第十四章整式的乘法和因式分解单元测试卷2024-2025学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法和因式分解单元测试卷 一、单选题 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算a·a6·(a2)3的结果是（　　） A．a11 B．a12 C．a13 D．a14 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若一个正方形的面积为(ɑ+1)(ɑ+2)+ ，则该正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（p﹣q）4÷（q﹣p）3=（　　） A．p﹣q B．﹣p﹣q C．q﹣p D．p+q 8．将图1中四个阴影小正方形拼成边长为2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（　　） A． B． C． D． 9．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D．． 10．已知xm=6，xn=3，则的x2m﹣n值为（　　） A．9 B． C．12 D． 二、填空题 11．若 　 　． 12．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们任意选择其中如图所示的方框部分，将方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，这个常数是　 　 13．计算：　 　． 14．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C，其较短的边长为，下列说法中正确的有　 　．（填写序号） ①小长方形C的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． 三、解答题 15． （1）用乘法公式计算： （2）计算： 16．《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： （1）分解因式：； （2）分解因式； （3）分解因式：． 17．如图，某市有一块长为(3a+b)m、宽为(2a+b)m的长方形地块，管理部门计划将阴影部分进行绿化，再在中间长宽均为(a+b)m的空白处修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米? 求出当a=6，b=4时的绿化面积. 18．（1）（4a﹣b）（﹣2b）2 （2）2mn（﹣2mn）2﹣3n（mn+m2n）﹣mn2． 19． 阅读材料，并解答问题． 例：用简便方法计算195×205. 解：195×205 ＝（200－5）×（200＋5）① ＝2002－52② ＝39975. （1）例题求解过程中，第②步变形是利用　 　（填乘法公式的名称）； （2）用简便方法计算：9×11×101. 四、综合题 20．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN，例如：32=9，则log39=2，其中a=10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN.当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(M•N)=logaM+logaN. （1）解方程：logx4=2； （2）log28=　 　 （3）计算：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018=　 　(直接写答案) 21．乘法公式的探究及应用． （1）如图1可以求出阴影部分的面积是　 　； （2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　； （3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式　 　；（用含a，b的式子表示） （4）小明展示了以下例题：计算：． 解：原式 = ……． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：． 22．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程. 解：设x2－4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步） = y2+8y+16 （第二步） =（y+4）2 （第三步） =（x2－4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______. A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　.（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解. 23．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿贝尔公式 数学界三大奖项之一的阿贝尔奖，是为了纪念挪威著名数学家阿贝尔所设．阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式． 如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形．按图1的方法，该阶梯图形的面积为；按图2的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图1、图2面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式：． 任务： （1）推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程： 因为右边＝　 　． 左边＝a1b1＋a2b2，左边＝右边， 所以，a1b1＋a2b2＝a1（b1－b2）＋（a1＋a2）b2． （2）类比探究：如下图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形． ①图4中长方形B的长为a1＋a2，宽为 ； ②由图3、图4面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：a1b1＋a2b2＋a3b3＝al（bl－b2）＋ ＋ ． 请补全该公式，并进行验证． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】C 【解析】【解答】解：a·a6·(a2)3=a·a6·a6=a13. 故答案为：C. 【分析】先根据幂的乘方计算(a2)3，再利用同底数幂的乘法法则计算. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：A、a3•a4=a7，故选项A不符合题意； B、（a2）3=a6，故选项B正确符合题意； C、a10÷a2=a8，故选项C错误不符合题意； D、（2x）3=8x3，故选项D错误不符合题意； 故答案为：B. 【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断A选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即可判断D选项. 5．【答案】B 【解析】【解答】(ɑ+1)(ɑ+2)+ ＝ ＝ ， ∴正方形的边长为： . 故答案为：B. 【分析】把所给代数式重新整理后用完全平方公式分解因式即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵3a和2b不是同类项，∴不能合并，A不符合题意； B、，B不符合题意； C、，C不符合题意； D、，D符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：原式=（﹣q+p）4÷（q﹣p）3， =（﹣1）4（q﹣p）4÷（q﹣p）3， =q﹣p． 故选C． 【分析】先把原式化为同底数幂的除法，然后根据同底数幂的除法，底数不变指数相减来计算． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：图2中阴影部分的面积可以为（a-b）2，也可以为a2-2ab+b2 ∴（a-b）2=a2-2ab+b2. 故答案为：A. 【分析】用两种方法表示出图2中的阴影部分的面积，根据其面积相等，可得答案. 9．【答案】C 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵xm=6，xn=3， ∴x2m﹣n=（xm）2÷xn=62÷3=12． 故选C． 【分析】根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可． 11．【答案】 【解析】【解答】 ． 故答案为： ． 【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘底数不变，指数相加，进行计算即可． 12．【答案】7或-7 【解析】【解答】根据题意可得： 则这个常数是7或-7. 【分析】根据题意可得：a(a+8)-(a+1)(a+7)、 (a+1)(a+7)-a(a+8)，利用整式运算法则化简即可。 13．【答案】 【解析】【解答】 【分析】直接根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可求解. 14．【答案】①③④ 15．【答案】（1）解： （2）解： ； 【解析】【分析】（1）将代数式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先利用有理数的乘方、0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。 16．【答案】（1） （2） （3） 17．【答案】解：绿化面积为：(3a+b)(2a+b)-(a+b)2 =6a2+3ab+2ab+b2-a2-2ab-b2 =(5a2+3ab)m2； 当a=6，b=4时的绿化面积为：5×62+3×6×4=252m2. 【解析】【分析】根据大长方形的面积减去中间小正方形的面积=阴影部分的面积列出式子，进而根据多项式乘以多项式及完全平方公式分别去括号，再合并同类项化简，最后将a、b的值代入化简结果计算可得答案. 18．【答案】解：（1）（4a﹣b）（﹣2b）2=（4a﹣b）•4b2=16ab2﹣4b3；（2）2mn（﹣2mn）2﹣3n（mn+m2n）﹣mn2=2mn•4m2n2﹣3mn2﹣3m2n2﹣mn2=8m3n3﹣3mn2﹣3m2n2﹣mn2=8m3n3﹣4mn2﹣3m2n2． 【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式的法则、幂的乘方与积的乘方分别进行计算，即可得出答案． 19．【答案】（1）平方差公式 （2）解：9×11×101 =（10-1）×（10+1）×（100+1） =（102-1）×（100+1） =（100-1）×（100+1） =1002-1 =10000-1 =9999． 【解析】【解答】解：（1） 第②步变形是利用平方差公式. 故答案为：平方差公式. 【分析】（1）由于两个二项式中由一项完全相同，另一项互为相反数，则利用平方差公式. （2）将原式变形为（10-1）×（10+1）×（100+1），再利用平方差公式依次计算即可. 20．【答案】（1）解：∵logx4=2， ∴x2=4， ∴x=2或x=-2(舍去) （2）3 （3）-2017 【解析】【解答】(2)解：∵8=23， ∴log28=3， 故答案为3； ( 3 )解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018 = lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018 = lg2 +1g5﹣2018 =1-2018 =-2017 故答案为-2017. 【分析】(1)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可； (2)根据对数的定义求解即；；(3)根据loga(M•N)=logaM+logaN求解即可. 21．【答案】（1）a2-b2 （2）a-b；a+b；（a+b）（a-b） （3）a2-b2=（a+b）（a-b） （4）解：原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1 =（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1 =（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）+1 =（38-1）（38+1）（316+1）+1 =（316-1）（316+1）+1 =332-1+1 =332. 故答案为：332． 【解析】【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2， 因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积， 阴影部分面积=a2-b2， 故答案为：a2-b2； （2）拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b）， 故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）； （3）因为图1的阴影部分与图2面积相等， 所以a2-b2=（a+b）（a-b）， 故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）； 【分析】（1）根据正方形的面积公式，求出两个正方形的面积，阴影的面积就是大正方形减去小正方形的面积。 （2）根据拼成的长方形，写出宽是a-b，长是a+b，按照长方形的面积公式可得（ a+b）（a-b） 。 （3） 因为图1的阴影部分与图2面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b）。 （4） 找出规律，套用（3）的公式可得。 22．【答案】（1）C （2）不彻底；（x-2）4 （3）解：设x2－2x=y，则： 原式=y（y+2）+1 =y2+2y+1 =（y+1）2 =（ x2－2x+1）2 =（x﹣1）4. 【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式， 故答案为：C； （2）∵x2－4x+4=（x-2）2 ， ∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2）4 ， 故答案为：不彻底，（x-2）4 ； 【分析】（1）根据分解的过程进行判断； （2）分解结果还可以利用完全平方公式继续分解； （3）设x2-2x=y，则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1，然后利用完全平方公式分解分解. 23．【答案】（1） （2）解：①； ②； 理由：因为右边 左边，左边=右边， 所以，． 【解析】【分析】（1）将公式右边去括号、合并得解，可得左边=右边，即可验证； （2）由图形直接可得①； ②由图3的面积=图4中A的面积+B的面积+C的面积填空即可；将等式右边利用去括号、合并进行整理，可得左边=右边， 即可验证. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$