专题12 解题技巧专题：确定二次函数解析式的方法（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题12 解题技巧专题：确定二次函数解析式的方法 目录 【题型一 已知一点、两点或三点坐标确定二次函数的解析式】 1 【题型二 利用顶点式确定二次函数的解析式】 1 【题型三 利用交点式确定二次函数的解析式】 2 【题型四 利用平移确定二次函数的解析式】 2 【题型五 利用对称变换或旋转变换确定二次函数的解析式】 3 【题型六 根据图像信息确定二次函数的解析式】 3 【题型七 根据几何图形的性质确定二次函数的解析式】 4 【题型八 根据数量关系确定二次函数的解析式】 5 【题型一 已知一点、两点或三点坐标确定二次函数的解析式】 例题：抛物线过三点，求抛物线的解析式 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）抛物线图像经过点，则函数的解析式为 ． 2．（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【题型二 利用顶点式确定二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 【变式训练】 1．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为 ． 2．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 【题型三 利用交点式确定二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，二次函数的图象与轴交于和两点，交轴于点． (1)求二次函数的解析式． (2)P点是抛物线上一个动点，且的面积为8，求出点P的坐标． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【题型四 利用平移确定二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022年西藏自治区初中学业水平数学模拟考试试题（四））将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东珠海·三模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 . 【题型五 利用对称变换或旋转变换确定二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·山东淄博·期末）将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 2．（20-21八年级下·全国·课后作业）已知抛物线的解析式，抛物线与抛物线关于x轴对称，求抛物线的解析式为 ． 【题型六 根据图像信息确定二次函数的解析式】 例题：（2024·广西南宁·二模）如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，此抛物线的解析式为 ． 2．（2024·黑龙江·三模）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在y轴上，且，求线段的长． 【题型七 根据几何图形的性质确定二次函数的解析式】 例题：（23-24八年级下·福建莆田·期中）一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，经过的直线与抛物线交于B，C两点，且，则直线的解析式是（　　）    A． B． C． D． 【题型八 根据数量关系确定二次函数的解析式】 例题：（21-22九年级上·江苏南通·期末）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川德阳·期末）抛物线关于轴对称后，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·海南海口·期末）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线解析式是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）与抛物线关于直线对称的图象的解析式是  （   ） A． B． C． D． 4．（2020·福建福州·一模）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（　　） A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5 5．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是 8．（23-24九年级上·吉林白城·阶段练习）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，则第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式为 ． 9．（21-22九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于点，顶点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，函数的最小值为，则的取值范围是______． 10．（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）已知二次函数图象经过点、点点，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标 ． 三、解答题 11．（2024·天津和平·一模）已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 12．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．    13．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线经过点和点，与轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为，用含有的代数式表示线段的长． 14．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 15．（2024·河北秦皇岛·一模）某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：． (1)求一盒果篮的成本（成本进价包装费）； (2)若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解题技巧专题：确定二次函数解析式的方法 目录 【题型一 已知一点、两点或三点坐标确定二次函数的解析式】 1 【题型二 利用顶点式确定二次函数的解析式】 3 【题型三 利用交点式确定二次函数的解析式】 4 【题型四 利用平移确定二次函数的解析式】 6 【题型五 利用对称变换或旋转变换确定二次函数的解析式】 7 【题型六 根据图像信息确定二次函数的解析式】 9 【题型七 根据几何图形的性质确定二次函数的解析式】 11 【题型八 根据数量关系确定二次函数的解析式】 13 【题型一 已知一点、两点或三点坐标确定二次函数的解析式】 例题：抛物线过三点，求抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将（0，4），（1，3），（-1，4）代入抛物线中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）抛物线图像经过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式方法进行求解，是解决本题的关键．把点代入二次函数中，求出的值即可得出答案． 【详解】解：把点代入中， 得， 解得， 该函数的解析式为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 【题型二 利用顶点式确定二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出值是关键． 根据顶点坐标，设抛物线的解析式为，由图象开口向上得出，就可以求出结论． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 该抛物线的图象开口向上， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题目是一道求解二次函数解析式的问题，设二次函数解析式时，有三种表示方法：一般式，顶点式，交点式．知道顶点时，通常设成顶点式求解较简单．根据二次函数顶点坐标设出顶点形式，把代入求出值，即可确定出解析式． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数与轴的一个交点是， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：， 故答案为： 2．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意可知二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把代入解析式解出a的值即可求出答案． 【详解】解：∵当时，函数有最大值是2， ∴二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【题型三 利用交点式确定二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，二次函数的图象与轴交于和两点，交轴于点． (1)求二次函数的解析式． (2)P点是抛物线上一个动点，且的面积为8，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数与面积问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意设二次函数的解析式为：，将代入即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于和两点， ∴设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得： ∴ （2）解：∵， ∴，即 令， 解得：， 令 解得 ∴点P的坐标为或 【变式训练】 1．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意，设二次函数解析式为，将点代入，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【题型四 利用平移确定二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．先将化成顶点式，再根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是， 即， 故选：C． 【变式训练】 1．（2022年西藏自治区初中学业水平数学模拟考试试题（四））将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 由平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线的函数解析式为， 即， 故选：A 2．（2024·广东珠海·三模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 . 【答案】 【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 ， 即． 故答案为： 【题型五 利用对称变换或旋转变换确定二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·山东淄博·期末）将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定旋转后的a的值和顶点坐标． 先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的，顶点是， ∴将抛物线绕原点旋转，得到的抛物线的，顶点是， ∴旋转后的抛物线解析式为． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 2．（20-21八年级下·全国·课后作业）已知抛物线的解析式，抛物线与抛物线关于x轴对称，求抛物线的解析式为 ． 【答案】y＝−2x2＋4x−5． 【分析】利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即−y＝2x2−4x＋5， 因此所求抛物线C2的解析式是y＝−2x2＋4x−5． 故答案为：y＝−2x2＋4x−5 【点睛】此题考查了二次函数的性质，利用轴对称变换的特点可以解答． 【题型六 根据图像信息确定二次函数的解析式】 例题：（2024·广西南宁·二模）如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数解析式．先求出，然后用待定系数法求解即可． 【详解】如图，作于点C    ∵，，， ∴， ∴， 设函数解析式为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，此抛物线的解析式为 ． 【答案】+16 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并能利用待定系数法求二次函数解析式是关键． 依据题意，根据图象得到：顶点坐标是，因而可以利用顶点式求解析式． 【详解】解：由题意，设解析式是：， 根据题意得：， 解得． ∴函数关系式. 故答案为：. 2．（2024·黑龙江·三模）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在y轴上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键． （1）用待定数法求二次函数的解析式即可． （2）先求出A，B两点之间的坐标，即可求出，根据求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出的长即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）令，则， 解得， ∴，， ∴， ∴． ①当时， ②当时， 综上：的长为1或． 【题型七 根据几何图形的性质确定二次函数的解析式】 例题：（23-24八年级下·福建莆田·期中）一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，经过的直线与抛物线交于B，C两点，且，则直线的解析式是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，根与系数的关系，解一元二次方程．设直线的解析式为，把代入求得，联立得，推出，由根与系数的关系得，，根据，求得，得到，解方程即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 由根与系数的关系得，， ∵， ∴，即， ∴，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴直线的解析式是， 故选：D． 【题型八 根据数量关系确定二次函数的解析式】 例题：（21-22九年级上·江苏南通·期末）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增长率问题的计算公式解答． 【详解】解：第2年的销售量为， 第3年的销售量为， 故选：B． 【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键． 【变式训练】 1.（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 【答案】 10240 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川德阳·期末）抛物线关于轴对称后，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象关于坐标轴对称规律，二次函数的图象及性质，理解函数图象关于轴对称是将解析式中变换为是解题的关键． 【详解】解：对称后开口方向和与轴的交点坐标都没有发生改变， 抛物线关于轴对称后为 ， 故选：B． 2．（22-23九年级上·海南海口·期末）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 3．（2024·浙江·模拟预测）与抛物线关于直线对称的图象的解析式是  （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标是，根据关于直线对称求出对称点是，即可写出函数解析式. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∵点关于直线的对称点是， ∴与抛物线关于直线对称的图象的解析式是， 故选：C 4．（2020·福建福州·一模）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（　　） A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5 【答案】A 【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式. 【详解】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3） ∴OC＝3， ∵OB＝OC＝3OA， ∴OB＝3，OA＝1， ∴A（﹣1，0），B（3，0） 把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得： a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0， 解得：a＝1，b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 故选：A． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题. 5．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，设解析式为，根据，，构建方程组求解即得． 本题主要考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法确定二次函数解析式，结合抛物线在坐标系的位置，将二次函数解析式设为适当的形式，是解题的关键． 【详解】∵抛物线关于y轴对称， ∴设解析式为， 由题知，， 得， 解得， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与几何变化．将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道抛物线的顶点，即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：， 配方可得， 顶点坐标为， 坐标为 由旋转得到， ，即顶点坐标为，； 照此类推可得，顶点坐标为，； 顶点坐标为，； ， 抛物线的顶点坐标是，，． 抛物线的解析式是． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·吉林白城·阶段练习）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，则第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用第3年的销售量=第一年的销售量每年销售量的增长率，即可得出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： 9．（21-22九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于点，顶点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，函数的最小值为，则的取值范围是______． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况：所给范围在对称轴左侧，右侧及包含对称轴，分别利用二次函数的性质讨论即可． 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， ． 解得． ． 抛物线的解析式为． （2）由顶点坐标可知抛物线的对称轴为， 当时，位于对称轴右侧，y随着x的增大而增大，此时当时，取最小值，即， 解得； 当时，即时，位于对称轴左侧，y随着x的增大而减小，此时当时，取最小值，即， 解得； 当时，即时，此时当时，取最小值，即，符合题意， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数，掌握待定系数法及二次函数的性质并分情况讨论是关键． 10．（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）已知二次函数图象经过点、点点，求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标 ． 【答案】解析式，对称轴，顶点坐标． 【分析】将点坐标代入解析式，得方程组求解，确定函数解析式，根据二次函数的性质求得对称轴，顶点坐标． 【详解】解：由题意，得 ，解得， ∴． ∴ 对称轴：，顶点坐标． 故答案为：解析式，对称轴：，顶点坐标． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质；掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 三、解答题 11．（2024·天津和平·一模）已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据顶点式可直接得出答案； （3）根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线经过，两个点， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴顶点为， 故答案为：； （3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．    【答案】； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理；求出二次函数的解析式是解题的关键．由题意设抛物线的解析式为交点式，根据得点C的坐标，并代入抛物线解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：拋物线交轴于两点，故设抛物线解析式为， ∵， ∴， 把点C坐标代入中，得， ∴， ∴， 化为一般式为：； ∵， ∴， 由勾股定理得：． 13．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线经过点和点，与轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为，用含有的代数式表示线段的长． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)． 【分析】（）根据已知抛物线经过点和点代入即可求解；（）求出坐标及解析式，根据过点作轴的平行线交直线于点，即可用含的代数式表示出和的坐标，进而求解； 本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线经过点和点，与轴相交于点， ∴， ∴，即， ∴抛物线解析式为； （2）由可知，对称轴为直线，点， 设直线解析式， 将点、代入解析式， 则 ，解得：， ∴直线解析式， 设， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∴． 14．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值， 结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 15．（2024·河北秦皇岛·一模）某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：． (1)求一盒果篮的成本（成本进价包装费）； (2)若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 【答案】(1)一盒果篮的成本为48元 (2) (3)每月的最大利润为12960元 【分析】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键． （1）设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为元，根据用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多列分式方程解答； （2）根据利润=每盒果篮的利润×销量得到函数解析式； （3）当且m为整数时，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为元． 依题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，， ∴一盒果篮的成本为：（元）； （2）解：依题意，得； （3）解：由（2）可知每月的利润， 可化简为， 当且m为整数时， ∵， ∴当时w最大，此时：， ∴每月的最大利润为12960元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$