1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（教学课件）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版选择性必修第一册 1.4.1《 用空间向量研究直线、平面的位置关系》 （3 课 时 ） 第一章 空间向量与立体几何 教学目标 学习目标：1.认识与理解点、线、面的向量表示，会求直线的方向向量和平面的法向量；（数学抽象、直观想象、逻辑推理） 2.认识与理解用空间向量表示直线、平面平行与垂直的充要条件，能灵活运用空间向量解决直线、平面平行与垂直的相关问题.（数学抽象、直观想象、逻辑推理） 教学重点：直线的方向向量和平面的法向量、用空间向量表示直线、平面平行与垂直的充要条件. 教学难点：运用空间向量解决直线、平面平行与垂直的相关问题. 引言导入（导学） 我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体何问题的关键.本节课，我们将进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题. 一 平面向量推广到空间向量 二 探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学） 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. （一）点的位置向量 1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点? 如图 ，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示:我们把向量称为点的位置向量. 2.点的位置向量 向量称为点的位置向量. 二 探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学） （二）直线的向量表示 1.思考：我们知道，空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线，如何用向量表示直线? 用向量表示直线，就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点. 如图, 是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得 ,即 2.直线的向量表示 二 探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学） 进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数，使 , , , ① 将代入①式，得. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 2.直线的向量表示 称为空间直线的向量表示式 二 探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学） （三）空间平面的向量表示 1.思考：一个定点和两个定方向能否确定一个平面?进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面?如果能确定，如何用向量表示这个平面? 2.空间平面的向量表示 我们知道，平面可以由内两条相交直线确定.如图，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 . 这样，点与向量，不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. 二 探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学） 2.空间平面的向量表示 进一步地，如图，取定空间任意一点，可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使得 , , , ③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 称为空间平面的向量表示式. 三 探究新知2——平面的法向量（互学） 1.平面法向量的定义 我们知道，给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以利用点和直线的方向向量来确定平面. 如图，直线,取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量. 给定一个点和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 垂直于平面的向量叫做平面的法向量，如图，向量为平面的法向量. 三 探究新知2——平面的法向量（互学） 3.平面法向量的性质 由平面法向量的定义可得如下性质： (1)性质1：平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； 如图，∵向量为平面的法向量， ∴ (2)性质2：一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行且长度不一. 注：零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量. 2.思考：如果另有一条直线，在直线上任取向量，与有什么关系? 分析：，且据平面法向量的定义可知也是平面的法向量. 平面法向量的性质 三 探究新知2——平面的法向量（互学） 4.平面法向量的三种求法 (1)求法一：线面垂直法 几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)求法二：待定系数法 ①设向量：设平面的法向量为; ②选向量：在平面内选取两个不共线的向量; ③列方程：由列出方程； ④赋非零值：取中的一个为非零值(常取±1)； 注：选取的值不一样，只是法向量的长度不一样； ⑤解方程组：解方程组； ⑥得结论：得到平面的一个法向量. 三 探究新知2——平面的法向量（互学） 4.平面法向量的三种求法 (3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题) 已知两个不共线的空间向量与,设向量为向量与确定平面的法向量,则 ； ； ； ①横坐标：掐头后，交叉相乘再相减； ②纵坐标：取两边，交叉相乘再相减后求相反数； ③竖坐标：去尾后，交叉相乘再相减； 注：其中符号 ； 四 小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了平面法向量的求解方法. 例1如图，在长方体中，，，，是的中点以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 求平面的法向量 求平面的法向量． 五 成果展示1(迁移变通) 例1如图，在长方体中，，，，是的中点以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 求平面的法向量 求平面的法向量． 解：（1）（线面垂直法） ∵ 轴平面， ∴ 轴的单位向量 是平面的一个法向量． （2）（待定系数法） ∵ ，，，是的中点， ∴ ，，， ∴ ，． 设是平面的一个法向量， 则 ，， ∴， ∴ 取，则，， 于是平面的一个法向量为． 五 成果展示1(迁移变通) 例1如图，在长方体中，，，，是的中点以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 求平面的法向量 求平面的法向量． 解：（假设第（2）问是选择填空题）（叉乘法） ∵ ，，，是的中点， ∴ ，，， ∴ ，． 设是平面的一个法向量， 则， ， ， 于是平面的一个法向量为． 提示：叉乘法 ①横坐标：掐头后，交叉相乘再相减； ； ②纵坐标：取两边，交叉相乘再相减后求相反数； ； ③竖坐标：去尾后，交叉相乘再相减； ； 六 探究新知3——用空间向量解决直线、平面的平行问题（互学） 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量，那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢?首先来看平行的问题 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系? 1.思考 如图 ，设分别是直线的方向向量. 由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行;反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.于是满足 ,使得. 2.用空间向量表示直线与直线平行的充要条件 ,使得. 六 探究新知3——用空间向量解决直线、平面的平行问题（互学） 类似地，如图 ，设 是直线 的方向向量, 是平面的法向量，,则 . 3.用空间向量表示直线与平面平行的充要条件 4.用空间向量表示平面与平面平行的充要条件 如图 ，设分别是平面的法向量，则 ,使得. ,使得. 七 小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了用空间向量解决直线、平面平行的问题. 例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 例3 如图，在长方体中，，， 线段上是否存在点，使得平面   八 成果展示2(迁移变通) 例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 已知：如图，，，，， 求证：． 证明：如图，取平面的法向量，直线，的方向向量． ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ，，， ∴ 对任意点，存在，，使得． 从而 ． ∴ 也是平面的法向量, 故．  Q 八 成果展示2(迁移变通) 例3 如图，在长方体中，，， 线段上是否存在点，使得平面   解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ∵ ，，, ∴ ，, 设是平面的法向量， 则 ，， ∴ ，， 即 所以 取，则， ∴ 是平面的一个法向量． 又∵，，， ∴ ， 设点满足，则 ， ∴ 令 , 即 ， 得，解得 ，这样的点存在． ∴ 当，即为的中点时，平面． 九 探究新知4——用空间向量解决直线、平面的垂直问题（互学） 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系? 1.思考 2.用空间向量表示直线与直线垂直的充要条件 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直. 如图 ，设直线的方向向量分别为 ，则 . . 九 探究新知4——用空间向量解决直线、平面的垂直问题（互学） 3.用空间向量表示直线与平面垂直的充要条件 一般地，直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行. 如图，设直线 的方向向量为 ，平面的法向量为，则 . . 4.用空间向量表示平面与平面垂直的充要条件 一般地，平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直. 如图，设平面的法向量分别为，则 . . 十 小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了用空间向量解决直线、平面垂直的问题. 例4如图，在平行六面体中，，， 求证：直线平面． 例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 十一 成果展示3(迁移变通) 例1 如图，在平行六面体中，，， 求证：直线平面． 1 1 1 证明：设，，，则为空间的一个基底， 且， ， , ∵ ，，∴ ， , 在平面上，取，为基向量， 则对于平面上任意一点， 存在唯一的有序实数对，使得 ． 又∵ =0． ∴ 是平面的法向量． ∴ 平面．  十一 成果展示3(迁移变通) 例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知:如图， ，， 求证:. 证明:如图，取直线 的方向向量为 ，平面的法向量 . ∵ ， ∴ 是平面 的法向量. 又∵ ，而 是平面的法向量， ∴ ， ∴ . 十二 提升演练(检测实践) 例6 如图，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证：． 证明：设，，，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底， 则， ， ∵ ． ∴ ，故 ．  课堂小结 十三 今天我们学习了哪些内容？ 1.认识与理解了点、线、面的向量表示，会求直线的方向向量和平面的法向量；（数学抽象、直观想象、逻辑推理） 2.认识与理解了用空间向量表示直线、平面平行与垂直的充要条件，能灵活运用空间向量解决直线、平面平行与垂直的相关问题.（数学抽象、直观想象、逻辑推理） 十四 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 十五 家庭作业 1.整理导学案中本节课知识点并记背； 2.完成导学案上相关题型. $$