精品解析：湖南省郴州市宜章县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为或， 又，所以. 故选：C. 2. 已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出不等式的解，在判断是什么条件即可. 【详解】由得， 由得， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断，对于CD，利用不等式的性质分析判断， 【详解】，，，即， 且，无法取得等号，则，故A正确； 当，时，，，，，故B错误； ，∴，，故C错误； ，，而，则，故D错误． 故选:A 5. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】由题意. 故选：C 6. 均为正实数，且，，，则的大小顺序为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，将视为函数与函数，函数与函数，函数与函数交点得横坐标，结合图象得出的大小. 【详解】作出函数，，，的图象如下图所示： 则、、视为函数与函数、函数与函数，函数与函数的交点的横坐标，由图象可知. 故选：D. 7. 在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，记AC的中点为，记的外接圆圆心为，分别过，作平面ABC，平面SAC的垂线，两垂线交于点O，则O为四面体的外接球球心，然后结合已知条件求出球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】如图，记AC的中点为，因为，为等边三角形， 所以， 所以二面角的平面角为，则， 记的外接圆圆心为，又的外接圆圆心为， 分别过，作平面ABC，平面SAC的垂线，两垂线交于点O， 则O为四面体的外接球球心． 由，，得， 因为为等边三角形，所以，， 因为，， 所以，所以， 所以,解得， 因此四面体的外接球的半径， 所以外接球的表面积为． 故选：B 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B是相互独立事件 B. 事件A与事件C是互斥事件 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由列举法求解所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解概率，结合选项即可逐一求解. 【详解】连续抛掷质地均匀的骰子两次， 有,, 共36种等可能的不同结果， 所以，，，， 则，故事件A，B相互独立，A正确； 事件A与事件C可能同时发生，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）. A. B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 函数在上为增函数 D. 函数在上有四个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】函数是R上的偶函数，对任意，都有成立，我们令，可得，进而得到恒成立，再由当，且时，都有，我们易得函数在区间单调递增，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】令，则由， 得， 故,A正确； 由得：，故以6为周期． 又为偶函数即关于直线对称， 故直线是函数的图象的一条对称轴，B正确； 因为当，，时，有成立， 故在上为增函数， 又为偶函数， 故在上为减函数， 又周期为6． 故在上为减函数， C错误； 该抽象函数图象草图如下： 函数周期为6，故 ， 故在上有四个零点， D正确． 故答案为：ABD． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性、对称性及函数的零点与方程根的关系，属于基础题. 11. 已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，，，则三棱锥的体积 D. 已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据“仿射”坐标的定义结合向量数量积的定义分析判断，对于B，根据“仿射”坐标的定义结合向量的加减法运算分析判断，对于C，由题意可得三棱锥是棱长为1的正四面体，从而可求出其体积，对于D，根据“仿射”坐标的定义结合向量的夹角公式分析判断. 【详解】对于A，，，， ，，故A错； 对于B，∵，， ∴， ∴， ，故B对； 对于C，由题意，三棱锥是棱长为1的正四面体，则正四面体的高为 ， ，故C对； 对于D，由，，得， ∴，，， ∴， 当时， ， 当时，，则与的夹角不一定取得最小值，故D错． 故选：BC． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点个数为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】合理转化为函数交点问题，作出图像后观察即可. 【详解】函数的零点个数转化为与两个函数图象的交点个数， 利作出图象，由图可知， 两个函数图象有四个交点， 所以函数有4个零点. 故答案为：4. 13. 二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意可得，即可由不等式求解. 【详解】由题意可知的二维码共有个， 由可得，故， 由于，所以， 故答案为：7 14. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积的方法得到正八面体的内切球半径，然后将转化为，最后求范围即可. 【详解】 由题意得为正方形的中心，取中点H，连接，， 因为为正八面体，所以平面，， ，，， 设正八面体的内切球半径为， 则, 所以，解得， ， 由图可知，当点在正八面体的顶点时，最大，为，当点在切点，最小，为， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成 ，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图. （1）若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名? （2）估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数. 【答案】（1） （2）该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图，由频率计算概率，再计算人数即可； （2）利用频率分布直方图的平均数的计算公式可得平均数；先确定第百分位数在内，然后列式计算. 【小问1详解】 由题意知不低于分钟的频率为， 所以该段日平均数学学习时长不低于分钟的学生有． 【小问2详解】 ，可知名学生的日平均数学学习时长的平均数约为． ， ， 所以第百分位数在内， 设第百分位数为，则有，解得， 所以该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为． 16. 一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数表示为个正整数的和，叫做正整数的拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数的无序拆分.例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}． （1）写出9的所有无序2拆分； （2）从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率. 【答案】（1）{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用列举法能求出9的所有无序2拆分． （2）求出9的所有无序3拆分共7个．用表示“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”，求出中含有3个样本点，由此能求出“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率． 【详解】（1）9的所有无序2拆分为：{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}，共4个. （2）9的所有无序3拆分为： {1，1，7}，{1，2，6），{1，3，5}，{1，4，4}，{2，2，5}，{2，3，4}，{3，3，3}，共7个. 把每个“9的无序3拆分”看作一个样本点，用表示“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”，则中含有{1，4，4}，{2，3，4}和{3，3，3}，共3个样本点． 由于每个样本点被选中的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，所以“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率． 17. 如图，在中，，， . （1）求的值； （2）设，分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在由余弦定理求，再由正弦定理求， （2）由条件结合三角形面积公式可得，由余弦定理求，由此可得的解析式，再求其最值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 又，， ， 所以， 则， 由正弦定理得：，即，解得； 【小问2详解】 由题知，， 解得：， 由余弦定理得：，， 则， 所以， 当，即时，取最小值，. 18. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点在靠近的三等分点处 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【小问1详解】 过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. 【小问2详解】 因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 【答案】（1）①；；②的最小值为4，. （2）证明：, 因为， 所以,, 所以. （3）最小值为，. 【解析】 【分析】（1）由的定义即可求解. （2）根据向量的新定义，,,且有，从而. （3）平面方程，可设法向量，根据新定义求出最小值. 【小问1详解】 由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是以为球心，1为半径的球面上的动点，不妨设， 则， 点是内部的动点，不妨设， 即， 化简得，设面ABC的法向量为， ， 易知当平面且在球心和平面之间的时候，最小， 设， ， 设，则， 是内部的动点，， 此时， 综上，时最小. 【点睛】关键点点睛：第三问，说明平面是取最小值的必要条件，进而确定且共线且平面时取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 均为正实数，且，，，则的大小顺序为 A. B. C. D. 7. 在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B是相互独立事件 B. 事件A与事件C是互斥事件 C. D. 10. 已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）. A. B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 函数在上为增函数 D. 函数在上有四个零点 11. 已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，，，则三棱锥的体积 D. 已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点个数为__________. 13. 二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为__________. 14. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成 ，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图. （1）若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名? （2）估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数. 16. 一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数表示为个正整数的和，叫做正整数的拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数的无序拆分.例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}． （1）写出9的所有无序2拆分； （2）从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率. 17. 如图，在中，，， . （1）求的值； （2）设，分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求的最小值. 18. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $