13.2.4角边角 课件2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

13.2.4 角边角 一、复习引入 A' B' C' B C A 方法:叠合法 点A、B、C分别与点A′、B′、C′重合 ABC≌ A′B′C′ ABC与 A′B′C′重合 两个三角形是否全等,要看它们叠在一起后是否能重合. 同学们大家好,欢迎来到今天的数学课堂,上节课我们学习了全等三角形的判定,要说明两个三角形是否全等,就是要说这两个三角形叠在一起之后能不能重合,我们用叠和法说明了 2 一、复习引入 三角形全等判定方法(SAS): 在 ABC与 A'B'C'中, AB=A'B' ∠A=∠A' AC=A'C' 所以 ABC≌ A'B'C'(SAS) 在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角对应相等, 那么这两个三角形全等(简记为 SAS)。 指明两个三角形 罗列条件 写出结论 ABC与 A'B'C' AB A'B' ∠A=∠A' AC A'C' ABC A'B'C' 板书。 并得到全等三角形的判定方法1:在两个三角形中,如果有两边及其夹角对应相等,那么这两个三角形全等,并学会了全等三角形的三种语言的表达形式,文字语言,几何语言和图形语言,今天这节课我们继续来研究全等三角形的判定。 3 通过画三角形的操作实践,按照这样的三个条件所画出的三角形形状和大小是唯一确定的. “两边及其夹角” 或“两角及其夹边” 或“两角及其中一角的对边” 或“三边” 一、复习引入 判定1:在两个三角形中, 如果有两边及它们的夹角对应相等, 那么这两个三角形全等 . 思考: 如果两个三角形满足两角及其夹边对应相等,那么这两个三角形全等吗? 大大家一起来回忆,我们在画三角形那节课中,得到了一个重要的结论,要确定一个三角形的形状和大小至少需要三个条件,(停顿)上节课我们研究两边及其夹角这三个条件,如果两个三角形满足这三个条件对应相等,那么这两个三角形全等。 如果两个三角形满足两角及其夹边对应相等,那么这两个三角形全等吗?我们也尝试用叠合法一起来试一试。 4 二、新知讲授 已知,在 ABC与 A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′B′, 那么 ABC≌ A′B′C′. 思考:如果两个三角形满足两角及其夹边对应相等,那么这两个三角形全等吗? B C A' B' C' A C A B 因为 AB=A'B' ,因此可以使 AB和A'B'重合,这时点A和点A'重合,点B和点B'重合,由于∠A=∠A',因此射线AC与A'C'重合,由于∠B=∠B',因此射线BC与B'C'重合,于是点C(射线AC与BC的交点)与点C'(射线A'C'与B'C'的交点)重合,这样顶点ABC与顶点A'B'C'分别重合,那么 ABC与 A'B'C'重合,即 ABC≌ A'B'C'. 5 二、新知讲授 已知,在 ABC与 A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′B′, 那么 ABC≌ A′B′C′. 思考:如果两个三角形满足两角及其夹边对应相等,那么这两个三角形全等吗? A' B' C' B C A 点A、B、C分别与点A′、B′、C′重合 ABC≌ A′B′C′ ABC与 A′B′C′重合 因为 AB=A'B' ,因此可以使 AB和A'B'重合,这时点A和点A'重合,点B和点B'重合,由于∠A=∠A',因此射线AC与A'C'重合,由于∠B=∠B',因此射线BC与B'C'重合,于是点C(射线AC与BC的交点)与点C'(射线A'C'与B'C'的交点)重合,这样顶点ABC与顶点A'B'C'分别重合,那么 ABC与 A'B'C'重合,即 ABC≌ A'B'C'. 6 二、新知讲授 把 ABC放到 A′B′C′上,因为 AB=A'B' ,因此可以使 和 重合 , 并使点C和点C'在AB(A'B')的同一侧, 这时点 和点 重合,点 和点 重合, 由于∠A=∠A',因此射线 与 叠合, 由于∠B=∠B',因此射线 与 叠合, 于是点 (射线AC与BC的交点)与点 (射线A'C'与B'C'的交点)重合, 这样 ABC与 A'B'C'重合,即 ≌ . 两个三角形叠合的说理过程: 角相等的意义 线段相等的意义 AB A'B' A A' B B' AC A'C' BC B'C' C C' ABC A′B′C′ 同学们,请拿出学习单,完成两个三角形叠合的说理过程。 同学们你们都写好了吗?我们一起来对一对答案。 因为 AB=A'B' ,因此可以使 AB和A'B'重合,这时点A和点A'重合,点B和点B'重合,这里的依据是线段相等的意义,由于∠A=∠A',因此射线AC与A'C'重合,由于∠B=∠B',因此射线BC与B'C'重合,于是点C(射线AC与BC的交点)与点C'(射线A'C'与B'C'的交点)重合,这里的依据是角相等的意义,那么 ABC与 A'B'C'重合,即 ABC≌ A'B'C'. 7 二、新知讲授 三角形全等判定方法(ASA): 在两个三角形中,如果有两个角及它们的夹边对应相等, 那么这两个三角形全等(简记为 ASA). 写出结论 指明两个三角形 在 ABC与 A'B'C'中, ABC与 A'B'C' 所以 ABC≌ A'B'C'(ASA) ABC A'B'C' AB=A'B' ∠A=∠A' 罗列条件 AB A'B' ∠A=∠A' ∠B=∠B' ∠B=∠B' 板书。 我们刚刚运用叠合法说明了两三角形在两角及其夹边的情况下,这两个三角形可以全等,由此,我们可以得到全等三角形的判定方法2:在两个三角形中,如果有两个角及它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等(简记为 A.S.A)。用符号语言可以表示为。。。。。。,注意对应点要写在对应的位置上。 8 二、新知讲授 已知,在 ABC与 A′B′C′中, ∠A=∠A′,∠B=∠B′, , 那么 ABC≌ A′B′C′. “两角及其中一角的对边”与“两角及其夹边”的已知条件差别在哪里呢? 三角形内角和为180 ∠A=∠A'(已知), AC=A'C'(已知), ∠C=∠C'(已求), ∠C=∠C' 因为∠A+∠B+∠C=180 , ∠A'+∠B'+∠C'=180 ( ), 所以∠A+∠B+∠C=∠A'+∠B'+∠C'( ), 且∠A=∠A',∠B=∠B' (已知), 所以 (等式性质). 在 ABC与 A′B′C′中, 所以 ABC≌ A'B'C' ( ) . ASA 说理过程: AB= A'B' AC=A'C' ? 等量代换 同学们,如果老师把条件稍稍变化,将两角及其夹边对应相等改为两角及其中的一角的对边对应相等,那么这两个三角形还全等吗?或者我们问“两角及其中一角的对边”与“两角及其夹边”的已知条件差别在哪里呢?,哦,有同学发现了,是这一条边的位置发生了变化,又原来的夹边,变为一角的对边,那我们可以如何来思考?对,有同学发现了我们可以利用三角形内角和等于180 ,∠A=∠A',∠B=∠B',可以得到∠C=∠C' ,再运用全等三角形的判定方法2,ASA,可以说明上述结论是正确的。我们一起来完成这个说理过程,........ 9 二、新知讲授 三角形全等判定方法(AAS): 在 ABC与 A′B′C′中, 所以 ABC≌ A′B′C′(AAS). 在两个三角形中,如果有两角及其中一角的对边对应相等, 那么这两个三角形全等(简记为 AAS). 罗列条件 写出结论 指明两个三角形 板书通过刚刚的说理,我们得到了全等三角形的第三种判定方法:在两个三角形中,如果有两角及其中的一角对应一角的对边对应相等,那么这两个三角形全等我们简记为AAS角角边。同样我们也可以用几何语言对它进行表述。 10 三、例题讲解 判定下列三角形是否全等,如果全等,请说明理由。 因为两个三角形中有两个角及它们的夹边对应相等.(ASA) 全等 全等 因为两个三角形中有两个角及其中一个角的对边对应相等.(AAS) (2) 我们运用全等三角形的判定方法,一起来看一看这两个三角形是否全等,如果全等请你说明理由。第一题,因为这两个三角形中有两角及其它们的夹边都是8,对应相等,所以这两个字三角形是全等的, 第2个也是全等的:有两角对应相等,甲图形中75度角所对的边与乙图形中75度角所对的边是同一条边——这两个三角形的公共边,所以这两个三角形全等。 11 三、例题讲解 判定下列三角形是否全等,如果全等,请说明理由. 因为两个三角形中有两个角及其中一个角的对边对应相等.(AAS) 全等 不能判定 因为两个三角形中两个角对应相等,但是其中一角的对边不对应相等. 再来看第3个,因为两个三角形中有两角对应相等,甲图形中57度这个角所对的边的长为4,乙同学中57度角所对的边的长也为4,所以这两个三角形全等。 我们再来看第4题。也有两个角对应相等也有,两个三角形中也各有一条长为6的边,但是有同学还是指出不全等,因为长度为6的这条边在甲三角形当中是45度角所对的,而在以三角形当中是55度这个角所对的,不满足对应关系,所以这两个三角形不全等。老师在这里提醒同学们。我们在运用两角及其中一角的对边对应相等时,一定要找准它们的对应关系。 12 三、例题讲解 例题1 如图, 已知AB与CD相交于点O, ∠A=∠B , AO=BO, 说明 AOC与 BOD全等的理由. 所以 AOC≌ BOD(ASA). 指明两个三角形 罗列条件 写出结论 识图、标图 ∠A=∠B (已知), AO=BO(已知), 角 边 ∠AOC=∠BOD(对顶角相等), 角 已知一边一角 ? 对顶角 一起来看例题1,同学们,跟着老师一起读题,一边读题一边在图中标识已知条件,如图, 已知AB与CD相交于点O, ∠A=∠B , AO=BO,说明 AOC与 BOD全等的理由.要说明两个三角形全等,要具备三个条件,现在已经知道了一边一角分别对应相等,那全等的第三个条件是什么呢?有的同学一定发现了图中的隐藏的条件,一组对顶角∠AOC=∠BOD ,从图中标识的条件来看,我们得到了三角形全等的三个条件,两角及其夹边对应相等,那么这两个三角形全等。接下来,我们用规范的几何语言进行书写过程......特别注意的是,在罗列条件中,要按照角边角的顺序进行放置。 13 三、例题讲解 例题2 如图, 已知AE=AC, ∠B=∠D, 说明 DEA与 BCA全等的理由. A B C D E 识图、标图 已知一边一角 ? 公共角 我们再来看例题2,一起来读题,和前面一样,在图中标识已知条件,......我们感到例题2的图比我们之前的图形复杂了一些, DEA与 BCA有重合的部分,更考验我们的眼力了,我们来看看要说明这两个三角形全等,已经具备了哪几个条件,通过读题,我们发现了有一边一角已经对应相等,那么只需要再找到一个全等的条件就可以说明这两个三角形全等了。 请同学们自己在学习单上完成两个三角形全等的说理过程。 14 三、例题讲解 例题2 如图, 已知AE=AC, ∠B=∠D, 说明 DEA与 BCA全等的理由. 所以 DEA≌ BCA(AAS). 指明两个三角形 罗列条件 写出结论 ∠D=∠B (已知), ∠A=∠A (公共角), 角 边 AE=AC(已知), 角 A B C D E 识图、标图 已知一边一角 ? 公共角 请同学们自己在学习单上完成两个三角形全等的说理过程。 15 四、练习 小明不小心把三角形模型摔成了两块,他是否能只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模型呢?如果可以,他应该带哪块去?为什么? (1) (2) 带第二块碎片去,因为它保留了原三角形的两个角及其夹边,根据A.S.A,可以画一个与原来的三角形全等的三角形. 我们再来看这样一个问题,小明不小心把三角形模型摔成了两块,他是否能只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模型呢?如果可以,他应该带哪块去?为什么?带第二块碎片去,因为它保留了原三角形的两个角及其夹边,根据A.S.A,可以画一个与原来的三角形全等的三角形. 16 如图,B是线段AC的中点,AD∥BE,BD∥CE.求证: ABD≌ BCE. 1 证明:∵B是线段AC的中点,∴AB=BC. ∵AD∥BE,∴∠A=∠EBC. ∵BD∥CE,∴∠C=∠DBA. 在 ABD和 BCE中,∠A=∠EBC, AB=BC, ∠DBA=∠C, ∴ ABD≌ BCE(A.S.A.). 2 如图,在 ABC中,点D在边BC上,且CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证: DE=BC. 证明:∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B. 在 CDE和 ABC中,∠EDC=∠B, CD=AB, ∠DCE=∠A, ∴ CDE≌ ABC(A.S.A.), ∴DE=BC. 五、归纳小结 2. 用叠合法说明“ASA”判定方法的过程 1.全等三角形判定方法ASA、AAS的三种数学语言的表示 3.体会了将新问题转化为旧问题的转化思想 通过今天这节课的学习,我们学习到了用叠合法说明ASA判定方法的过程,学会了全等三角形判定方法2、3的三种数学语言的表示。通过将两角及其中一角的对边对应相等转化为两角及其夹边进行研究,并体会到了将新问题转化为旧问题的转化思想,这种思想方法在我们之前学习平行线的时候也早已经运用过。 $$