12.3角的平分线的性质　课件　2024-2025学年人教版数学八年级上册

探究角的平分线的性质 1. 三角形全等的判定方法 复习回顾 SSS SAS AAS ASA HL 2. 角的平分线 复习回顾 （1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线. 2. 角的平分线 复习回顾 （2）作法： 方法1：叠合 M 2. 角的平分线 复习回顾 （2）作法： 方法2：度量法——量角器 作已知角的平分线： 探究新知 方法3：角分仪 C P M N CM=CN，PM=PN 作已知角的平分线： 探究新知 方法3：角分仪 CM=CN，PM=PN 尺规作图：作已知角的角平分线. 探究新知 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 方法4 探究新知 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： (1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2) 分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3) 画射线OC．射线OC即为所求. 尺规作图：作已知角的角平分线. 尺规作图：作已知角的角平分线. 探究新知 OM=ON CM=CN OC=OC △OMC≌△ONC (SSS) ∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等) 思考：作图的依据是什么？ 作已知角的平分线： 探究新知 方法5：三角板 度量 特殊角：直角 探究新知 思考：作图的依据是什么？ OM=ON Rt△OMP， Rt△ONP OP=OP Rt△OMP≌ Rt△ONP (HL) ∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等) 作已知角的平分线： 探究新知 PM = PN Rt△OMP ≌ Rt△ONP 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 作已知角的平分线： QE = QF 已知：如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N. 探究新知 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 求证：PM = PN. 证明：∵ OP是∠AOB的平分线， ∴ ∠1=∠2. ∵ PM⊥OA，PN⊥OB, ∴ ∠3 =∠4 = 90°. 在△OMP和△ONP中， ∴ △OMP≌△ONP (AAS) ∴ PM = PN. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线的性质 用法：∵ OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA，PN⊥OB, ∴ PM = PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）. 证明一个几何命题的一般步骤 明确已知、求证 画出图形 符号表示已知、求证 分析、证明 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OP平分∠AOB,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M,N. 求证：PM=PN. 证明：∵OP是∠AOB的平分线， ∴∠1=∠2. ∵PM⊥OA,PN⊥OB, ∴∠3=∠4=90°. 在△OMP和△ONP中， ∠3=∠4. ∠1=∠2. OP=OP ∴△OMP≌△ONP(AAS) ∴PM=PN. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 探究新知 猜想：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 探究新知 猜想：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 求证：点 P在∠AOB的平分线上. 已知：如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM = PN. 探究新知 求证：点 P在∠AOB的平分线上. 证明：经过点 P作射线OP. ∵ PM⊥OA，PN⊥OB, ∴ ∠3 =∠4 = 90°. 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ∴ Rt△OMP≌Rt△ONP (HL). ∴ ∠1=∠2. 已知：如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM = PN. ∴ OP平分∠AOB. ∴点 P在∠AOB的平分线上. 用法：∵ PM⊥OA，PN⊥OB，PM = PN， ∴ 点P在∠AOB的平分线上 （角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 . 探究新知 PE = PD 学以致用 如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D. 若PD =3，则点P到OB的距离为 . 过点P作PE⊥OB于点E PE = 3 3 DC ⊥ BC 学以致用 如图，在△ABC中，∠C= 90°，DE⊥AB于点E，DE = DC，∠CBD = 26°，则∠A的度数为 . △ABC， ∠C= 90°，先求∠ABC ∠ABC = 2∠CBD 38° BD平分∠ABC ∠ABC = 52° ∠A = 38° 1 尺规作图 作已知角的角平分线. 3 角的平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 课堂小结 2 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 课后作业 1. 如图，△ABC的角平分线 BM，CN相交于点 P . 求证：点 P到三边 AB，BC，CA的距离相等. 课后作业 2. 如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 交于点 F. 求证：点 F在∠BAC的平分线上. 课后探索 “三等分角”是古希腊三大几何难题之一. 数学家伽罗瓦证明：尺规作图不可能三等分任意角. 三等分角的仪器 Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 $$