10.2 分式的基本性质（要点系统练+提升整合练+探究创新练）-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精练10.2分式的基本性质 知识点1 分式的基本性质 1．（八年级·北京西城·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）把分式中的和都扩大10倍，则分式的值（） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．缩小10倍 D．不变 5．（22-23八年级上·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 6．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 8．当，满足 时，． 9．（21-22八年级上·北京平谷·期中）把分式 的分子、分母中系数化为整数，则分式变为 10．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 知识点2 约分和最简分式 12．（22-23八年级上·北京平谷·期末）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·北京平谷·期末）分式，化简结果为（） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·北京西城·开学考试）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·北京房山·期中）化简： ． 16．（23-24八年级上·北京昌平·期中）化简： ． 17．（22-23八年级上·北京·阶段练习）约分： ， ． 18．（22-23八年级上·北京·阶段练习）如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则的取值范围为 ． 19．化简下列分式 (1) (2) (3) (4) 20．设a，b，c都是非零有理数，试求的值． 21．下列各分式中，是最简分式的是（      ） A． B． C． D． 22．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 23．（22-23八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23八年级上·北京·期末）下列各式中，运算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（22-23八年级上·北京·阶段练习）下列各等式中成立的有个．（　　） ①； ； ； ． A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2018·北京门头沟·一模）如果，那么的结果是 . 27．（2021九年级·北京·专题练习）约分：（1） ；（2） ． 28．（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式的值为整数，求的整数值 29．（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练10.2分式的基本性质 知识点1 分式的基本性质 1．（八年级·北京西城·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数或式子，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 3．（23-24八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质， 依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得， ∴新分式缩小到原来的， 故选C． 4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）把分式中的和都扩大10倍，则分式的值（） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．缩小10倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，注意分子扩大了100倍，分母扩大了10倍． 根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大10倍，则分式的值扩大10倍， 故选：A． 5．（22-23八年级上·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的符号变化规律，分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变是解此题的关键． 6．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 7．（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可． 【详解】解：分子，分母同得： ； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键． 8．当，满足 时，． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：当，满足时，． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 9．（21-22八年级上·北京平谷·期中）把分式 的分子、分母中系数化为整数，则分式变为 【答案】 【分析】分式的分子分母都乘以10，可得答案； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 10．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变． 11．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点2 约分和最简分式 12．（22-23八年级上·北京平谷·期末）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果． 【详解】A选项，故不是最简分式； B选项不能再化简，故是最简分式； C选项，故不是最简分式； D选项，故不是最简分式． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式． 13．（23-24八年级上·北京平谷·期末）分式，化简结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分的应用，能根据分式的基本性质正确约分是解此题的关键． 先对分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 14．（22-23八年级下·北京西城·开学考试）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质对各选项进行约分判断即可. 【详解】解：A、，故本选项变形错误； B、，故本选项变形正确； C、，故本选项变形错误； D、，故本选项变形错误； 故选：B. 【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键. 15．（23-24八年级上·北京房山·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质．正确运用分式的基本性质，将分子分母中的公因式约去是正确解题的关键． 【详解】 故答案为：． 16．（23-24八年级上·北京昌平·期中）化简： ． 【答案】 【分析】分子分母因式分解后约分即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的化简，熟练掌握因式分解和分式的基本性质是解题的关键． 17．（22-23八年级上·北京·阶段练习）约分： ， ． 【答案】 【分析】根据分式的性质约分求解即可． 【详解】，． 故答案为：；． 【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的性质． 18．（22-23八年级上·北京·阶段练习）如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别表示出图（1）和图（2）中的阴影部分的面积，再进行分析即可． 【详解】解：图（1）的阴影部分的面积为：， 图（2）的阴影部分的面积为：， ∴ ＝， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积． 19．化简下列分式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将分子和分母的公因式约去即可； （2）先将分子和分母分解因式，然后约分即可； （3）先将分子和分母分解因式，然后约分即可； （4）先将分子和分母分解因式，然后约分即可. 【详解】（1）解：= =； （2）解：= =； （3）解：＝ =； （4）解：= =． 【点睛】本题考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 20．设a，b，c都是非零有理数，试求的值． 【答案】值为0或4或． 【分析】根据a、b、c是非零实数，分两正一负、两负一正、都为正数和都为负数四种情况分别讨论求值即可． 【详解】解：由已知可得：a，b，c为两正一负、两负一正、都为正数和都为负数． ①当a，b，c为两正一负时：； ②当a，b，c为两负一正时：； ③当a，b，c都为正数时：； ④当a，b，c都为负数时：； 综上所述，值为0或4或． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值． 21．下列各分式中，是最简分式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：．是最简分式； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意； 故选A． 22．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，代入求解即可． 【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，可得， 即分式的值扩大为原来的倍 故选：B 【点睛】此题考查了分式的基本性质，积的乘方，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，正确求解． 23．（22-23八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按分式的基本性质，逐项约分化简，即可判断出正确答案． 【详解】解：，故A选项变形错误，不合题意； 的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B选项变形错误，不合题意； ，故C选项变形错误，不合题意； ，故D选项变形正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的变形，掌握分式的基本性质、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 24．（22-23八年级上·北京·期末）下列各式中，运算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，对每一个分式一一判定即可． 【详解】解：①，故①不符合题意； ②，故②符合题意； ③，故③不符合题意； ④，故④不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查分式的性质和化简，熟练掌握分式的基本性质，分式的化简方法是解题的关键． 25．（22-23八年级上·北京·阶段练习）下列各等式中成立的有个．（　　） ①； ； ； ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，据此即可求解． 【详解】解：，故不符合题意． ，故不符合题意． ，故不符合题意． ，故符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 26．（2018·北京门头沟·一模）如果，那么的结果是 . 【答案】4 【分析】令k，则a=2k，b=3k，代入到原式化简的结果计算即可． 【详解】令k，则a=2k，b=3k，∴原式=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 27．（2021九年级·北京·专题练习）约分：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）约去公因式即可解题； （2）先利用提公因式、完全平方公式分解因式，再约去公因式，即可解题． 【详解】解：（1）原式， 故答案为：； （2）原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的除法，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 28．（20-21八年级上·北京昌平·阶段练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题： （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可） （2）如果分式的值为整数，求的整数值 【答案】（1）；（2）、、0、 【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论； （2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定的值． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）原式 因为的值是整数，分式的值也是整数， 所以或， 所以、、0、． 所以分式的值为整数，的值可以是：、、0、． 【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义． 29．（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$