第十三章轴对称单元测试卷2024-2025学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第十三章轴对称单元测试卷 一、单选题 1．下列字母中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下面四个图是“余姚阳明故里 征集大赛”的四件作品，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．下列手机中的图标是轴对称图形的是(　　) A． B． C． D． 5．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为（　　） A．44° B．66° C．96° D．92° 6．下列图形中，对称轴条数最多的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在 中， ， ，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则 =（　　） A． B． C． D． 8．如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 9．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④若，则点D到的距离是；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC；其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．等腰三角形的顶角是40°，则底角的度数为　 　°。 12．如图，在中，DE是AC的垂直平分线，若cm，的周长是13cm，则的周长为　 　cm． 13．在平面直角坐标系内，一个点的坐标为（2，﹣3），则它关于x轴对称的点的坐标是　 　． 14．在 中，边 、 的垂直平分线分别交边 于点 、点 ， ，则 　 　°. 三、解答题 15．如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 16．如图，在△ABC中，直线l交AB于点M，交BC于点N，点B关于直线l的对称点D在线段BC上，且AD⊥MD，∠B=28°，求∠DAB的度数． 17．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 18．已知一个等腰三角形的周长为26 cm，若其中一边长为8 cm，求另外两边的长. 四、综合题 19．在等边△ABC中，AO是高，D为AO上一点，以CD为一边，在CD下方作等边△CDE，连接BE. （1）求证：AD=BE； （2）过点C作CH⊥BE，交BE的延长线于H，若BC＝8，求CH的长. 20．老师布置了如下尺规作图的作业： 已知：如图ABC． 求作：ABC边BC上的高AM． 下面是小红设计的尺规作图过程： 作法： ①延长线段BC ； ②以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC的延长线于点D； ③分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E； ④连接AE，交CD于点M． 所以线段AM就是所求作的高线． 根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成（1）（2）两小题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）将该作图证明过程补充完整： 由②可得：AC = ． 由③可得： = ． ∴ （ ）．（填推理的依据） 即AM是ABC边BC上的高线． 21．已知：． 求作：点，使得点在上，且． 作法： ①分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于，； ②作直线，与交于点． 点为所求作的点． 根据上述作图过程 （1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，． 　 　，， ，在线段的垂直平分线上．即是线段的垂直平分线． 点在直线上， 　 　（填写推理的依据）． 22．如图，点 是 的平分线上一点， ， ， 、 是垂足，连接 交 于点 ， ． （1）求证： 是等边三角形； （2）若 ， ，求 的长． 23．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． （1）如图1，连接，当点在外部时，试说明； （2）如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； （3）如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知，字母H、I、O均为轴对称图形，而字母J不是轴对称图形， 故答案为：C． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A选项中的图形不是轴对称图形，故该选项错误； B选项中的图形是轴对称图形，故该选项正确； C选项中的图形不是轴对称图形，故该选项错误； D选项中的图形不是轴对称图形，故该选项错误. 故答案为：B 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：点关于y轴的对称点的坐标是. 故答案为：D. 【分析】关于y轴的对称点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此解答即可. 4．【答案】C 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵PA＝PB， ∴∠A＝∠B， 在△AMK和△BKN中， ， ∴△AMK≌△BKN， ∴∠AMK＝∠BKN， ∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK， ∴∠A＝∠MKN＝42°， ∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝96°， 故答案为：C. 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，利用SAS证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝42°，根据三角形内角和定理计算即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：A项中，一共有4条对称轴； B项中，一共有8条对称轴； C项中，一共有3条对称轴； D项中，一共有5条对称轴。 所以，对称轴树最多的是B项中的图形。 故答案为：B。 【分析】轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，其中这条直线叫做对称轴。 7．【答案】B 【解析】【解答】解： ， 以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ， ， ． 故答案为：B 【分析】由等腰三角形的性质得出三角形的两个底角相等再利用三角形的内角和结合题意求出∠ABD 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵BD=CD，AD⊥BC， ∴AB=AC， 即三角形是等腰三角形． 故选B． 【分析】由已知得到中线垂直平分该边，则可得到三角形的另两边是相等的于是答案可得． 9．【答案】C 10．【答案】C 【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE， ∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE， ∴AB=AD+2BE=AF+2BE， ∴AD=AF， ∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE， ∴AE= （AB+AD），故①正确； ②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF. 在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC， ∴△ACD≌△ACF， ∴∠ADC=∠AFC. ∵CE垂直平分BF， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠B. 又∵∠AFC+∠CFB=180°， ∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正确； ③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF， 又∵CF=CB， ∴CD=CB，故③正确； ④易证△CEF≌△CEB， 所以S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF， 又∵△ACD≌△ACF， ∴S△ACF=S△ADC， ∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④错误； 即正确的有3个， 故答案为：C. 【分析】①在AE取点F，使EF=BE.利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出2AE=AB+AD；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF.先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°； ③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC. 11．【答案】70 【解析】【解答】解：等腰三角形的底角为=70°. 【分析】根据等腰三角的两个底角相等和三角形的内角和定理求解. 12．【答案】19 【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， 的周长， ，即， 的周长， 故答案为：19 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，进而结合题意即可得到，从而即可求解。 13．【答案】（2，3） 【解析】【解答】解：一个点的坐标为（2，﹣3），则它关于x轴对称的点的坐标是（2，3）， 故答案为：（2，3）． 【分析】利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解． 14．【答案】80或100 【解析】【解答】由题意可分如下两种情况： ①图1中，根据垂直平分线性质可知， ， （等边对等角）， 两式相加得 ， 又 ， 由三角形内角和定理得 ， ， ； ②图2中，根据垂直平分线性质可知， ， （等边对等角）， 两式相加得 ， 又 ， ， 由三角形内角和定理得 ， ， . 故答案为80或100. 【分析】根据题意，点D和点E的位置不确定，需分析谁靠近B点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E距离点B近，根据垂直平分线性质可知， ，从而有 ，再根据三角形的内角和定理可得 ，联立即可求得；（2）图2中，点D距离点B近，根据垂直平分线性质可知， ，从而有 ，由三角形的内角和定理得 ，联立即可求得. 15．【答案】解：设小河为直线MN，如图， 作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线．在Rt△A′DB中，由勾股定理得： A′B= = =8（km）． 答：他要完成这件事情所走的最短路程是8km． 【解析】【分析】 利用轴对称求最短问题，设小河为直线MN，如图， 作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线 ，根据勾股定理即可算出A'B的长，从而得出答案。 16．【答案】解：∵点B关于直线l的对称点是点D ∴直线l是线段DB的垂直平分线 ∴MD=MB ∴∠MDB=∠B=28° ∴∠AMD=∠MDB+∠B=56° ∵AD⊥MD 在Rt∆ADM中 ∠DAB=90°-56°=34° 【解析】【分析】根据轴对称的性质可得MD=MB，由等边对等角得出∠MDB=∠B=28°，根据三角形外角的性质求出∠AMD的度数，即可求得结果． 17．【答案】当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形． 18．【答案】解：(1)假设底边是8厘米，另两边都是：(26-8)÷2=9厘米 (2)假设另一个腰是8厘米：另一边是：26-8×2=10厘米 【解析】【分析】分两种情况讨论：（1）当底边为8时，（2）当腰为8时，根据等腰三角形的性质和周长分别求出腰和底，即可求解. 19．【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°， ∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； ∴AD=BE； （2）解：∵△ABC是等边三角形，AO是BC边上的高， ∴∠BAC=60°，且AO平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°. ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠CBE=30°. 又∵CH⊥BE，BC=8， ∴在Rt△BCH中，CH= BC= ×8=4，即CH=4. 【解析】【分析】（1）由△ABC和△CDE都是等边三角形，可知CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，从而可得∠ACD=∠BCE，再根据SAS可得到结论；（2）由等边△ABC中，AO是高，可知AO平分∠BAC，∠CAD=30°，而△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE=30°，在Rt△BCH中，∠CBE=30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求出CH的长。 20．【答案】（1）解：如图，根据题中作法作图即可得； （2）解：由②可得：，（均为圆的半径） 由③可得：，（相同圆的半径） ∴AE是CD的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为：；；；AE是CD的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【解析】【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据圆的半径和垂直平分线的性质求解即可。 21．【答案】（1）解：如图，点即为所求； （2）；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等． 【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可； （2）利用线段的垂直平分线的判定方法求解即可。 22．【答案】（1）证明 点E是 的平分线上一点， ， ， ， ∵在 与 中， ≌ ， ， 又 ， 是等边三角形； （2）解： 是等边三角形，OF是 的平分线， ， ， ， 又∵ ， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ． 【解析】【分析】 （1） 根据角平分线的性质得出 ，然后根据HL证得 ≌ ，得出 ，结合 ，证得 是等边三角形； （2） 根据三线合一的性质得出 ， ，进而证得 ，然后根据 的直角三角形的性质即可求得OE的长，由三角形面积公式可求DF的长． 23．【答案】（1）证明：∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∠ADC＋∠ADE＝90°， ∴∠BCD＝∠ADE， ∵CA＝CB，AC＝AD， ∴DA＝CB， ∵在△ADE和△BCD中， ∴△ADE≌△BCD（SAS）． （2）解：结论：△AEF是等腰三角形．理由如下： ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝67.5°， ∵△ADE≌△BCD， ∴∠DAE＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝∠DCF， ∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CDF＝67.5°， ∴∠AFE＝180°−45°−67.5°＝67.5°， ∴∠AFE＝∠AEF＝67.5°， ∴△AEF是等腰三角形． （3）解：延长CE到T，使得FT＝CF，连接AT，DT，延长DE交AT于点M，如图所示： ∵AF＝DF，CF＝FT，， ∴（SAS） ∴AC＝DT，∠CAD＝∠ADT， ∵AC＝AD， ∴DA＝DT， ∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠CAD＋2∠ACD＝180°， ∴∠CAD＋∠ACD＝90°， ∴∠DCB＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ADT＝2∠DCB， ∵∠DCB＝∠EDT， ∴∠ADE＝∠TDE， ∵DA＝DT， ∴DE⊥AT， ∴DE平分AT， ∵AF＝FD， ∴点E是△ADT是重心， ∴ET＝2EF＝4， ∵DE垂直平分线段AT， ∴EA＝ET＝4， ∵△ADE≌△BCD， ∴BD＝AE＝4． 【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质即可得到∠ACD＝∠ADC，进而结合题意得到∠BCD＝∠ADE，再运用三角形全等的判定证明△ADE≌△BCD（SAS）即可； （2）结论：△AEF是等腰三角形．理由如下：先根据等腰直角三角形的性质即可得到∠CAB＝∠B＝45°，进而根据题意运用三角形全等的性质即可得到∠DAE＝∠B＝45°，从而得到∠EAF＝∠DCF，再结合等腰三角形的判定即可求解； （3）延长CE到T，使得FT＝CF，连接AT，DT，延长DE交AT于点M，先根据题意证明（SAS）即可得到AC＝DT，∠CAD＝∠ADT，进而得到DA＝DT，再根据题意结合等腰三角形的性质得到点E是△ADT是重心，进而根据三角形重心的性质结合垂直平分线的性质即可得到EA＝ET＝4，最后根据三角形全等的性质即可求解。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$