小升初拓展培优：牛吃草问题（讲义）-2023～2024学年六年级下册数学人教版

牛吃草问题 (知识归纳+典例分析+高频真题+答案解析) 一、牛吃草问题的基本概念 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题，是一类经典的数学问题，主要研究在一定条件下，牛吃草的总量与草生长或减少的量之间的关系。 二、关键知识点 假设每头牛每天的吃草量为 “1”。 新草生长速度 = （较多牛数吃草总量 - 较少牛数吃草总量）÷ 时间差 原有草量 = 牛数 × 吃草时间 - 新草生长量 三、常见题型 1、草匀速生长 例如：一片草地，草每天都在均匀生长。27 头牛可以吃 6 天，23 头牛可以吃 9 天，那么这片草地可供 21 头牛吃几天？ 设每头牛每天吃草量为 1，每天新长草量：(23×9 - 27×6)÷(9 - 6) = 15 原有草量：27×6 - 15×6 = 72 21 头牛可吃天数：72÷(21 - 15) = 12（天） 2、草匀速减少 比如：由于天气变冷，草地上的草每天均匀减少。20 头牛 5 天可以吃完，15 头牛 6 天可以吃完，那么多少头牛 10 天可以吃完？ 设每头牛每天吃草量为 1，每天减少草量：(20×5 - 15×6)÷(6 - 5) = 10 原有草量：20×5 + 10×5 = 150 牛的数量：(150 - 10×10)÷10 = 5（头） 3、多块草地 假设有两块草地，面积大小不同，草的生长速度也不同，已知若干头牛在两块草地上吃草的情况，求牛的数量或吃草时间。 四、解题技巧 1、通常先求出草的生长速度和原有草量。 2、画图可以帮助直观理解问题。 【典例1】东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？ 【答案】99头 【分析】设每头牛每天吃1份，这样18头牛吃16天共18×16＝288份，而27头牛吃8天共27×8＝216份，多出来288－216＝72份就是16－8＝8天多长出来的，所以每天草长9份，这样原来草总共是288－9×16＝144份，现在牧场有6000平方米，所以是原来的3倍，所以现在草有144×3＝432份，每天长9×3＝27份，这样每天新长的草要27头牛吃，而原来的草要吃6天，要432÷6＝72头牛，所以总共要：72＋27＝99头牛。 【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析： 18头牛    16天    18×16＝288：原有草量＋16天自然增加的草量 27头牛     8天    27× 8＝216：原有草量＋8天自然增加的草量 从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量是： 288－216＝72 所以1天生长草量是72÷8＝9； 那么2000平方米的牧场上原有草量： 288－16×9 ＝288－144 ＝144 或216－8×9 ＝216－72 ＝144 则6000平方米的牧场1天生长草量是： 9×（6000÷2000） ＝9×3 ＝27； 原有草量： 144×（6000÷2000） ＝144×3 ＝432 6天里，西侧草场共提供草： 432＋27×6 ＝432＋162 ＝594 可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。 答：可供99头牛吃6天。 【名师点评】牛吃草问题关键是求出原来牧场中草的份数和草每天生长的份数。 【典例2】120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？ 【答案】360头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草． 120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草； 210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草； 每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份． 如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份， 126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天． 【典例3】有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？ 【答案】44头 【分析】这道题中两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。我们可以把两块草地转化为一块草地来计算。 【详解】30×12＝360（份） 20×3×4＝240（份） （360－240）÷（12－4） ＝120÷8 ＝15（份） 360－12×15 ＝360－180 ＝180（份） （180＋180÷3）÷10＋（15＋15÷3） ＝（180＋60）÷10＋（15＋5） ＝240÷10＋20 ＝24＋20 ＝44（头） 答：44头牛10天能同时吃完两块草地上的草。 【名师点评】面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。 【典例4】一个小水库的存水量一定，河流均匀流入库内．5台抽水机10天可以把水抽干；6台抽水机8天可以把水抽干．若要4天抽干，需要同样的抽水机多少台？ 【答案】11台 【分析】设一台抽水机一天抽水量为1份，则5台抽水机10天抽的水量为5×10=50（份）；6台抽水机8天抽的水量为6×8=48（份）从图上可以看出，5台抽水机10天抽水量与6台抽水机8天抽水量的差恰好是10－8=2（天）河水流入的量． 【详解】解：河水每天流入水库的水量为：（5×10－6×8）÷（10－8）=1(份) 水库原有水量为：5×10－1×10=40（份） 4天抽干水库需要的抽水机台数：（40+1×4）÷4=11（台） 答：若要4天抽干，需要同样的抽水机11台． 【典例5】一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．求17人几小时可以淘完？ 【答案】2小时 【详解】解：这是一道变相的“牛吃草”问题．与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间．设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为：1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为：14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是：30÷（17－2）＝2（小时） 答：17人2小时可以淘完水． 1．一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？ 2．某足球赛检票前几分钟就有观众排队，每分钟来的观众人数一样多，从开始检票到等候入场的队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口需30分钟。如果要使队伍25分钟消失，需要同时开几个入场口？ 3．某牧场长满了草，若用17人去割，30天可割尽；若用19人去割，只要24天便可割尽，假设草每天匀速生长，每人每天的割草量相同，问49人几天可割尽？ 4．一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？ 5．画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个检票口，9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达时间是8点多少分？ 6．某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25个人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没人排队。 7．用2台同样的抽水机抽干一个有泉水的水库需40小时，用3台这样的抽水机抽干这个水库需24小时，试问，若要8小时抽干这个水库，需要这样的抽水机多少台？(泉水均匀地向水库渗水) 8．一片牧场，草每天生长的速度相同，现在这片牧场可供16头牛吃20天，或可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么 10头牛和60只羊一起可以吃多少天？ 9．春天养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等） 10．4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等） 11．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级台阶？ 12．画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间． 13．星星家有一片草场，原有一些草，草场每天长出的草一样多，如果用来养12匹马可以吃12天，如果用来养6匹马可以吃30天，如果养8匹马，可以吃多少天？ 14．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？ 15．一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？ 16．现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时后能追上．那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？ 17．17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？（假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长） 18．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？ 19．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把一池水排空，如果同时打开进水阀和两个排水阀，则10分钟能把水池的水排空，问关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟能排空水池的水？ 20．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上．该扶梯共有多少级台阶？ 21．一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽．如果有牛21头，几天能把草吃尽？ 22．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天．如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？ 23．一水库原有存水量一定，河水每天入库．5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？ 24．甲、乙、丙三车同时从地出发到地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度． 25．有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？ 26．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙14天可以把砖运完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？ 27．科学家研究表明，10000平方米的森林在生长季节每周可吸收6.3吨二氧化碳。城市森林公园有60000平方米森林，7月份这片森林一共可以吸收多少二氧化碳？ 28．有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷．每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．第三块草地可供19头牛吃多少天？ 29．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 30．有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．64头 【分析】设1头牛1天吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出原草量和草的增长速度，再考虑可供多少头牛吃6天。 【详解】设1头牛1天吃1份草； （份/天） （份） （头） 答：可供64头牛吃6天。 【名师点评】本题考查的是基础的牛吃草问题，求出草速和原草量是解题的关键。 2．7个 【分析】设每个入场口每分钟进1份人，根据两种情况求出原有的人数和每分钟来的人数，然后考虑队伍25分钟消失需要开几个口。 【详解】 （人/分钟） （人） （个） 答：需要同时开7个入场口。 【名师点评】本题实质上考查的是牛吃草问题，这里人相当于是草，入场口相当于是牛。 3．6天 【分析】设每人每天割1份草，根据题中的两种情况求出原草量和草的增长速度，再考虑49人几天可割尽。 【详解】 （份/天） （份） （天） 答：49人6天可割尽。 【名师点评】本题实质上考查的是牛吃草问题，找出与经典牛吃草问题的对应关系，然后再按照牛吃草问题求解。 4．20分钟 【详解】设1人1分钟淘出的水量是“1”，分钟的进水量为，所以每分钟的进水量为，那么原有水量为：．5人淘水需要(分钟)把水淘完． 5．8点15分 【分析】设每个入场口每分钟进1份人，开3个入场口，9分钟就不再有人排队，开5个入场口，5分钟就不再有人排队，根据这两种情况求出原有的人和每分钟来多少人，然后确定第一个人来的时间。 【详解】 （份/分） （份） （分） 9点－45分＝8点15分 答：第一个观众到达时间是8点15分。 【名师点评】需要注意的是，人数不可以是小数，但这里表示的是份数，是可以是小数的。 6．3分钟 【分析】一个检票口每分钟能让25个人检票进站，8分钟通过200人，而每分钟有10人前来排队检票，8分钟来了80人，200减去80得到原有120人，然后考虑开两个检票口的情况。 【详解】解： （人） 设x分钟后没有人排队； 答：检票开始后3分钟就没人排队。 【名师点评】本题考查的是生活中的牛吃草问题，这里检票口对应牛，人对应草。 7．8台 【分析】水库中的水相当于草，抽水机相当于牛，可以参照牛吃草的问题解法。先求出泉水每小时的渗水量和水库原有的蓄水量，继而求解。 【详解】解：设每台抽水机每小时抽水1份； 泉水每小时渗水量：（40×2-24×3）÷（40-24） =（80-72）÷16 =8÷16 =0.5（份） 水库原有水量：40×2-40×0.5 =80-20 =60（份） 需要抽水机的台数：（60+0.5×8）÷8 =（60+4）÷8 =64÷8 =8（台） 答：若要8小时抽干这个水库，需要这样的抽水机8台。 【名师点评】求出泉水每小时的渗水量和水库原有的蓄水量是解答本题的关键。 8．8天 【分析】由已知条件“如果1头牛的吃草量相当于14只羊的吃草量”我们可以把80只羊转化成20头牛，把10头牛和60只羊转化成牛一共有25头，再根据牛吃草问题的解法求解。 【详解】解：设1头牛一天吃的草为1份 ①每天新长出的草量：（16×20-20×12）÷（20－12） =（320-240）÷8 =80÷8 =10（份） ②牧场原有草量： 16×20-20×10 =320-200 =120（份） ③10头牛和60只羊一起可以吃的天数： 120÷（25－10） ﹦120÷15 ﹦8（天） 答：可以吃8天。 【名师点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答。 9．7台 【分析】根据已知条件“用3台同样的抽水机抽6天水量刚好充足，用4台这样的抽水机抽4天水量刚好充足”可求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，然后求出问题的解。 【详解】解：设每台抽水机每天的抽水量为1份。 每天的蒸发量： （3×6-4×4）÷（6-4） =（18-16）÷2 =2÷2 =1（份） 养殖厂需要的水量： 3×6-1×6=12（份） 2天内把水抽干需要抽水机的台数： （12+2×1）÷2 =（12+2）÷2 =14÷2 =7（台） 答：要在2天内把水量抽足，需要7台抽水机。 【名师点评】求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，是解答本题的关键。 10．天 【分析】题中是3块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将3块草地的面积统一起来；10、30、40的最小公倍数是120，所以统一为120公顷，然后再按照一般的牛吃草问题求解。 【详解】 将3块草地的面积统一为120公顷； 设1头牛1天的吃草量为“1”，原条件可转化为： 120公顷牧场48头牛28天吃完；120公顷牧场28头牛63天吃完； 那么120公顷牧场每天新生长的草量为： 120公顷牧场原有草量为： 则40公顷牧场每天新生长的草量为，40公顷牧场原有草量为； 在60头牛里先分出4头牛来吃新生长的草，剩余的56头牛来吃原有的草，可以吃： （天） 答：60头牛6天可以吃完40公顷牧场上全部牧草。 【名师点评】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当有多块草地的时候，可以设法将草地面积转化成一样的。 11．150级 【分析】上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100-90=10（级），多用了6-5=1（分），说明电梯1分钟走10级．由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（级）． 【详解】自动扶梯每分钟走：（20×5-15×6）÷（6-5） =10÷1 =10（级） 自动扶梯共有：（20+10）×5=150（级） 答：扶梯共有150级． 12．8点15分 【分析】从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质． 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题． 【详解】设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为，即1分钟来的人为，原有的人为：．这些人来到画展，所用时间为(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分． 13．20天 【分析】牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。 其基本数量关系是： （牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）＝草地每天新长草量。 牛的头数×吃草天数－每天新长量×吃草天数＝草地原有的草。 设每匹马每天的吃草量假设为1份，则12匹马可以吃12天可以吃144份草，6匹马可以吃30天可以吃180份草，则两种吃草方式多了36份草，是18天多出来的，草场每天长的草量为2份。144份草里面分为原来的草和新长的草，12天每天新长草2分，一共长草24份，原来的草就是120份。设养8匹马可以吃x天，根据数量关系：原来的草＋新长的草＝8匹马吃的草。 【详解】设每匹马每天的吃草量假设为1份。 草场每天长的草量为： （30×6×1－12×12×1）÷（30－12） ＝（180－144）÷18 ＝36÷18 ＝2（份） 原来草场的草为： 12×12－2×12 ＝144－24 ＝120（份） 解：设养8匹马可以吃x天。 120＋2x＝8x 8x－2x＝120 6x＝120 x＝120÷6 x＝20 答：如果养8匹马，可以吃20天。 【名师点评】牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——一定时间内新长出的草的数量。 14．头 【分析】设1头牛1周吃草量为“1”。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周，相当于1公顷牧场可供2.5头牛吃8周。然后求出1公顷牧场1周新生长的草量及1公顷牧场原有草量，再考虑第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周。 【详解】1公顷牧场1周新生长的草量为： 1公顷牧场原有草量为： 24公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为； 若想维持18周，需要饲养：（头）牛。 答：需要饲养40头牛。 【名师点评】本题考查的是复杂的牛吃草问题，求出1公顷牧场的草速及1公顷牧场原有草量是解题的关键。 15．天 【分析】题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来；2公顷、4公顷和6公顷统一为12公顷，然后按照一般的行程问题考虑。 【详解】设1头牛1天吃草量为“1”； 将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天； 将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天； 所以12公顷的牧场每天新生长的草量为： 12公顷牧场原有草量为： 那么12公顷牧场可供16头牛吃： （天） 答：6公顷的牧场可供8头牛吃45天。 16．15小时 【详解】设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时） 17．头 【分析】由于三种情况下草地的大小是不一样的，那么原草量和草的增长量都是不同的，这里需要进行转化，求出每公亩牧场每天的牧草生长量，以及每公亩牧场的原草量，然后再考虑多少头牛吃40公亩的草，24天可吃完。 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉份，说明每公亩牧场54天提供份牧草；17头牛84天吃掉份，说明每公亩牧场84天提供份牧草。每公亩牧场天多提供份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份，原有草量为份。 如果是40公亩的牧场，原有草量为份，每天新长出份，24天共提供牧草份，可供头牛吃24天。 答：35头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完。 【名师点评】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当多块草地的面积不一样时，需要求出单位面积的增长量及单位面积的原草量。 18．12分钟 【分析】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客．等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解．设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，可求每分钟新来旅客数量．假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客数量．同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要时间可求． 【详解】每分钟新来旅客：（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份） 原有旅客为：（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份） 开7个检票口需要时间：60÷（7-2）=12（分） 答：需要12分钟． 19．5分钟 【分析】本题所给条件中只给出了每次所开进水阀、出水阀的数量及排完水所需时间，没有给出进水、出水具体的数量，所以可设水池容量为１ ，每个排水阀每分钟排水量为x ，进水阀每分钟进水量为y ，两次排水量是一样的为１ ，由此可列式为　，由此求出一个进水阀和一个出水阀的效率，再据已知条件求出同时打开三个排水阀，需多少分钟才能排完水池的水。 【详解】解：设进水阀和排水阀的效率分别为x和y； 将第二个算式乘3； 则30（y＋y）－30x＝3 30x＝60y－3； 将第二个算式代入第一个算式中； 30y－（60y－3）＝1 30y＝2 ； ＝1÷ ＝5（分） 答：单开3个排水阀5分钟能排完水池的水。 【名师点评】解答本题的关键是抓住前两次的排水量一致，分别设出排水和进水的效率，列出两个等量关系式，进而求出排水量。 20．150级 【详解】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答． 21．12天 【分析】摘录条件： 27头    6天    原有草+6天生长草 23头    9天    原有草+9天生长草 21头    ？天   原有草+？天生长草 解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化．设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45．为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15 现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？ 【详解】第一次吃草量27×6=162 第二次吃草量23×9=207 每天生长草量45÷3=15 原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72 21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天） 22．8天 【分析】：这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，因此我们可以把4只羊换成1头牛，这样就只剩一种动物了．80只羊可以换成20头牛，60只羊可以换成15头牛． 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，那么16头牛20天一共吃了16×20=320份草，20头牛12天吃了240份草，每天长草量为（320-240）÷（20-12）=10份草，原有的草量为320-10×20=120份草，现在有10+15=25头牛，其中吃原有草的牛有25-10=15头，那么可以吃120÷15=8天． 【名师点评】不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作． 23．12台 【详解】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 原有的水可供多少台抽水机抽1天？(台). 若6天抽完，共需抽水机多少台？(台). 24．39千米/小时 【详解】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度．所以： 卡车速度为：（千米/时） 全程：（千米） 丙车速度为：（千米/时） 25．40头 【详解】略 26．21名 【分析】依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工人砌砖相当于“牛在吃草”。 【详解】所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，列表分析得 15人   14天   15×14＝210：原有砖的数量＋14天运来砖的数量 20人   9天    20×9 ＝180：原有砖的数量＋9天运来砖的数量 从上面的表中可以看出（14－9）＝5天运来的砖为（210－180）＝30，即1天运来的砖为30÷5＝6 原有砖的数量为：180－6×9＝126； 假设6名工人不走，则能多砌6×4＝24份砖，则砖的总数为126＋24＋6×（6＋4）＝210 因为是10天工作完，所以有210÷10＝21名工人。 【名师点评】本题其实是“牛吃草”类型，熟练掌握“牛吃草”类型解题方法是解决本题的关键。 27．167.4吨 【详解】60000÷10000×6.3× ＝6×6× ＝6×27.9 ＝167.4（吨） 答：7月份这片森林一共可以吸收167.4吨二氧化碳。 28．8天 【详解】略 29．17人 【详解】这道题是“牛吃草问题”的一个变化题。已流进的水，加上3小时流进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。已流进的水，加上10小时流进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内流进的水及船中已流进的水。 1小时流进的水，几人用1小时能舀完：（5×10－12×3）÷（10－3）＝2（人） 已流进的水：（12－2）×3＝30（份）） 已流进的水加上2小时流进的水，需多少人1小时舀完：30＋2×2＝34（人） 用2小时来舀完这些水需要：34÷2＝17（人） 30．4人   10天 【详解】一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”      6人    4天   6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒      4人    5天   4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒 从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天． 原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$