精品解析：2024年浙江省杭州市中考数学适应性模拟试题

2024年浙江省杭州市中考数学适应性模拟练习试卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用开卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答． 卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 4．作图时，请使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 5．本次考试不得使用计算器． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ） A B. C. D. 3. 某志愿者小分队年龄情况如下，则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ） 年龄（岁） 19 20 21 22 23 人数（名） 2 5 2 2 1 A. 2名，20岁 B. 5名，20岁 C. 20岁，20岁 D. 20岁，20.5岁 4. 如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ） A. 114° B. 142° C. 147° D. 156° 5. 如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=(　　) A. 120° B. 110° C. 105° D. 100° 6. 甲、乙两人各射击5次，成绩如表．根据数据分析，在两人的这5次成绩中（　　） 成绩（单位：环） 甲 3 7 8 8 10 乙 7 7 8 9 10 A. 甲的平均数大于乙的平均数 B. 甲的中位数小于乙的中位数 C. 甲的众数大于乙的众数 D. 甲的方差小于乙的方差 7. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（　　） A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都错误 10. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 12. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 乙 丙 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________． 13. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则___. 15. 如图，点E为矩形的边上一点（点E与点B不重合），，，将沿对折得到，其中点F落在矩形内部．若点F到边和的距离相等，则______． 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题（本大题8个小题，共72分） 17. （）解不等式组： ； （）解方程：． 18. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 19 阅读理解 教学实践活动：班测量雷峰塔高度实践的相关数据 活动1 如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处，的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒使得，在E点的仰角为30°，则___________． 活动2 如图，小组2设计了此测量方法，若长度为，已知，，则可以得到塔的高度大约为___________．（） 总结与取优 老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶和塔项A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高． 20. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 21. 【发现】如图1，在中，D为上一点，连结，在上取一点E，连结，若，，求证：． 【应用】如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，，若，求的长． 22. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示． （1）两城相距______千米； （2）求出乙车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系式； （3）求甲乙两车相遇时甲车行驶的时间以及此时距离A城的距离． 23. 已知二次函数和一次函数． （1）二次函数的图象过点，求二次函数的表达式； （2）若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点． ①求证：； ②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值． 24. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年浙江省杭州市中考数学适应性模拟练习试卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用开卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答． 卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 4．作图时，请使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 5．本次考试不得使用计算器． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 2. 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 某志愿者小分队年龄情况如下，则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ） 年龄（岁） 19 20 21 22 23 人数（名） 2 5 2 2 1 A. 2名，20岁 B. 5名，20岁 C. 20岁，20岁 D. 20岁，20.5岁 【答案】C 【解析】 【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解． 【详解】解：在这12名队员的年龄数据里，20岁出现了5次，次数最多，故众数是20岁； 12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据都是20岁，故中位数是20岁． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 4. 如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ） A. 114° B. 142° C. 147° D. 156° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可； 【详解】∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°， ∴， ∵a∥b， ∴， 又∵BC平分∠ABD， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 5. 如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=(　　) A. 120° B. 110° C. 105° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圆周角定理即可得出． 【详解】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形 ∴∠A+∠BDC=180° ∵∠BDC=130° ∴∠A=50° ∴∠BOC=2∠A=100° 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 6. 甲、乙两人各射击5次，成绩如表．根据数据分析，在两人的这5次成绩中（　　） 成绩（单位：环） 甲 3 7 8 8 10 乙 7 7 8 9 10 A. 甲的平均数大于乙的平均数 B. 甲的中位数小于乙的中位数 C. 甲的众数大于乙的众数 D. 甲的方差小于乙的方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出众数，中位数，平均数和方差，然后进行判断即可． 【详解】解：A、甲成绩的平均数＝（3+7+8+8+10）＝7.2（环），乙的成绩的平均数＝（7+7+8+9+10）＝8.2（环），所以A选项说法错误，不符合题意； B、甲的成绩的中位数为8环．乙的成绩的中位数为8环，所以B选项说法错误，不符合题意； C、甲的成绩的众数为8环，乙的成绩的众数为7环；所以C选项说法正确，符合题意； D、，，所以D选项说法错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 7. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50”可得：乙的钱×+甲的钱=50；根据“甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”可得：甲的钱×+乙的钱=50．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系并列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，结合正九边形的中心角为：，而，可得，，由，可得，则． 【详解】解：过作于， ∵正九边形的中心角为：，而， ∴，， ∴，则， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是圆与正多边形，等腰三角形的性质，锐角的正弦的含义，掌握基础知识是解本题的关键． 9. 如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（　　） A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都错误 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构造全等三角形，难点是在解答的周长最小时，将三角形的各边都用表示，并根据垂线段最短来判断．连接，过点作于，于，依据“”判定和全等，从而得出，然后再根据四边形的内角和等于即可对甲的说法进行判断；过点作于点，则，根据得，进而得，据此得的周长为，只有当最小时，的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断． 【详解】解：连接，过点作于，于， 点为的内心， 是的平分线， 又，， ， 和中， ， ， ， 在四边形中，， ， 又， ， 即：， ， 即：， 故甲的说法正确； 过点作于点， ， 是的平分线，， ， 又甲的说法正确； ， ， 在中，， ， ， 的周长为：， 当最小时，的周长为最小， 根据“垂线段最短”可知：当时，的周长为最小， ， 与一定不垂直， 不是最小， 的周长不是最小， 故乙的说法不正确． 故选：A． 10. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为9，12，15，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】解：过点P作，垂足为G、H， 由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知实数a，b，满足，，则的值为______． 【答案】42 【解析】 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 12. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 乙 丙 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________． 【答案】乙 【解析】 【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵ ∴被录用的是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 13. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示： ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2， ∴∠GAB=， ∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键． 14. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则___. 【答案】4 【解析】 【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值． 【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点， 的面积和的面积相等． 的面积和四边形的面积相等且为6． 设点的横坐标为，纵坐标就为， 为的中点． ，， 四边形的面积可表示为： ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，解题的关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出的值． 15. 如图，点E为矩形的边上一点（点E与点B不重合），，，将沿对折得到，其中点F落在矩形内部．若点F到边和的距离相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作，交于点G，过点F作，交于点M，交于点N，根据勾股定理计算出，证明，根据相似比计算出，从而计算出，最终求得． 【详解】解：如下图，过点F作，交于点G，过点F作，交于点M，交于点N， 根据题意得， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】， 本题考查图勾股定理、相似三角形的判断与性质和三角函数，解题的关键是添加正确的辅助线构造出相似三角形． 16. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】 【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理得：EG2=BE2+BG2， 即：（x+6）2=62+（12-x）2， 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确； BE=EF=6，△BEF是等腰三角形， 则△GED不是等腰三角形， △GDE与△BEF不相似， ③错误； S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题（本大题8个小题，共72分） 17. （）解不等式组： ； （）解方程：． 【答案】（1），（2）． 【解析】 【分析】（）分别求出不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集； （）方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解； 本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，掌握解一元一次不等式组和解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：（）解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为； （）， 方程两边同时乘以得，， 解得， 当时，， 原分式方程的解为． 18. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案； （2）先求出编织的人数，再补全条形图即可； （3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案； （4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为： （人）； 故答案为：60； （2）选择编织的人数为：（人）， 补全条形图如下： （3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为： （人）； （4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则 列表如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果， ∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：； 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 阅读理解 教学实践活动：班测量雷峰塔高度实践的相关数据 活动1 如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处，的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒使得，在E点的仰角为30°，则___________． 活动2 如图，小组2设计了此测量方法，若的长度为，已知，，则可以得到塔的高度大约为___________．（） 总结与取优 老师做了一个小小总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶和塔项A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高． 【答案】活动1：；活动2：米；总结与取优：42米 【解析】 【分析】活动一：过点E作于点M，根据求出根据求出，进而求出即可； 活动二：设塔的高度为，用表示出，进而用求出x即可； 总结与取优：先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确理解题意并构造直角三角形是解题关键． 【详解】解：活动一：过点E作于点M， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：； 活动二：设塔的高度为， 在中，， ∵， ∴， ∵, ∴ 在中，， ∵， ∴， 解得， 即塔的高度大约为44.35米． 故答案：44.35； 总结与取优：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 即， 解得：， ∴塔高为42米． 20. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）、； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； 【小问3详解】 解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 21. 【发现】如图1，在中，D为上一点，连结，在上取一点E，连结，若，，求证：． 【应用】如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，，若，求的长． 【答案】[发现]见解析 [应用] 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．熟练掌握等边对等角，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． [发现]由，可得，则，进而可证； [应用]由平行四边形中，可得，，同理[发现]，可证，则，即，整理得，，计算求出满足要求的值，，然后求即可． 【详解】[发现]证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； [应用]解：∵平行四边形中， ∴，， 同理[发现]，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴，， ∴的长为． 22. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示． （1）两城相距______千米； （2）求出乙车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系式； （3）求甲乙两车相遇时甲车行驶的时间以及此时距离A城的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象分析即可求解； （2）设直线乙的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （3）联立两直线，求得交点坐标即可求解． 【小问1详解】 解：根据函数图象可知，当时，，可得两城相距千米， 故答案为：． 【小问2详解】 设直线乙的函数解析式为， 直线过点，点 ， 解得， 即直线乙的函数解析式为 【小问3详解】 由题可知，直线甲的函数解析式为 所以：， 解得 那么，甲乙两车相遇时甲车行驶的时间是2.5小时，此时距离A城的距离为150km． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 23. 已知二次函数和一次函数． （1）二次函数的图象过点，求二次函数的表达式； （2）若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点． ①求证：； ②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值． 【答案】（1）二次函数的表达式为； （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可． （2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵二次函数过， ∴， ∴二次函数的表达式为， 将点代入，得， ∴； ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ①∵当时，解得：， ∴二次函数与x轴交于和点， 又一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点， ∴一次函数过点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， ∵二次函数的顶点为， ∴过， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键． 24. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【小问1详解】 解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，连接， ， ， 直径垂直弦， ，， 又， ， ， 设，， 则， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 和中， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$