第二十二章 二次函数单元培优训练（题型专攻）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版） - 副本 (3)

第二十二章 二次函数单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第22章 二次函数 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 3．如图所示，二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若抛物线(n是常数）的顶点恰好在直线上，则n的值为 （   ） A． B． C．1 D．2 5．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 7．抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 10．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．对于二次函数，当时，y的值为 ． 12．已知函数，当 时，它是二次函数． 13．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 14．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ． 15．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ． 16．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，花圃的面积为米． (1)如果要围成面积为45米的花圃，的长是多少米？ (2)当x为________时，花圃的面积最大，最大面积是________ 18．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 19．飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售，将所得全部利润用于开展公益活动，已知该橡胶飞盘进价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，且x为整数． x 18 20 22 24 y 70 60 50 40 (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)在销售过程中，当每个橡胶飞盘售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 20．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根水管，它喷出的水柱向各个方向沿形状相同的抛物线向外喷水，水流喷出的的高度y（单位米）与水面距离x(单位米）之间的函数解析式为，求喷水池的半径至少是多少？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．二次函数的图象与轴交于两点，已知点在点的左侧，求点和点的坐标． 22．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 23． 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且． (1)当，时，求与的值； (2)用只含字母、的代数式表示； (3)当时，函数满足，，，求的取值范围． 25．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？ (3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第22章 二次函数 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可 【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意； B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 3．如图所示，二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 4．若抛物线(n是常数）的顶点恰好在直线上，则n的值为 （   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的顶点，点在直线上的意义，由抛物线的顶点式求出顶点为，代入解析式，即可求解；会求抛物线的顶点是解题的关键． 【详解】解：由题意得 抛物线的顶点为， 顶点恰好在直线上， ， 解得：， 故选：C． 5．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键． 由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 7．抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性求二次函数的对称轴即可． 【详解】解：令，则 解得：， ∴ 抛物线的对称轴是， 故选D． 8．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，与轴的交点的个数判断②，特殊点判断③，最值判断④，图象法求出一元二次方程的解，判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，所以①错误； ∵物线与x轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵时，， ∴， 而， ∴， ∵， ∴，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数）， 即，所以④正确； ∵图象经过点时，方程的两根为， ∴二次函数与直线的一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为， 即， ∴，所以⑤错误． 故选：D． 10．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．对于二次函数，当时，y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的函数值，直接把代入二次函数，求出y的值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 12．已知函数，当 时，它是二次函数． 【答案】1 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：1． 13．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质进行求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴由表格可知：该抛物线的顶点坐标是， 由表格可知抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，总有， ∴， 故答案为：，． 14．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题， 设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称，进而得出点B的坐标，然后把代入抛物线解析式即可求解即可得出答案． 【详解】解：如图：设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m， 且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点B的坐标为：， ∵点B在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴m的值为． 故答案为：． 15．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，由二次函数求出、两点坐标，再求出点的坐标，即可求出、的值，然后根据面积公式即可得出答案．求出三点坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得或3，则，， 当时，，则， ∴，， ∴， 故答案为：15． 16．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据图像再坐标系中的数据可求得其对称轴和与x轴的交点，再结合二次函数得x轴交点的意义，即根据抛物线与x轴的交点问题，两交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：由图可知二次函数的对称轴为，且与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为，即， 则的根为， 故答案为： ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x米，花圃的面积为米． (1)如果要围成面积为45米的花圃，的长是多少米？ (2)当x为________时，花圃的面积最大，最大面积是________ 【答案】(1)5米 (2)4；48 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用： （1）用总长减去三个宽即为的长，利用长方形的面积公式列出方程求解即可； （2）用总长减去三个宽即为的长，进而表示出长方形面积，求出最值即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，则花圃的长为米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 答：的长是5米； （2）解：根据题意得：， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为48， 即当x为4时，花圃的面积最大，最大面积是． 故答案为：4；48 18．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查函数图像的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键． （1）根据函数图像平移的性质，得到，即可得到答案； （2）根据顶点式解析式直接回答即可． 【详解】（1）解：抛物线向右平移个单位长度， 得到的抛物线解析式， 即， 又， 解得， ，． （2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 19．飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售，将所得全部利润用于开展公益活动，已知该橡胶飞盘进价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，且x为整数． x 18 20 22 24 y 70 60 50 40 (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)在销售过程中，当每个橡胶飞盘售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每个橡胶飞盘售价为24元时，每天销售利润最大，最大利润为320元 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设日销售利润为元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为． 代入点，，得： 解得：． 与的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为元，根据题意得： ， ， 抛物线开口向下， ， 当时，． 答：每个橡胶飞盘售价为24元时，每天销售利润最大，最大利润为320元． 20．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根水管，它喷出的水柱向各个方向沿形状相同的抛物线向外喷水，水流喷出的的高度y（单位米）与水面距离x(单位米）之间的函数解析式为，求喷水池的半径至少是多少？ 【答案】喷水池的半径至少是3米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求得二次函数图象与x轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：令，由解得（舍去），， ∴喷水池的半径至少是3米． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．二次函数的图象与轴交于两点，已知点在点的左侧，求点和点的坐标． 【答案】点，． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程即可得到的横坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴点，． 22．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案． 【详解】（1）解：把代入可得： 点的坐标为 把代入可得： ，； （2）解：由（1）可得， 抛物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 23． 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)线段长度得最大值是，此时的坐标是 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案； （2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3），分和两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将代入表达式，解得， 抛物线的表达式为：， 即：； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入表达式，得， 直线的表达式为：； 设，． 则； 当时，有最大值，为， 把代入，得：， ， 线段长度得最大值是，此时的坐标是； （3）解：根据题意，， 当时，有：， 解得（舍去）； 当时，有：， 解得：，（舍去）； 综上所述：当时，满足条件． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．已知、分别是关于的一元二次方程与的一个根，且． (1)当，时，求与的值； (2)用只含字母、的代数式表示； (3)当时，函数满足，，，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）的解和性质，同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力． （1）由已知求出，根据方程根的定义将，，的值代入方程即可求解； （2）根据方程根的定义将，的值代入方程消去c求解得到，再利用，消去，即可求出只用字母、表示代数式； （3）将(2)结论代入方程可得，由可得，继而可得，根据的取值范围即可确定的取值范围． 【详解】（1）因为，分别是关于的一元二次方程与的一个根， 所以， 由， 则时，得， 把，，代入方程组可得， ， 解得：， ，； （2）由（1）中的方程组①②，得： ， ， 由，得， 故， 所以， 从而； （3）把代入（1）中的方程组②，可得， 由得， 当时，， 由得，， 由，且， 得， 整理可得：， ， ， 即， 由于在时随的增大而增大， 当时，，当时，， 即． 25．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，． (1)试求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？ (3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点坐标为或 (3)m有最小值， 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据平行于的直线上两点间的距离，求出的长，根据面积和差列出方程即可求解． （3）根据平行的性质，将平移到上，根据轴对称的性质得出的对称点，根据两点间线段最短，由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由，，得 ， 即， 把A，B，C的坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：作轴交于M点，如图1 由，得的解析式为， 设P点坐标为． 的长为， ， ； 由，得 ． 化简，得，解得， 点坐标为或； （3）解：m有最小值，理由如下： 在上作，如图2 作关于对称轴的对称点，连接， 取得最小值为． 在中，由勾股定理，得 ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$