精品解析：2022年山东省青岛市局属学校中考数学模拟试题

山东省青岛市局属学校2022年数学中考模拟试题5 （考试时间：120分钟；满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共四道大题，含24道小题．其中第1－8题为选择题；第9－14题为填空题；第15题为作图题；第16题－24题为解答题．请用2B铅笔涂卡，黑色中性笔答题，将答案答在答题纸的相应位置上，务必对准题号． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的体积为（　　） A. 3π B. 2π C. π D. 12 4. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的长为，宽为，点为矩形的中心，的半径为，于点，．若绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ） A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次 7. 如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE和FG相交于点O．设AB＝a，CG＝b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④（a﹣b）2•S△EFO＝b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，中，，正方形的顶点D、F分别在边上，C、D两点不重合，设的长度为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. ______ 10. 我国南海某海域探明可燃冰储量约有亿立方米，亿用科学记数法可表示为______． 11. 某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达108分以上，据此估计该校九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有__名学生． 12. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为______． 13. 如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程__________________________． 14. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是 ． 三、作图题（本题满分4分） 15. 已知：线段a 和，求作：，使得， ， ． 结论： 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简． （2）解不等式组：． 17. 小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）计算被抽取的天数； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数； （3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数． 18. 四张扑克牌的牌面如图1，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上，小明和小亮设计了A、B两种游戏方案： 方案A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜；否则小亮获胜． 方案B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜． 请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由． 19. 如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行小时后到达C处，发现此时灯塔B在它的北偏东方向．求此时货轮与灯塔B的距离（结果精确到0.01海里）．（参考数据：,,,） 20. 某商场经营一种品牌童装，购进时单价是60元/套，根据市场调查，在一段时间内，当销售单价是100元/套时，平均每天可销售20套；而销售单价每降低1元，则商场平均每天可多售出2套这种品牌的童装．如果这段时间内平均每天的销售量（套）与销售单价（元 ∕ 套）之间的关系可以近似看作一次函数． （1）写出这段时间内销售该品牌童装，商场平均每天销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求这段时间内销售该品牌童装，商场平均每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当利润是1200元时，那么该品牌童装销售单价是多少？ 21. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，是的中点，连接．过点C作交线段的延长线于点F，连接．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 22. 甲乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h，并且甲车途中休息了0.5 h，如图是甲乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象． (1)求出图中m，a的值； (2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围； (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km? 23. 课本作业题中有这样一道题：把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成对全等三角形，则视为同一种）； （2）中，，和是的三分线，点在边上，点在边上，且，设，试画出示意图，并求出所有可能的值； （3）如图3，中，，请画出的三分线，并求出三分线的长． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长； （3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛市局属学校2022年数学中考模拟试题5 （考试时间：120分钟；满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题共四道大题，含24道小题．其中第1－8题为选择题；第9－14题为填空题；第15题为作图题；第16题－24题为解答题．请用2B铅笔涂卡，黑色中性笔答题，将答案答在答题纸的相应位置上，务必对准题号． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、不是轴对称图形，是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选D． 3. 某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的体积为（　　） A. 3π B. 2π C. π D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可以判断该几何体为倒放的圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，据此求得其体积即可． 【详解】解：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3， 故体积为：πr2h=π×12×3=3π， 故选：A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解圆柱的三视图并清楚其体积的计算方法． 4. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况， ∴两次都摸到白球的概率是：． 故答案为：C． 【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键． 5. 如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，点A、A′关于点C对称，设点A的坐标是（x，y）， 则， 解得， ∴点A的坐标是． 故选：D． 【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转． 6. 如图，矩形的长为，宽为，点为矩形的中心，的半径为，于点，．若绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ） A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出图形，直接写出答案即可 【详解】如图，与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现次， 故选 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键 7. 如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE和FG相交于点O．设AB＝a，CG＝b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④（a﹣b）2•S△EFO＝b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④． 试题解析：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCG=∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， 故①正确； ②延长BG交DE于点H， ∵△BCG≌△DCE， ∴∠CBG=∠CDE， 又∵∠CBG+∠BGC=90°， ∴∠CDE+∠DGH=90°， ∴∠DHG=90°， ∴BH⊥DE； ∴BG⊥DE． 故②正确； ③∵四边形GCEF是正方形， ∴GF∥CE， ∴， ∴是错误的． 故③错误； ④∵DC∥EF， ∴∠GDO=∠OEF， ∵∠GOD=∠FOE， ∴△OGD∽△OFE， ∴， ∴（a-b）2•S△EFO=b2•S△DGO． 故④正确； 故选B． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质． 8. 如图，中，，正方形的顶点D、F分别在边上，C、D两点不重合，设的长度为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，动点问题的函数图象，分类讨论：当时，根据正方形的面积公式得到；当时，交于，交于，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形的面积得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：当点E恰好在上时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，正方形与的重叠部分即为正方形，则； 当时，交于，交于，如图， ，则， 同理可证明为等腰直角三角形， ，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. ______ 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先进行绝对值运算、零指数幂，立方根运算，再合并即可解答． 【详解】解：原式 ； 故答案为：1． 10. 我国南海某海域探明可燃冰储量约有亿立方米，亿用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】亿 故答案为：． 11. 某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达108分以上，据此估计该校九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有__名学生． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键． 用640乘以成绩达108分以上人数所占抽取样本的比例即可． 【详解】∵随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，有10名学生的成绩达108分以上， ∴九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有（人）． 故答案为：160． 12. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积 以为直径的半圆的面积扇形的面积”即可求解． 【详解】解： ． 故答案为． 13. 如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程__________________________． 【答案】 【解析】 【分析】设道路的宽为，将6块草地平移为一个长方形，长为，宽为．根据长方形面积公式即可列方程． 【详解】设道路的宽为， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 14. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第2014个正方形和第2014个正方形的边长，进一步得到点A2014到x轴的距离． 【详解】如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…， ∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…， ∴B2014E4016=， 作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F， 则△C1D1F∽△C1D1E1， ∴， 在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1， 正方形A1B1C1D1的边长为， ∴D1F=， ∴A1F=， ∵A1E∥D1E1， ∴， ∴A1E=3， ∴， ∴点A2014到x轴的距离是 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．规律型：点的坐标；3．正方形的性质；4．相似三角形的判定与性质． 三、作图题（本题满分4分） 15. 已知：线段a 和，求作：，使得， ， ． 结论： 【答案】图见解析，结论：为所求作三角形 【解析】 【分析】本题考查了作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，以及垂直平分线作图，先画一条线段，用圆规在线段上取，再画，以及线段a垂直平分线，取，连接，所作即为所求． 【详解】解：所作如下图所示： 结论：为所求作三角形． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式运算及解一元一次不等式组，熟知它们运算的法则是解题的关键． （1）根据同分母的分式加减法，直接分子相减，然后提取公因式，约分化简即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）原式= ； （2）， 解不等式①得：； 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 17. 小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）计算被抽取的天数； （2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数； （3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数． 【答案】（1）50 （2）补全条形统计图如图所示： ； 57.6°（3）292天 【解析】 【分析】（1）根据扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，即可得出被抽取的总天数． （2）利用轻微污染天数是50-32-8-3-1-1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，即可得出答案． （3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365天）达到优和良的总天数即可 【详解】（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天， ∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）． （2）轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天． 扇形统计图中表示优的圆心角度数是360°=57.6°． （3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32， ∴一年（365天）达到优和良的总天数为：×365=292（天）． 因此，估计该市一年达到优和良的总天数为292天． 18. 四张扑克牌的牌面如图1，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上，小明和小亮设计了A、B两种游戏方案： 方案A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜；否则小亮获胜． 方案B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜． 请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由． 【答案】B方案；答案见解析 【解析】 【详解】试题分析：由四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，可求得方案A中，小亮获胜的概率；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案；比较其大小，即可求得答案． 试题解析：小亮选择B方案，使他获胜的可能性较大．理由如下： 方案A：∵四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况， ∴P（小亮获胜）= 方案B：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有4种情况，不是偶数的有8种情况， ∴P（小亮获胜）=； ∴小亮选择B方案，使他获胜的可能性较大． 考点：列表法与树状图法． 19. 如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行小时后到达C处，发现此时灯塔B在它的北偏东方向．求此时货轮与灯塔B的距离（结果精确到0.01海里）．（参考数据：,,,） 【答案】海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，等腰直角三角形性质．正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 过B点作于点M，得到，设，则，在中，利用解直角三角形建立等式求出，最后利用解直角三角形求解，即可得到货轮与灯塔B的距离． 【详解】解：过B点作于点M， ， ， ， 设， ， ， 在中， ，， ， 解得， ， （海里）． 答：此时货轮与灯塔B的距离约为53.33海里． 20. 某商场经营一种品牌童装，购进时单价是60元/套，根据市场调查，在一段时间内，当销售单价是100元/套时，平均每天可销售20套；而销售单价每降低1元，则商场平均每天可多售出2套这种品牌的童装．如果这段时间内平均每天的销售量（套）与销售单价（元 ∕ 套）之间的关系可以近似看作一次函数． （1）写出这段时间内销售该品牌童装，商场平均每天销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求这段时间内销售该品牌童装，商场平均每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当利润是1200元时，那么该品牌童装销售单价是多少？ 【答案】（1） （2）；80元或90元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键在于找出等量关系列出等式． （1）根据“销售单价每降低1元，则商场平均每天可多售出2套”列出关系式即可； （2）根据利润单个利润销售量，列出函数关系式即可，再根据“利润是1200元”列出等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 解：， 由题意，当利润是1200元时，有：， 解得，． 当利润是1200元时，该品牌童装销售单价是80元或90元． 21. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，是的中点，连接．过点C作交线段的延长线于点F，连接．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 在矩形中，， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得 ，根据线段中点的定义可得，然后证明和全等； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 甲乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h，并且甲车途中休息了0.5 h，如图是甲乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象． (1)求出图中m，a的值； (2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围； (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km? 【答案】(1) m=1， a＝40；(2) y＝；(3)当乙车行驶或小时，两车恰好相距50 km. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据“路程÷时间=速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值； （2）由分段函数当0≤x≤1，1＜x≤1.5，1.5＜x≤7由待定系数法就可以求出结论； （3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 试题解析：（1）由图知1.5-m=0.5 ∴m=1 = ∴a=40 （2）休息前，图象过（1，40），所求函数为y=40x（0≤x≤1） 休息时，所求函数为y=40（1＜x≤1.5） 休息后，图象过（1.5，40），（3.5，120） 将坐标代入y=kx+b 解得 所求函数为y=40x－20（1.5＜x≤7） （3）设乙车行驶xh时，两车恰好相距50km 相遇前，40（x+2-0.5）-80x=50 解得x=0.25h 相遇后，80x-40（x+2-0.5）=50 解得x=2.75h 答：乙车行驶0.25h或2.75h时，两车恰好相距50km 23. 课本作业题中有这样一道题：把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成对全等三角形，则视为同一种）； （2）中，，和是的三分线，点在边上，点在边上，且，设，试画出示意图，并求出所有可能的值； （3）如图3，中，，请画出的三分线，并求出三分线的长． 【答案】（1）画图看解析 （2）的度数是或 （3）三分线长分别是和 【解析】 【分析】（1）根据含角的等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为和，再以分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法． （2）用量角器，直尺标准作角，而后确定一边为，一边为，根据题意可以先固定的长，而后可确定点，再标准作图实验——分别考虑为等腰三角形的腰或者底边，兼顾在同一直线上，易得2种三角形．根据图形易得的值． （3）因为，作的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长． 【小问1详解】 解：如图2作图； 【小问2详解】 解：如图3 ①、②作． ①当时， ∵， ∴． ②当时， ∵， ∴． 所以的度数是或； 【小问3详解】 解：如图4，就是所求的三分线． 设，则，， 此时，，设，， ∵， ∴， ∵， ∴， 所以联立得方程组， 解得，即三分线长分别是和． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线，相似的综合，理解新定义的概念，掌握图形变换的性质，分类讨论思想，图形结合分析是解题的关键． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形； （2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长； （3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：当t=2时，DH=AH=4， AD⊥AB，AD⊥EF EF∥BC, ∴EH=BD，FH=CD ， 又∵ AB=AC，AD⊥BC ∴ BD=CD ∴ EH=FH ∴ EF与AD互相垂直平分 ∴ 四边形AEDF为菱形 （2）BP=6cm； （3）当或时，△PEF为直角三角形. 【解析】 【分析】（1）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明； （2）首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解； （3）分三种情形，需要分类讨论，分别求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意得DH=2t，AH=8－2t，BC=10cm，AD=8cm， EF∥BC △AEF∽△ABC ∴ ，即， 解得EF=10-t ∴ 即△PEF的面积存在最大值10cm2，此时BP=3×2=6cm． 【小问3详解】 过E、F分别作EN⊥BC于N，FM⊥BC于M， 则EF=MN=，EN=FM， AB=AC BN=CM= 在Rt△ACD和Rt△FCM中， ， 即， 解得FM=EN=2t， 又BP=3t CP=10-3t， ， 则 ， 分三种情况讨论： ①若∠EPF=90°，则，解得，（舍去） ②若∠EFP=90°，则，解得，（舍去） ③若∠FEP=90°，则，解得，（均舍去） 综上所述，当或时，△PEF为直角三角形. 【点睛】本题考查了菱形的判定、相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，运用分类讨论的数学思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $