18.2.1矩形（第二课时）教学设计-2023-2024学年人教版（2012）数学八年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 春季 课题 18.2.1矩形（2） 教科书 书 名：数学教材 出版社：人民教育出版社 教学目标 1．探索并证明矩形的两个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证． 2．经历矩形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想和探究图形判定的一般思路． 教学重难点 教学重点： 矩形判定定理的探究与应用． 教学难点： 通过研究性质定理的逆命题提出判定定理的猜想． 教学过程 引例 木工师傅在制作四边形窗框后，需要检测制作的窗框是不是矩形．现在有一根足够长的绳子和一把无刻度的三角板，你有几种检测方法呢？需要测量哪些数据，其依据又是什么呢？ 1.复习反思，引出课题 问题1 通过前面的学习，我们对矩形已经有了一些了解，请说一说你都学习了哪些关于矩形的知识？ 师生活动：学生回答学习了矩形的概念“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”，还有矩形的性质：矩形不仅具有平行四边形的所有性质，还具有一些特殊的性质，“矩形的四个角都是直角”、“矩形的对角线相等”． 追问1：根据以往几何学习的经验，接下来我们要研究什么内容呢？ 师生活动：学生回答要研究矩形的判定，也就是如何判定一个平行四边形或四边形是矩形的问题． 追问2：根据定义，可以判定一个四边形是不是矩形．请结合定义，解决课前提出的问题． 师生活动：学生用几何语言来表达矩形的定义．在平行四边形中，增加“一个直角”的条件就可以变成矩形了．这就是我们判定矩形的第一种方法． 学生提出方案：分别测量两组对边和一个内角．如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框是矩形． 思考：除了矩形的定义，我们还有没有其他判定矩形的方法呢？我们又如何去寻找其他的判定方法呢？ 设计意图：通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形的判定问题． 2.经验类比，提出猜想 问题2 我们学习平行四边形的判定时，是如何猜想并进行证明的？． 师生活动：在教师的引导下，学生回忆平行四边形判定定理的学习过程：先研究平行四边形的性质定理，然后写出了性质定理的逆命题，猜想这个逆命题就是判定方法，最后通过证明猜想正确，得到判定定理．进而提出，我们可以通过研究矩形性质定理的逆命题，获得判定矩形的方法呢？ 追问1：我们知道“矩形的对角线相等”．它的逆命题应该怎么写呢？是“对角线相等的四边形是矩形”？还是“对角线相等的平行四边形是矩形”呢？ 师生活动：学生可以通过画图的方法找到答案，并提出猜想“对角线相等的平行四边形是矩形”． 追问2：我们知道“矩形的四个角都是直角”．反过来，四个角都是直角的四边形是矩形吗？至少有几个角是直角就可以判定四边形是矩形了？ 师生活动：学生发现，四边形的内角和是360°．如果已知一个四边形有三个角都是直角，那么第四个角一定也是直角．因此，我们可以提出猜想：有三个角是直角的四边形是矩形． 如果四边形只有两个角是直角，则不能保证它是矩形；如果只有一个直角，则更不可能了. 设计意图：从对命题的结构分析中提出猜想；在对原命题正确，而逆命题不一定正确的反思中体会证明的必要性． 3.理性思考，证明定理 得到的猜想必须经过逻辑推理才能确定．证明一个命题，我们要先画出图形，写出已知和求证，然后再进行证明． 猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形 已知：在□ ABCD中，AC＝BD． 求证：□ABCD是矩形． 师生活动：师生共同分析解题思路，这个四边形已经是平行四边形了，我们只需考虑由对角线相等，如何推出有一个角是直角．因为平行四边形的对边相等，得AB=DC，再结合已知条件AC=BD，和一条公共边BC，可证出△ABC和△DCB全等，故对应角∠ABC和∠DCB相等，又由平行可知，这两个角是同旁内角具有互补的关系，因此它们都是直角．此时，平行四边形ABCD中有一个角是直角了，所以它就是矩形． 猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°． 求证：四边形ABCD是矩形． 师生活动：师生共同分析解题思路：因为∠A=∠B=∠C=90°，所以有∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，由同旁内角互补两直线平行，可得AD∥BC，AB∥CD．由平行四边形的定义，得四边形ABCD是平行四边形．又由∠A=90°，由矩形的定义可知四边形ABCD是矩形． 设计意图：引导学生从矩形的定义出发，证明上述逆命题为真．理解矩形的性质和判定都是从定义出发经过推理得到的真命题． 总结矩形的判定方法： 当已知图形为平行四边形时，可以增加有一个角是直角或对角线相等的条件，得到这个平行四边形是矩形． 当已知图形为一般四边形时，则需要有三个角是直角的条件，才能判定这个四边形是矩形． 设计意图：及时梳理知识体系，总结方法，进而提高解决问题的能力． 4.运用定理，解决问题 问题 对于课前提出的问题，除了刚才依据定义的方案，你还有其他的方案吗？你需要测量哪些数据？依据又是什么呢？ 师生活动：学生独立思考形成思路后，由学生口述，教师及时点拨． 方案2：分别测量窗框的两组对边和两条对角线．如果窗框的两组对边分别相等，对角线也相等，那么窗框符合规格是矩形． 方案3：测量三个内角．如果三个内角都是直角，那么窗框是矩形． 方案4：分别测量一组对边和这组同旁内角．如果这组对边相等，并且这两个角都是直角，那么窗框就符合规格．（这个依据是，先用一组对边平行且相等判定是平行四边形，再用定义判定矩形）． 设计意图：学生利用所学的知识解决课前提出的问题,帮助木工师傅检测窗框．学生体会到了运用数学知识解决实际问题的快乐．通过解决这个实际问题，我们也可以发现，在利用矩形的判定定理时，我们要根据条件灵活地进行选择． 例3 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°．求∠OAB的度数． 师生活动： 师生共同分析解题思路：结合平行四边形对角线互相平分与OA=OD的条件，可得对角线相等，则此平行四边形为矩形，故∠DAB=90°，进而∠OAB的度数可求． 学生规范写出解题的过程． 设计意图：这道题要关注学生的证明过程．教师要注意示范引领，帮助学生规范地写出解题的过程． 5.归纳整理，形成体系 通过本节课的学习，你有哪些收获呢？请参照下面的问题，回顾本节课所学的主要内容，并在小组内交流分享： 矩形的判定有几种方法？在具体的问题中，我们应该如何选择这些方法呢？ 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 当已知图形为平行四边形时，可以增加有一个角是直角或对角线相等的条件，得到这个平行四边形是矩形． 当已知图形为一般四边形时，则需要有三个角是直角的条件，才能判定这个四边形是矩形． 设计意图：通过小结，梳理本节课所学的内容，及时总结方法，体会数学思想． 6.布置作业 详见“作业练习” 学科网（北京）股份有限公司 $$