15.3　分式方程——分式方程的解法 课件-2024-—2025学年人教版数学八年级上册

分式方程的解法 活动1 第一小组原计划每小时采摘5kg的农作物，实际上如果每小时都能多采摘1kg，就能够提前3小时完成既定计划，采摘总量还会比原计划多出2kg。你知道采摘小组原计划的采摘总量是多少吗？ 合作探究 等量关系：原计划采摘天数 实际采摘天数=3 设原计划采摘总量为xkg. 合作探究 变式 第二小组原计划要在活动规定时间内完成100kg农作物采摘任务，实际上他们每小时都能比计划工作量多采摘，最终在规定时间内共摘了120kg农作物，获得了本次采摘活动的冠军，你知道他们原计划每小时采摘农作物多少千克吗？ 合作探究 分析：可以设原计划每小时采摘农作物xkg ，则原计划采摘100kg所需时间为 ，实际在原计划的基础上每小时多采1kg，且在规定时间内共采了120kg，则实际所用时间为 ，根据采摘时间相等可列方程： 。 变式 第二小组原计划要在活动规定时间内完成100kg农作物采摘任务，实际上他们每小时都能比计划工作量多采摘，最终在规定时间内共摘了120kg农作物，获得了本次采摘活动的冠军，你知道他们原计划每小时采摘农作物多少千克吗？ 想一想：这两个方程的未知数在位置上有什么区别？他们都是整式方程吗？ 合作探究 方程① 是整式方程 未知数在分子上 方程② 不是整式方程 未知数在分母上 ① ② 合作探究 定义： 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 想一想：这两个方程在未知数的位置上有什么区别？他们都是整式方程吗？ 合作探究 思考：你能举出几个分式方程的例子吗？ 定义： 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 练习1.下列方程是否为分式方程？为什么？ 即学即用 练习1.下列方程是否为分式方程？为什么？ 不是 不是（ π 是实数） 是 是 即学即用 总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)． 活动2：类比整式方程的解法，你能想出如何解分式方程吗？ 合作探究 合作探究 整式方程 去分母 同乘30 同乘最小公倍数 去分母 怎样去分母？ 同乘最简公分母 同乘 分式方程 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 类比 合作探究 整式方程 去分母 同乘30 同乘最小公倍数 去分母 同乘最简公分母 同乘 分式方程 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 类比 合作探究 分式方程 解得：x=5. 最简公分母是: 解:方程两边同乘 ,得： 分式方程 整式方程 去分母 同乘最简公分母 合作探究 分式方程 整式方程 去分母 同乘最简公分母 转化思想 合作探究 解得：x=5. 检验：将x=5代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=5是原分式方程的解. 解:方程两边同乘 ,得： 分式方程 整式方程 去分母 同乘最简公分母 转化思想 x=5是原分式方程的解吗？ 合作探究 解得：x=5. 检验：将x=5代入原分式方程中，左边= =右边， 因此x=5是原分式方程的解. 解:方程两边同乘 ,得： ∴第二小组原计划每小时采摘5kg，实际每小时采摘了6kg。 即学即用 活动3.下面我们仿照上述给出的解分式方程的过程 再解一个分式方程： 即学即用 思考：同学们在检验的过程中发现了什么问题？ 检验： 解：方程两边同乘 ，得： 解得： . 将x=5代入原方程中，分母 和 的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解。 探究新知3 观察下面分式方程化整式方程的过程 思考：整式方程的解是否是分式方程的解主要取决于什么？ x+5=10 解得x=5 解得x=6 两边同乘 两边同乘 是分式方程的解 不是分式方程的解 发现： 整式方程的解 使最简公分母不为0 是分式方程的解 整式方程的解 使最简公分母为0 不是分式方程的解 代入 代入 检验方法： 方法总结 归纳：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 方式二：将整式方程的解代入最简公分母 整式方程的解x =a 是原分式方程的解 检验 最简公分母不为0 最简公分母为0 整式方程的解x =a 不是原分式方程的解 方式一：将整式方程的解代入原分式方程的两边， 看左右两边的值是否相等； 检验方法： 方法总结 方式二：将整式方程的解代入最简公分母 整式方程的解x =a 是原分式方程的解 检验 最简公分母不为0 最简公分母为0 整式方程的解x =a 不是原分式方程的解 方式一：将整式方程的解代入原分式方程的两边， 看左右两边的值是否相等； 典例解析 活动4 解方程 解得: x=9. 所以，原分式方程的解为x=9. 解得: x=1. 所以，原分式方程无解. 解： 方程两边乘 , 得: 解： 方程两边乘 , 得: 检验：当x=9时， 检验：当x=1时， 因此 x=1不是原分式方程的解. 典例解析 活动4 解方程 解得: x=9. 所以，原分式方程的解为x=9. 解得: x=1. 所以，原分式方程无解. 解： 方程两边乘 , 得: 解： 方程两边乘 , 得: 检验：当x=9时， 检验：当x=1时， 因此 x=1不是原分式方程的解. 典例解析 活动4 解方程 解得: x=9. 所以，原分式方程的解为x=9. 解得: x=1. 所以，原分式方程无解. 解： 方程两边乘 , 得: 解： 方程两边乘 , 得: 检验：当x=9时， 检验：当x=1时， 因此 x=1不是原分式方程的解. “化” “解” “检验” “写解” 要点归纳 4.“写解”： 在方程的两边都乘以最简公分母， 约去分母，化成整式方程; 解整式方程. 把整式方程的解代入最简公分母; 如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解; 否则这个解不是原分式方程的解; 写出原分式方程的解. 1.“化”： 2.“解”： 3.“检验”： 解分式方程的一般步骤 练习2.解下列方程 即学即用 练习2.解下列方程 即学即用 解：方程两边同乘2x(x+3)得： x+3=4x， 解得 x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 2(x+1)=3， 解：方程两边同乘 得： 解得 x= 检验：当x= 时，2x(x+3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x= . 练习2.解下列方程 即学即用 解：方程两边同乘2x(x+3)得： x+3=4x， 解得 x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 2(x+1)=3， 解：方程两边同乘 得： 解得 x= 检验：当x= 时，2x(x+3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x= . 课堂小结 分式方程 整式方程 x =a 去分母 解整式方程 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分 式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 目标 转化化归 课后作业 巩固性作业： 1.下列方程中，是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 2.将分式方程 化为整式方程时，方程两边可以 同乘（ ） A. B. C. D. 3.解方程： 课后作业 拓展性作业： 4.关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围 是 5.若关于x的分式方程 无解，求m的值． 探究性作业： 课堂小结 结束语： 我们解决过的每一个问题都将成为日后用以解决其他问题的法则。 ——笛卡尔 同学们，再见！ $$