空间向量与立体几何：动点问题专项训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：动点问题专项训练 空间向量与立体几何：动点问题专项训练 1．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面. (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 2．（23-24高二上·广东深圳龙岗区·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面； (2)若，若平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 3．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）. (1)若为的中点，求证：； (2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离. 5．（23-24高二上·广东深圳光明区·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为，为棱上一点（不含端点），试探究上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 6．（23-24高二上·广东深圳南山区·期末）如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，且为的中点. (1)证明：平面； (2)当时，试判断在棱上是否存在点，使得二面角的大小为.若存在，请求出的值；否则，请说明理由. 7．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 8．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，相交于点，现沿着折成四棱锥（如图2） (1)当四棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：动点问题专项训练 空间向量与立体几何：动点问题专项训练 1．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面.    (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，过点作的平行线，与相交于点，连接， ， ， 四边形是平行四边形，， 又平面平面平面；    （2）如图，取的中点的中点，连， ， 平面平面，平面平面面， 所以平面， ， ， 由两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴方向建立如图所求的空间直角坐标系， 可得， 设平面的法向量为，由， 有，取，可得， 设平面的法向量为，由， . 有，取，可得， 所以， 由和平面与平面的夹角的余弦值为， 有，平方后整理为，解得或（舍去）， 故若平面与平面的夹角的余弦值为，可得的值为. 2．（23-24高二上·广东深圳龙岗区·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面； (2)若，若平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点,连接, 因为，则，,且, 又面，所以面,面,则, 又因为,平面，所以平面. （2）由（1）可知，平面，且，以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以，,,,, ,,, 所以,,, 设平面的一个法向量， 则令，可得，所以， 设平面的一个法向量为， 则,令，可得， 所以， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以,解得：或， 因为，所以. 3．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.    (1)若为的中点，求证：； (2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在实数 【详解】（1）因为在四边形中，，，， 所以， 在四棱锥中，，即，，. 又平面，平面，， 所以平面，即是四棱锥的高， 因此，所以. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，. 又为的中点，所以， 因此，， 所以，所以，即. （2）由（1）知，，， 设平面的一个法向量为， 则即 令，则， 所以是平面的一个法向量. 因为，所以，， 所以，所以. 设平面的一个法向量为， 则即 令，则，， 所以是平面的一个法向量， 所以， 可得，解得或. 又，所以， 即存在实数，使得锐二面角的余弦值为. 4．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为在正方形中，有， 又底面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，又平面， 所以，又，点是棱的中点，所以有， 又，平面，所以平面，又平面， 所以； （2）如图，以点为原点，以，，所在直线为，，轴，建系如图， 则,0,,,0,,,0,,， 设点,3,，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 由于直线与平面所成角的正切值为，故直线与平面所成角的正弦值为 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 化简可得，即， 所以或（舍， 即点,3,，所以，，， 所以点到平面的距离． 5．（23-24高二上·广东深圳光明区·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角为，为棱上一点（不含端点），试探究上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，1 【详解】（1）因为平面平面，，平面， 平面平面，所以平面， 又平面，故， 因为四边形为菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）设，由（1）可知，平面， 故直线与平面所成的角为，所以， 则与均为边长为2的等边三角形， 以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由平面，可得平面的法向量为， 而，，， 设（），则，，， 设平面的法向量，则， 取，可得，，故， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 解得或0（舍去）， 所以存在一点使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的长为1. . 6．（23-24高二上·广东深圳南山区·期末）如图，在四棱锥中，已知，是等边三角形，且为的中点. (1)证明：平面； (2)当时，试判断在棱上是否存在点，使得二面角的大小为.若存在，请求出的值；否则，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：在四棱锥中，已知，如图，取的中点，连接， 是等边三角形，且为的中点. ， 是棱的中点，为的中点， ，且. ， ，且. 四边形是平行四边形， . 平面平面， 平面.    （2）是等边三角形，为的中点， ，且为的中点，， ， 又，且平面平面， 平面,平面, ，又，且平面， 平面， 平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 如图，建立空间直角坐标系    则， 假设存在满足题设的点，不妨设，且，则， ，且， ，即， 所以则即 不妨设平面的一个法向量为， 易知， 由 令，则，. 显然平面的一个法向量为， . ，又，解得， 存在满足题设的点，此时. 7．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为底面为正方形，则， 又因为平面，平面，。 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 因为，且E为的中点，则， 由，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）以分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，， 设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 又因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意得：，即， 整理得即，解得或（舍去）， 所以存在，此时. 8．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，相交于点，现沿着折成四棱锥（如图2） (1)当四棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）在图1中，在中，， ，易知四边形为正方形，，即为中点， 在图2中，当四棱锥的体积最大时， 即侧面⊥底面，因为侧面， 所以⊥底面， 以为原点，，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，，， ， 方法1：设平面的一个法向量为， ，，， A点到平面的距离. 方法2：（等体积法） 由题意得为等边三角形，且， ，， 设A点到平面的距离为， ，， ，. （2）假设存在，且设， ， ，设平面的一个法向量为， ，，， 易知平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角的余弦值为， ， 化简整理得，解得： 或（舍）， 线段上存在满足条件的点，且. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$