专题11 实际问题与二次函数（7大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题11 实际问题与二次函数 目录 【题型一 利用二次函数求最大面积】 1 【题型二 利用二次函数求最大利润】 2 【题型三 利用二次函数解决拱桥问题】 2 【题型四 利用二次函数解决动点问题】 3 【题型五 利用二次函数解决球类运行轨迹问题】 4 【题型六 利用二次函数喷泉类问题】 5 【题型七 利用二次函数解决增长率问题】 7 【题型一 利用二次函数求最大面积】 例题：（2024·河北石家庄·二模）如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为，设饲养室宽为，占地总面积为，则三间饲养室总面积有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【变式训练】 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    2．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为12米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求的长． (2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？ 【题型二 利用二次函数求最大利润】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 2．（22-23九年级上·广东佛山·期末）某商场销售一种学生用计算器，进价为每台20元，售价为每台30元，每周可卖160台，如果每台售价每上涨2元，每周就会少卖20台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元，设每台售价上涨x元，每周的销售利润为y元． (1)当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元； (2)当计算器定价为多少元时，商场每周的利润最大？ 【题型三 利用二次函数解决拱桥问题】 例题：（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·期末）如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 2．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 【题型四 利用二次函数解决动点问题】 例题：（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【题型五 利用二次函数解决球类运行轨迹问题】 例题：（2024·陕西咸阳·模拟预测）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论正确的是（　　） A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球距离地面的最大高度为 C．足球被踢出时落地 D．足球被踢出时，距离地面的高度是 【变式训练】 1．（2024·河南驻马店·二模）王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 2．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【题型六 利用二次函数喷泉类问题】 例题：（2022·湖北荆州·一模）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 m． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 【题型七 利用二次函数解决增长率问题】 例题：（22-23九年级上·河南漯河·阶段练习）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022·宁夏银川·三模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 2．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 一、单选题 1．（22-23九年级上·山东济宁·期中）小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 2．（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为（   ） A．50元 B．80元 C．90元 D．100元 二、填空题 6．（19-20九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 7．（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件元，在铅售过程中发现（件）与每件玩具售价元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润为 元． 8．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，拋物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交拋物线于点，，则的面积是 ． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）“地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为 ． 10．（23-24八年级下·北京海淀·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 三、解答题 11．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 12．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 14．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 15．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)若商场获得了10000元销售利润，且尽量减少库存，该玩具销售单价应定为多少元？ (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 实际问题与二次函数 目录 【题型一 利用二次函数求最大面积】 1 【题型二 利用二次函数求最大利润】 4 【题型三 利用二次函数解决拱桥问题】 5 【题型四 利用二次函数解决动点问题】 7 【题型五 利用二次函数解决球类运行轨迹问题】 10 【题型六 利用二次函数喷泉类问题】 12 【题型七 利用二次函数解决增长率问题】 15 【题型一 利用二次函数求最大面积】 例题：（2024·河北石家庄·二模）如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为，设饲养室宽为，占地总面积为，则三间饲养室总面积有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设饲养室宽为，则长为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围，再根据二次函数的性质进行求解． 【详解】解：设饲养室宽为，则长为， ， ， ； 在时，随的增大而减小， 当时，， 即最大值为， 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 2．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为12米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求的长． (2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】(1)的长为12米 (2)当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，掌握一元二次方程的解法及二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案； （2）先根据题意求出x的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：依题意可列方程， ∴ 解得， 当时，，故舍去； 当时，， ， ∴的长为12米； （2）解：依题意，得， 解得． ∵面积， ∴当时，有最大值，； 答：当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米． 【题型二 利用二次函数求最大利润】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【答案】205 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值． 【详解】解： ∴当时，取最大值41， （万元）， 年所获利润的最大值205万元， 故答案为：205． 2．（22-23九年级上·广东佛山·期末）某商场销售一种学生用计算器，进价为每台20元，售价为每台30元，每周可卖160台，如果每台售价每上涨2元，每周就会少卖20台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元，设每台售价上涨x元，每周的销售利润为y元． (1)当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元； (2)当计算器定价为多少元时，商场每周的利润最大？ 【答案】(1)当计算器定价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元 (2)当计算器定价33元时，商场每周的利润最大 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用题，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据题意求出，即可计算出答案． （2）列出一元二次函数，根据函数的图像和性质得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，每台售价每上涨1元，每周就会少卖10台， ， 解得，， ， 符合题意， 此时计算器的售价为（元）， 答：当计算器定价为元时，商场每周的利润恰好为元； （2）解：， ，开口向下， 时，定价是，y取最大值， 答：当计算器定价元时，商场每周的利润最大． 【题型三 利用二次函数解决拱桥问题】 例题：（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及二次函数图象与性质，根据题意，结合二次函数图象与性质即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由抛物线的图象与性质可知，二次函数为的对称轴为轴，顶点坐标为， 该抛物线所在的平面直角坐标系是以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·期末）如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长． 【详解】解：由题意得、两点纵坐标为8， 把代入得：， 解得， ∴ ∴米． 故答案为：． 2．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 【答案】米 【分析】此题主要考查的是待定系数法求解析式以及二次函数的对称性，求出二次函数的解析式是解决问题的关键； 设出大孔抛物线的解析式的一般形式，代入点的坐标求得函数解析式，再由点的纵坐标代入即可解答． 【详解】解：设大孔对应的抛物线解析式为：，依题意得，， ， 解得：， 即， 当时，， 解得：， ，， 即此时大孔的水面宽度为米 【题型四 利用二次函数解决动点问题】 例题：（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值和勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用二次函数的性质即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， ∴ 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    【答案】 3 9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【题型五 利用二次函数解决球类运行轨迹问题】 例题：（2024·陕西咸阳·模拟预测）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论正确的是（　　） A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球距离地面的最大高度为 C．足球被踢出时落地 D．足球被踢出时，距离地面的高度是 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，根据表格中的数据和题意可以求得相应的函数解析式，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 代入表中前三对值得， 解得， ∴， ∴足球飞行路线的对称轴是直线，故选项A的结论正确，符合题意； 当时，取得最大值，此时， ∴足球距离地面的最大高度为，故选项B的结论错误，不符合题意； 当时，得或， ∴足球被踢出时落地，故结论C的结论错误，不符合题意； 当时，， ∴足球被踢出时，距离地面的高度是，故选项D的结论错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·河南驻马店·二模）王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当时自变量的值即可． 【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为 将点(0，1.28)代入，得 即抛物线解析式为， 当 化简，得 解得： (舍去)． 故答案为：8． 2．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方处 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， 当小明带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处． 【题型六 利用二次函数喷泉类问题】 例题：（2022·湖北荆州·一模）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 抛物线经过，对称轴为直线， 则设抛物线的解析式为：， 代入，求得：， 将值代入得到抛物线的解析式为：， 令，则， 则水管长为， 故选C． 【变式训练】 1．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．设抛物线的表达式为：，将点代入上式求出a，进而求解． 【详解】解：设抛物线的表达式为：， 将点代入，得， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 令，则，即， 故答案为：． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 【答案】(1) (2)7米 【分析】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，进而计算可以得解； （2）依据题意，由抛物线为，进而令，则，求出x的值即可判断得解． 【详解】（1）由题意得，抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴． ∴水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式为． （2）由题意，∵抛物线为， ∴令，则． ∴或（不合题意，舍去）． ∴花盆需至少离喷水装置为7米处，才不会被喷出的水流击中． 【题型七 利用二次函数解决增长率问题】 例题：（22-23九年级上·河南漯河·阶段练习）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是， 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：， 则函数解析式为：， 故选：C 【变式训练】 1．（2022·宁夏银川·三模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】设每次降价的百分率为x，由题意得，求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意得 ， 解得（舍去）， ∴每次降价的百分率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题列方程的方法是解题的关键． 2．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 一、单选题 1．（22-23九年级上·山东济宁·期中）小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】A 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：A 2．（2024·安徽蚌埠·三模）已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，二次函数的图象与性质，先分两种情况求解S与t之间的函数关系式，再判断即可． 【详解】解：如图，作直线， ∴，解得：， ∴， ∴， 当时， 当向右平移个单位长度可得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，且函数过， ∴A，B，D不符合题意； 当时，如图， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴C符合题意； 故选C 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确解得抛物线解析式是解题关键．根据题意建立坐标系，设抛物线的解析式为，将点代入，求得抛物线解析式，再将代入，计算并确定满足要求的解即可． 【详解】解：建立坐标系如下图， 根据题意，可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，或（舍去）， 故选：B． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为（   ） A．50元 B．80元 C．90元 D．100元 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设售价为每个x元，则每个利润为元，销售量为，根据：每个利润销售量总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可． 【详解】解：设单价定为x元，总利润为W元， 则可得销量为：，单件利润为：， 由题意得，， 故可得当时，W取得最大值，为90元， 故选：C． 二、填空题 6．（19-20九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 7．（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件元，在铅售过程中发现（件）与每件玩具售价元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润为 元． 【答案】1600 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式即可求解． 【详解】解：由题意，利润． ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 又∵， ∴当时，w取得最大值． 故答案为： 8．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，拋物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交拋物线于点，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与坐标轴交点、图象上点的坐标、三角形的面积，先求出，进而可得，即得，得到，再根据即可得到，最后利用三角形的面积公式计算即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：在中，当时，， ， 轴交抛物线于点， ， 令， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）“地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意为正整数所包含的意义，找出所求问题需要的条件．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设未来30天每天获得的利润为y， 化简，得 ∵，当时，随着的增大而增大， ∴ 解得，， 又∵， 即a的取值范围是：． 10．（23-24八年级下·北京海淀·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，将代入函数解析式求出x的值即可得到答案 【详解】解：当时，则， 解得 ∴(米） 故答案为 三、解答题 11．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)能，说明见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可求得； （3）根据题意可以求得当时的y的值然后与3.4比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：根据题意，得点，，． 设抛物线的解析式为． 把点代入，得． 解得． 抛物线的解析式为． （2）解：在中，令，得． 解得，． ， 在距离地面高处，隧道的宽度是． （3）解：这辆货运卡车能通过该隧道． ． 将代入，得． ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 12．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方处 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， 当小明带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 【答案】(1)，水流最大竖直高度的长为m (2)水管的高度增加米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设抛物线的解析式为，由A点坐标为，B点坐标为，进而求得a，k后得解，再令，从而求出水流喷出的最大高度； （2）依据题意，设抛物线为，结合此时B为，求出m，从而得抛物线解析式，再令，即可得解． 【详解】（1）由题意，A点坐标为，B点坐标为． 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点A，点B， ∴， ∴． ∴． ∴时，． ∴水流最大竖直高度的长为． （2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线为． 又此时B为， ∴． ∴． ∴抛物线为， 令， ∴， ， ∴水管的高度增加米． 14．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意和图形，可以写出y与x的函数关系式，再根据岸堤的可用长度不超过和，可以求得x的取值范围； （2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， ， 岸堤的可用长度不超过， ， 解得， 又， ， ， y与x之间的函数解析式是，自变量x的取值范围是； （2）， 当时，y随x的增大而减小， ， 当时，y取得最大值，此时， 答：的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是． 15．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)若商场获得了10000元销售利润，且尽量减少库存，该玩具销售单价应定为多少元？ (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)50元 (2)8640元 【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程及不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设该玩具销售单价应定为x元（），商场销售该品牌玩具获得的利润为w元，由题意得w关于x的二次函数，根据商场获得了10000元销售利润，可得关于的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可． （2）由玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，可得关于x的一元一次不等式组，解得x的取值范围；再将（1）中所得的二次函数写成顶点式，按照二次函数的性质可得符合题意的x值，进而得出最大利润． 【详解】（1）解：设该玩具销售单价应定为x元（），商场销售该品牌玩具获得的利润为w元，由题意得： ， 若商场获得了10000元销售利润，则， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， 该玩具销售单价应定为50元； （2）由题意得：， 解得：， ， ，对称轴为直线， 时，w随x的增大而增大， 当时，（元）． 商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$