详解】∵AB与x轴平行， 而点A，B均在抛物线上， ∴点A与点B关于直线x=1对称， ∵点A的坐标为， ∴B点坐标为， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键． 【例6-3】（2023九年级上·河南洛阳）如图，抛物线与x轴交于点，，点A在点B的右侧，与y轴交于点C． (1)若直线AC的解析式为，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，过点B的直线与抛物线交于另一点P．若直线AC与直线BP平行，求点P的坐标； (3)点，为平面直角坐标系内两点，连结MN．若抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据求出点坐标，然后将点坐标代入即可； （2）求出点坐标，设直线为，并将点坐标代入，然后联立解析式即可求出坐标； （3）分类讨论：①为两个临界点，分别代入即可；②抛物线顶点在线段上，顶即点纵坐标为； 【详解】（1）解：解：在中，令，得．点． ∵抛物线与y轴交于点C， ∴． ∴抛物线的解析式为． （2）解：在中，令，得．解得，． ∵点A在点B的右侧，∴点． ∵直线AC与直线BP平行，直线AC的解析式为， ∴设直线BP的解析式为． ∵直线BP经过点， ∴．解得． ∴直线BP的解析式为． 令．解得（舍去），． 把代入，得． ∴点． （3）解：将，分别代入中得： ， ， 当顶点坐标的纵坐标为时，也只有一个交点， 即：， 解得：， c的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，相关知识点有：求二次函数表达式、求图象与轴的交点坐标、抛物线与直线的交点数量等，熟悉二次函数的相关知识点是解题关键 【变式演练】 【变式6-1】（22-23九年级上·广东广州·期末）直线l过点且与x轴平行，若抛物线（a为常数）与直线l无交点，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出直线l的解析式，根据直线和抛物线有两个不同的交点，由直线和抛物线解析式得出关于x的一元二次方程，通过判别式，求出a的取值． 【详解】解：∵直线l过点且与x轴平行， ∴直线l为：， ∵抛物线（a为常数）与直线l无交点， ∴， 整理得，， ∴， 解得， 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，直线与抛物线的交点等知识，关键是对二次函数的图象和性质的掌握 【变式6-2】（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（a<0）的顶点为A，与抛物线交于x轴上方的点B． （1）点B的横坐标是 （2）过点B作平行于x轴的直线，分别与两条抛物线的另一个交点为D，C，连结AD，AC，OC，OD，则四边形ACOD的面积为    【答案】 12 【分析】（1）抛物线是由抛物线向右平移3个单位得到的，B点横坐标为两条对称轴距离的一半，即可得解； （2）利用四边形的面积＝，进行计算即可． 【详解】解：（1）的对称轴为：；对称轴为：， 由图象得：抛物线是由抛物线向右平移3个单位得到的， B点横坐标为两条对称轴距离的一半， ∴B点横坐标为：； （2）由题意得：， ， ∴ 四边形ACOD的面积＝． 【点睛】本题考查二次函数的平移，图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象中获取有效信息是解题的关键 【变式6-3】（20-21九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，（点位于点的左侧），为顶点，直线经过点，与轴交于点． （1）求线段的长； （2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为．若新抛物线经过点，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线平行于直线，求新抛物线对应的函数表达式． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）先根据抛物线解析式求出，的坐标，从而求出直线的解析式，得到的坐标，最终求出线段的长； （2）根据直线平行于直线，求出直线的解析式，然后由在直线上，通过设的坐标，设出新抛物线的解析式，然后代入点坐标求解即可． 【详解】（1）令抛物线，则， 解得：， ∴，， 将代入，解得：， ∴直线解析式为：，， ∴，， ∴； （2）设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线平行于直线， ∴设直线的解析式为：， 由抛物线解析式知：， 将代入得：， ∴直线的解析式为：， ∵在直线上，则设的坐标为， ∴设平移后抛物线的解析式为：， ∵平移后抛物线经过点， ∴将代入得： ， 解得：或， ∴新抛物线解析式为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像平移问题，理解函数图象平移前后的变化特征，并熟练运用顶点坐标变化求解是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$