精品解析：2024年山东省中考数学模拟试题

2024山东中考数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选的答案超过一个，均记零分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 的倒数 C. 的立方根 D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年4月16日，国家统计局发布，一季度国内生产总值29.6万亿元，按不变价格计算，同比增长，比上年四季度环比增长.其中数据“29.6万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点在线段上（不与点重合），连接，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象一部分，对称轴为，且经过点．下列说法： ①； ②； ③； ④若，是抛物线上的两点，则； ⑤（其中）． 其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 计算的结果是______． 12. 如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　_________　． 13. 代数式与代数式的值相等，则______． 14. 如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝6cm．则图中阴影部分面积为___cm2． 15. 二次函数中，当时，的最小值是_________． 16. 如图，在中，，，，在直线上．将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止．则______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 18. 4月 23 日是世界读书日，为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生人数为 ，扇形统计图中m的值为 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1000名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 19. 随着新能源汽车推广力度加大，产业快速发展，越来越多消费者接受并购买新能源汽车．我市某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆. （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为52000元，售价为58000元，则该经销商1月至3月份共盈利多少元？ 20. 学完测高的知识后，学校数学社团的同学对公园里里的一棵古树进行了实地测量．如图，先把长为米的标杆垂直立于地面上的点处，当树的最高点、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，接着沿斜坡从C走到点D处，此时测得树的最高点处仰角，D到地面的距离为9米，为12米，求古树的高度． 21. 综合与探究：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数、反比例函数的表达式及点的坐标； （2）根据图象，请直接写出关于的不等式的解集； （3）已知为反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标． 22. 如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ． 【变式探究】 （2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】 （3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024山东中考数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选的答案超过一个，均记零分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 的倒数 C. 的立方根 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数，立方根与算术平方根，先化简各数，进而比较大小，即可求解． 【详解】解：，的倒数为，的立方根为， ∵， ∴最小的数是； 故选：D． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 2024年4月16日，国家统计局发布，一季度国内生产总值29.6万亿元，按不变价格计算，同比增长，比上年四季度环比增长.其中数据“29.6万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的相关知识，关键是掌握科学记数法的定义.科学记数法的表示形式为. 【详解】解：“29.6万亿”用科学记数法表示为， 故选B 4. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可． 【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化； 滚动过程俯视图会发生变化； 在滚动过程左视图不会发生变化； 故选：A． 【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相除法则判断选项A；根据幂的乘方法则判断选项B；根据平方差公式判断选项C；根据完全平方公式判断选项D即可． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C． ，原计算正确，符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相除法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键． 6. 如图，，点在线段上（不与点重合），连接，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由三角形外角性质可得，再根据平行线的性质即可得到的度数，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 8. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找恰好选中《周髀算经》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的结果数有6种， ∴选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为， 故选：B. 9. 如图，在中，，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识．根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、由作图可知，是的垂直平分线， ，故选项A正确，不符合题意； B、由作图可知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， 故选项B正确，不符合题意； C、由作图可知，平分， ， 故选项C正确，不符合题意； D、，， ； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法： ①； ②； ③； ④若，是抛物线上的两点，则； ⑤（其中）． 其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象判断式子符号，根据抛物线开口方向、与y轴的交点位置、对称轴位置可判断①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据，到对称轴的距离，结合开口方向可判断④；根据二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断⑤． 【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向下，与y轴的交点位于正半轴， ， ， 对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 图象经过点 ，即，故③错误； ，， ， ，故②正确； ，，二次函数图象开口向下， 若，是抛物线上的两点，则，故正确； ，， ，， 对称轴为直线，图象开口向下， 函数的最大值为， 当时，， 当时，，故⑤正确； 综上可知，正确的有①②⑤，共4个， 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 计算的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算求解即可． 【详解】解：， 故答案是：2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则． 12. 如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　_________　． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，根据折叠的性质易知，重合部分为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F．则． ∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是2， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，即四边形是菱形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 13. 代数式与代数式的值相等，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程解， 故答案为：． 14. 如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝6cm．则图中阴影部分面积为___cm2． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可得边相等，角相等，根据扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，可得△BCE的形状，根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形，根据扇形的面积公式，可得答案． 【详解】解：正方形ABCD中， ∴∠DCB=90°，DC=AB=6cm． 扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E， ∴△BCE是等边三角形，∠ECB=60°， ∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=30°． 根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形DCE， S扇形DCE=π×62×=3π， 故答案为3π． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，扇形的面积，灵活应用图形的割补是解题关键． 15. 二次函数中，当时，的最小值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，当时取最小值，最小值为， 故答案为：1 16. 如图，在中，，，，在直线上．将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及直角三角形的性质，根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】】解：∵，，， ∴，， ∴将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，，1，且三次一循环， ∵， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）（2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算及解一元一次不等式并用数轴表示解集， （1）首先计算化简绝对值、特殊角的三角函数计算、负整数指数幂及零指数幂计算，最后进行加减运算即可求解； （2）首先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 该不等式的解集在数轴上的表示为： 18. 4月 23 日是世界读书日，为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生人数为 ，扇形统计图中m的值为 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1000名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 【答案】（1）200人，40． （2）见解析 （3）300人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值； （2）先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可； （3）将1000乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 【小问1详解】 解：被抽查的学生人数是（人）， ∵， ∴扇形统计图中m的值是40． 故答案为：200人，40． 【小问2详解】 解：（人）， 补全的条形统计图如图所示． 【小问3详解】 解：∵（人）， ∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有300人． 19. 随着新能源汽车推广力度加大，产业快速发展，越来越多的消费者接受并购买新能源汽车．我市某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆. （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为52000元，售价为58000元，则该经销商1月至3月份共盈利多少元？ 【答案】（1）该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为；（2）盈利3276000元. 【解析】 【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可． （2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案． 【详解】（1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率x，根据题意列方程 解得，（舍去） （2） 答：（1）该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为；（2）共盈利3276000元. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程. 20. 学完测高的知识后，学校数学社团的同学对公园里里的一棵古树进行了实地测量．如图，先把长为米的标杆垂直立于地面上的点处，当树的最高点、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，接着沿斜坡从C走到点D处，此时测得树的最高点处仰角，D到地面的距离为9米，为12米，求古树的高度． 【答案】古树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 过点D作于点G，则得矩形，证明是等腰直角三角形，由，得，求出，进而可以解决问题． 详解】解：如图，过点D作于点G，则得矩形 ∴，米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 ∴米， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 答：古树高度为米． 21. 综合与探究：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数、反比例函数的表达式及点的坐标； （2）根据图象，请直接写出关于的不等式的解集； （3）已知为反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为， （2）或 （3）点或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题： （1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）根据一次函数和反比例函数图象结合已知不等式，数形结合直接可得； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，根据，可得点的纵坐标为2或，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数经过， ， 一次函数的表达式为； 一次函数经过， ， ， ． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， ； 【小问2详解】 解：观察图象得：当或时，， 即关于的不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：，， ，． 过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． ， ， ， 解得：． 即点的纵坐标为2或． 将代入得， 将代入得， 点或． 22. 如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为．此时 （3）为直角三角形时，点M的坐标为：或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求线的解析式，设点的横坐标为，再用的代数式表示的长度建立二次函数求解即可； （3）先求直线BE的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 由题意得，解得：． 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 过点P作轴于点H，交于点G 当时，，解得或3， ∴ 设直线的解析式为：， 则 解得： ∴ 设点（），则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． ∴当时，取得最大值为．此时． 【小问3详解】 在上存在点M，使为直角三角形． 抛物线顶点，设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴． 设， ①∵，∴，不可能为直角； ②当时，则 ∴轴， 则，∴，∴． ③当时，过点M作轴于点F． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∵，∴不合题意，应舍去，∴ ∴ 综上所述，为直角三角形时，点M的坐标为：或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力． 24. 【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ． 【变式探究】 （2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】 （3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离． 【答案】（1）；（2）；（3）当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果； （2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解； （3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，求出，进而得到，，证明，得到，即可求出，即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得到，， 由（1）知， ， ， ， ； （3）由折叠知， ， 点P在以为直径的圆上运动， 设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图， ， ， ， 又， ，即， ， 故当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$