第二章《一元二次方程》单元练习 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 综合测试题 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．x2+xy﹣3＝0 C．x2+3x＝4 D．x+3（x﹣2）＝5x 2．一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0经过配方可变形为（　　） A．（x﹣2）2＝10 B．（x+2）2＝10 C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣2）2＝2 3．一元二次方程x2﹣x+4＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　） A．32+82＝x2 B．（x﹣8）2+32＝x2 C．x2+82＝（x+3）2 D．（x﹣3）2+82＝x2 5．历年来春节电影票房不断创新高．已知2022年春节电影总票房约60亿元，2024年达到80亿元．设2022年到2024年春节电影总票房的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．60（1+x）2＝80 B．80（1+x）2＝60 C．60（1﹣x）2＝80 D．80（1﹣x）2＝60 6．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3 7．关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝m2的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．无论m取何值，方程总有两个相等的实数根 B．无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 C．无论m取何值，方程总没有实数根 D．方程的根的情况和m的取值有关 8．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 9．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一根为﹣1，则m的值是 　 　． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2，则k＝　 　． 13．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 　 　米． 14．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　 　． 15．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论： （1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3）x12+x22＞a2+b2， 则正确结论的序号是　 　．（在横线上填上所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．（1）解方程； （2）x2+3＝2（x+2）． 17．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值． 18．若关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+（m+1）＝0没有实数根，求m的取值范围． 19．小颖与小明两位同学解方程x（x﹣2）＝x﹣2过程如下框： 小颖： 两边同除以x﹣2，得x＝1． 小明： 移项，得x（x﹣2）﹣x﹣2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0． 所以，x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝2，x2＝1． （1）你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖 　 　，小明 　 　； （2）写出你的解答过程． 20．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 21．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 22．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为480平方米、求车道的宽度． 23．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： （1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ （2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明； （3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 24．成都大运会吉祥物“蓉宝”形象深受市民喜爱，已知某商家销售的A型、B型纪念品进价、售价和每日销量如表所示． 根据市场行情，该商家对A型纪念品降价销售，同时对B型纪念品提高售价，发现A型纪念品每降低2元就可多卖1个，B型纪念品每提高2元就少卖1个，要保持每天销售总量不变．设其中A型纪念品每天多销售x个（A型纪念品售价不得低于进价）． 纪念品 进价/（元/个） 售价/（元/个） 销量/（个/日） A型 30 50 30 B型 20 30 40 （1）请用含x的代数式表示：降价后A型纪念品单个利润为 　 　元；提价后B型纪念品单个利润为 　 　元； （2）若当日利润为1036元，求x的值． 25．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： ∴代数式x2+4x+2的最小值为﹣2． ∴代数式﹣x2+4x+3的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 　 　； （2）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知x+y＝3，代数式x2+y+3x﹣2的最小值为 　 　． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．CADDA． 6-10．CBCBB． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．﹣1． 12．±2． 13．24． 14．±3或﹣5． 15．（1）（3）． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）去分母得：（3+x）+（x﹣4）＝﹣1， 整理得：2 x﹣1＝﹣1， 移项合并得：x＝0， 经检验x＝0是分式方程的解； （2）方程化为一般式为x2﹣2x﹣1＝0， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0， ， ∴． 17．解：（1）根据题意得： Δ＝36+4m≥0， 解得：m≥﹣9， 即m的取值范围为：m≥﹣9， （2）根据题意得： x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m， ∵x1+x2﹣2x1x2＝0， ∴﹣6﹣2×（﹣m）＝0， 解得：m＝3（符合题意）， 即m的值为3． 18．解：当m＝0时，方程为x+1＝0，x＝﹣1，不符合题意； 当m≠0时，根据题意，得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m+1）＜0， 解得， ∴m的取值范围为：． 19．解：（1）由题意知，小颖×，小明×， 故答案为：×，×； （2）x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得，x1＝2，x2＝1． 20．解：（1）由题意得a＝1，b＝﹣2，c＝k﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝8﹣4k≥0， 解得k≤2； （2）由根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，x2x1+k﹣1＝0， ∴x2x1﹣k+1＝0， ∵， ∴， ∴， 解得k＝2或5， 由（1）知k≤2，则k＝2． 21．解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 22．解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（34﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形， 根据题意得：（34﹣x）（20﹣x）＝480， 整理得：x2﹣54x+200＝0， 解得：x1＝4，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为4米． 23解：（1）由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理， 理由如下：设有x人报名参赛， 由题意得， 整理得 x2﹣x﹣140＝0，解得，不为整数． ∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理； （3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得， ， 整理得 x2﹣3x+2n﹣138＝0， 解得． 当n＝4 时，x＝13，符合题意， ∴共有13名参赛者报名本次比赛． 24．解：（1）∵A型纪念品每降低2元就可多卖1个，B型纪念品每提高2元就少卖1个， ∴降价后A型纪念品单个利润为50﹣30﹣2x＝（20﹣2x）元，提价后B型纪念品单个利润为30﹣20+2x＝（10+2x）元． 故答案为：（20﹣2x）元，（10+2x）元； （2）由题意，得， （20﹣2x）（30+x）+（10+2x）（40﹣x）＝1036， 解得x1＝6，x2＝1.5（舍去）， ∴x的值为6． 25．解：（1）由题意，∵x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 又对于任意的x都有（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3． ∴代数式x2﹣4x+1的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． （2）A＞B，理由如下： ∵A﹣B＝2x2﹣3x+2﹣（x2﹣x﹣1） ＝2x2﹣3x+2﹣x2+x+1 ＝x2﹣2x+3 ＝（x﹣1）2+2， 又对于任意的x都有（x﹣1）2≥0， ∴A﹣B＝（x﹣1）2+2≥2＞0． ∴A＞B． （3）由题意，∵x+y＝3， ∴y＝3﹣x． ∴x2+y+3x﹣2＝x2+3﹣x+3x﹣2 ＝x2+2x+1 ＝（x+1）2． ∵对于任意的x都有（x+1）2，≥0， ∴x2+y+3x﹣2＝（x+1）2，≥0． ∴代数式x2+y+3x﹣2的最小值为0． 故答案为：0． （4）由题意，设 AB＝x m，长方形 ABCD的面积为S， ∴S＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16． ∴当x＝4时，即AB＝4m时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为m2． 答：长方形生物园的最大面积为 16m2。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$