精品解析：2022年山东省青岛市局属学校中考数学模拟试题

山东省青岛市局属学校2022年中考模拟试题2 数学模拟二 （考试时间：120分钟；满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） 3. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒，已知1米微米，则2.5微米用科学记数法可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图中几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 某班团支部统计了该班甲、乙、丙、丁四名同学在5月份“书香校园”活动中的课外阅读时间，他们平均每天课外阅读时间与方差s2如右表所示，你认为表现最好的是（ ）． 甲 乙 丙 丁 1.2 1.5 1.5 1.2 s2 0.2 0.3 0.1 0.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是( ) A. 7.5 B. 6 C. 10 D. 5 7. 如图，是的弦，半径于点且则的长为（　　）． A B. C. D. 8. 如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 分解因式：_____． 10. 一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是____． 11. 已知的面积为，将沿平移到，使和重合，连结交于，则的面积为________． 12. 某企业两年前创办时资金为万元，现在已有资金万元．若设该企业这两年资金的年平均增长率为，则根据题意可列方程为_____ 13. 如图，扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，点C、E、D分别在、、上，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为________． 14. 如图，是一块直角边长为2cm的等腰直角三角形的硬纸板，在三角形内部裁剪下一个如图1所示的正方形，设得到的剩余部分的面积为；再分别从剩下的两个三角形内用同样的方式裁剪下两个正方形，如图2所示，设所得到的剩余部分的面积为；再分别从剩余的四个三角形内用同样的方式裁剪下四个正方形，如图3所示，设所得到的剩余部分的面积为；……，如此下去，第n个裁剪后得到的剩余部分面积=________． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹） 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简：． （2）求抛物线的顶点坐标． 17. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是 ； （2）请你将图1、图2补充完整； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？ 18. 某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 19. 一艘中国海监船自西向东航行，在A处测得钓鱼岛C在海监船的北偏东方向，继续向东航行80海里到达B处，此时测得钓鱼岛C在海监船的北偏东方向上．问：海监船再继续向东航行多少海里，距离钓鱼岛C最近？（结果保留整数）（参考数据：） 20. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度（m）与运行的水平距离（m）满足关系式，已知球网与O点的水平距离为9m，球网高度为2.43m，球场另一边的底线距点的水平距离为18m． （1）当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当时，球能否越过球网？球会不会出底线？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，且刚好落在底线上，求h值． 21. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△ECF； （2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由． 22. 一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．不久，第二列快车也从甲地发往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分后，第二列快车与慢车相遇．设慢车行驶的时间为x（单位：时），慢车与第一、第二列快车之间的距离y（单位：千米）与x（单位：时）之间的函数关系如图1、图2，根据图象信息解答下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为______千米． （2）求图1中线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）请直接在图2中的（ ）内填上正确的数． 23. 【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． （3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF． 24. 如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题： （1）当t何值时，PQ∥BC． （2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省青岛市局属学校2022年中考模拟试题2 数学模拟二 （考试时间：120分钟；满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） 【答案】B． 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项是中心对称图形而不是轴对称图形； 故选B． 3. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒，已知1米微米，则2.5微米用科学记数法可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：微米， 1微米米， 2.5微米米， 故选D． 4. 如图中的几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确判断的前提． 根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：此几何体的主视图由四个正方形组成，下面一层三个正方形，且有边有两层．如图： 故选D． 5. 某班团支部统计了该班甲、乙、丙、丁四名同学在5月份“书香校园”活动中的课外阅读时间，他们平均每天课外阅读时间与方差s2如右表所示，你认为表现最好的是（ ）． 甲 乙 丙 丁 1.2 1.5 1.5 1.2 s2 0.2 0.3 0.1 0.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【详解】∵乙、丙的平均数大于甲、乙的平均数，故乙、丙表现较好； ∵丙的方差小于甲的方差，故丙的表现较好． 故选C． 6. 如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是( ) A. 7.5 B. 6 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出AC=10，再根据折叠图形的不变性，得出OA=OC=5，OE=OF，EF⊥AC，然后由两个角对应相等，两个三角形相似，证明出△OCF∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例即可求出OF的长度，进而得出EF的长度． 【详解】解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： 又根据折叠知：OA=OC=5，OE=OF，EF⊥AC． ∵∠COF=∠B=90°，∠OCF=∠BCA， 得：△OCF∽△BCA， ∴ ∴ ∴OF=3.75， 即EF=7.5． 故选：A． 7. 如图，是的弦，半径于点且则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OA，由垂径定理得AD=，在Rt△ADO中，由勾股定理求出OA，再根据CD=OC－OD求出CD即可． 【详解】连接OA， ∵OC⊥AB，AB=6则AD=3 且OA2=OD2+AD2， ∴OA2=16+9=25， ∴OA =OC=5cm． ∴DC =OC－OD=1 cm 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是连半径构造直角三角形． 8. 如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时对应的面积，判断函数图像，选出正确答案即可． 【详解】由点M是CD中点可得：CM=， （1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时， y==x； （2）如图：当点P位于线段BC上时，即1<x≤2时， BP=x－1，CP=2－x， y===； （3）如图：当点P位于线段MC上时，即2<x≤时， MP=， y===． 综上所述： ． 根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将分别表示为一次函数的形式是解题关键． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 10. 一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图， 随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种， 所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率=. 故答案为：. 11. 已知的面积为，将沿平移到，使和重合，连结交于，则的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是平移性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线平分面积的性质，掌握平移的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据平移的性质可得，，可证和全等，可得点是的中点，，由此可得，所以的面积为的面积的一半，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点，且， ∴， ∴， 所以的面积为的面积的一半，即为， 故答案为：18． 12. 某企业两年前创办时的资金为万元，现在已有资金万元．若设该企业这两年资金的年平均增长率为，则根据题意可列方程为_____ 【答案】 【解析】 【分析】，据此即可求解． 详解】解：由题意得： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用．正确理解题意是解题关键． 13. 如图，扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，点C、E、D分别在、、上，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求阴影部分面积，根据题意可得出阴影部分的面积=（扇形的面积-正方形的面积）÷2，依此列式计算即可求解． 【详解】解：扇形半径为：， 阴影部分的面积 （ ． 14. 如图，是一块直角边长为2cm的等腰直角三角形的硬纸板，在三角形内部裁剪下一个如图1所示的正方形，设得到的剩余部分的面积为；再分别从剩下的两个三角形内用同样的方式裁剪下两个正方形，如图2所示，设所得到的剩余部分的面积为；再分别从剩余的四个三角形内用同样的方式裁剪下四个正方形，如图3所示，设所得到的剩余部分的面积为；……，如此下去，第n个裁剪后得到的剩余部分面积=________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出剪下正方形后剩余的小三角形是等腰直角三角形，然后求出剪下的正方形的边长，求出剩余部分的面积等于原等腰直角三角形的面积的一半，同理可得每次剪下一个小正方形剩余部分的面积等于等腰直角三角形的面积的一半，然后依次求解，根据指数的变化规律写出即可． 【详解】由题意得，剪下剩下的三角形是等腰直角三角形， 剪下的是正方形， 剪下的正方形的边长为， 剩余部分的面积为， 即剩余部分的面积等于原等腰直角三角形的面积的一半， 同理，每次剪下正方形后剩余部分的面积等于正方形所在的等腰直角三角形的面积的一半， 原等腰直角三角形的面积， ， ， ， …， 第n个裁剪后得到的剩余部分面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，判断出减去一个正方形后剩余部分的面积等于原等腰直角三角形的面积的一半是解题的关键． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】此题考查了三角形的作图和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．画线段；分别以E、F为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点D；连结线段．根据，则． 【详解】解：画线段； 分别以E、F为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点D； 连结线段． ∴就是所求作的三角形． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简：． （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的除法运算，二次函数的性质， （1）先将分子分母因式分解，再根据分式除法运算法则计算即可； （2）根据二次函数的顶点坐标为，先化为顶点式，再根据顶点式的坐标特点，直接写出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 17. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是 ； （2）请你将图1、图2补充完整； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？ 【答案】（1）50；5次 （2）见解析 （3）252人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图．熟练掌握扇形统计图和条形统计图关键数据的互补性，补全条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，是解决问题的关键． （1）用4次的人数除以其所占百分比即可得到本次抽测的男生人数，由条形统计图求出引体向上5次的人数，可以直接得到抽测的众数； （2）根据（1）得到成绩为5次的人数，将条形统计图补充完整；求出3次，6次，5次分别占的圆心角度数，补全扇形统计图； （3）先计算本次抽测的达标率，再用总人数乘以达标率即可得到九年级男生的达标人数． 【小问1详解】 从条形统计图和扇形统计图可知，达到4次的占总人数的， ∴总人数为：（人）， ∵5次的人数为，（人），最多， ∴众数为5次； 故答案为：50，5次 【小问2详解】 由（1）知，5次的人数为16人， ∴补全条形统计图，如图． 3次：， 6次：， 5次：， 补全扇形统计图，如图． 【小问3详解】 ∵被调查的50人中有36人达标， ∴350名九年级男生中估计有，（人）． 故该校350名九年级男生中估计有252人体能达标． 18. 某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 【答案】（1）P（转动一次转盘获得购物券）=；（2）选择转转盘对顾客更合算． 【解析】 【详解】解：（1）∵转盘被均匀分为份，转动一次转盘获得购物券的有种情况， ∴转动一次转盘获得购物券概率=． （2）因为红色概率=，黄色概率=，绿色概率=，元， ∴选择转转盘对顾客更合算． 19. 一艘中国海监船自西向东航行，在A处测得钓鱼岛C在海监船的北偏东方向，继续向东航行80海里到达B处，此时测得钓鱼岛C在海监船的北偏东方向上．问：海监船再继续向东航行多少海里，距离钓鱼岛C最近？（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】轮船继续向东航行约20海里，距离钓鱼岛C最近 【解析】 【分析】本题考查直角三角形-方位角的实际应用，过点C作于点D，解直角三角形求出，，利用，求出，即可求解． 【详解】解：过点C作于点D，由题意得， 在中，， 在中，， ∵ ∴， 解得 ∴ 答：轮船继续向东航行约20海里，距离钓鱼岛C最近． 考点: 20. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度（m）与运行的水平距离（m）满足关系式，已知球网与O点的水平距离为9m，球网高度为2.43m，球场另一边的底线距点的水平距离为18m． （1）当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当时，球能否越过球网？球会不会出底线？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，且刚好落在底线上，求h的值． 【答案】（1）； （2）球能越过网，球会过界，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，解题的关键是利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围． （1）利用将点，代入解析式求出即可； （2）利用当时，，当时，分别得出即可； （3）代入和18得到有关的方程，求得的值即可． 【小问1详解】 解：把，，及代入到 即， ， ； 【小问2详解】 解：， 当时， 球能越过网， 时， 球会过界； 【小问3详解】 解：，，代入到得；依题意： 时，① 时，② 由①，②得． 21. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△ECF； （2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；（2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，CE=DC，易证得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，则可证得△ABF≌△ECF； （2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形． 【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD， ∴∠BAE=∠AEC， 又∵CE=CD， ∴AB=CE， 在△ABF和△ECF中， ， ∴△ABF≌△ECF（AAS）； （2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，∠BCE=∠D， 由题意易得AB∥EC，AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∵∠AFC=∠FEC+∠BCE， ∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE， ∴FC=FE， ∴四边形ABEC是矩形． 22. 一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．不久，第二列快车也从甲地发往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分后，第二列快车与慢车相遇．设慢车行驶的时间为x（单位：时），慢车与第一、第二列快车之间的距离y（单位：千米）与x（单位：时）之间的函数关系如图1、图2，根据图象信息解答下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为______千米． （2）求图1中线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）请直接在图2中的（ ）内填上正确的数． 【答案】（1）900 （2） （3）0.75，6.75． 【解析】 【分析】本题考查了行程问题的数量关系路程时间速度的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）由函数图象可以直接得出甲、乙两地之间的距离为900千米； （2）先由条件可以得出慢车走完全程的时间，就可以求出慢车的速度，进而求出快车的速度而得出C的坐标，由待定系数法求出结论； （3）根据慢车的速度和时间求出第二辆快车与慢车相遇时慢车行驶的路程，就可以求出第二辆快车行驶的时间，就可以得出第二辆快车晚出发的时间，进而就可以得出结论． 【小问1详解】 解：由函数图象得： 甲、乙两地之间的距离为900千米，； 【小问2详解】 解：由题意，得慢车速度为（千米/时）， 快车速度慢车速度为（千米/时）， 快车速度（千米/时） 快车走完全程时间为（小时） 快车到达时慢车与快车相距（千米） ∴． 设（为常数） 把代入中，有， 解得：． ∴； 【小问3详解】 解：由题意 ， ． 23. 【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． （3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF． 【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“”证明； （2）过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等； （3）以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等； （4）根据三种情况结论，不小于即可． 【详解】解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道， 故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL． （2）如图， 过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ，且、都是钝角， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ； （3）如图，和不全等； 以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等． （4）若，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 24. 如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC． （2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）s（2）当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）不存在．理由见解析（4）存在，cm2 【解析】 【详解】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角． （1）BP=2t，则AP=10﹣2t． 若PQ∥BC，则，即，解得． ∴当s时，PQ∥BC． （2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D． 则PD∥BC，∴△APD∽△ABC． ∴，即，解得． ∴S=×AQ×PD=×2t×（） ． ∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2． （3）不存．理由如下： 假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12． 由（2）可知，S△AQP=，∴=12，化简得：t2﹣5t+10=0． ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． （4）存在． 假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形， 则有AQ=PQ=BP=2t． 如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D， 则有PD∥BC， ∴△APD∽△ABC． ∴，即． 解得：PD=，AD=， ∴QD=AD﹣AQ=． 在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（）2+（）2=（2t）2， 化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=． ∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=． 由（2）可知，S△AQP= ∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（）=2×[﹣×（）2+6×]=． ∴存在时刻t=，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2． （1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解． （2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，得△APD∽△ABC，由比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值． （3）利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． （4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$