10.2 分式的基本性质（分层作业，9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十章 分式 10.2 分式的基本性质（9大题型提分练） 知识点1：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点2：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点3：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点4：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 题型一 判断分式变形是否正确 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分式的值不变． 【详解】解：A、当时，，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 【答案】乙同学的做法是错误的，详见解析 【分析】根据分式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：甲同学将分式的分子、分母同时除以，而由分式有意义可知，所以甲同学的做法正确； 乙同学将分式的分子、分母同时乘），但的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错误的． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质是解题关键． 题型二 求使分式变形成立的条件 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可． 【详解】解：使得等式成立的的取值范围为． 故选：D． 2．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出的取值范围． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出的符号是解题关键． 3．（21-22八年级上·全国·单元测试），在括号内填入适当的数为 ． 【答案】16 【分析】利用分式的基本性质解答即可． 【详解】解：， ∴括号内的数为， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分子分母同时乘以同一个数，分式的值不变是解题的关键． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）如果成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．（21-22八年级上·全国·课后作业）填空 （1），； （2），． 【答案】（1），；（2）a， 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即 ． 同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即． 所以，括号中应分别填：和． （2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 ． 同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即 ． 所以，括号中应分别填：a和． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．扩大倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是分式的性质，解题关键是熟练掌握分式的性质．按题意对分式中的、进行扩大，再与原分式比较即可求解． 【详解】解：依题得，将分式中的，都扩大倍可得， ， 原分式的值缩小到原来的． 故选：． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 先把，的值都扩大为原来的3倍，得，再化简，据此即可作答． 【详解】解：将分式中的，的值都扩大为原来的3倍， 得到， 把的分子和分母同时除以3，即， 故选：A． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）利用分式的基本性质填空： （1），（）； （2）； （　　）中为（1） ，（2） ． 【答案】 【分析】（1）首先利用分式的基本性质将分母由化为，可以看出是乘以得到的；接下来根据分式的基本性质，给分式的分子也乘以即可得到答案； （2）先根据平方差公式对分母因式分解为，再约分即可得到答案． 【详解】解：（1）根据分式的基本性质，分子分母同乘以得： ， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质和平方差公式，解答题目的关键是理解分式的基本性质； 4．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为 ． 【答案】10 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：∵中的，都扩大到原来的5倍， ∴． 故答案为：10 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 5．（2022八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子乘以可得． （2）先用完全平方公式将分子变形为，将分母变形为，由此可得答案． （3）将分母提取公因式得，由此可知答案． 【详解】（1）分子乘以可得： ， 故答案为：． （2）将分子分母进行因式分解得： ， 故答案为：． （3）将分母提取公因式得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，正确运用完全平方公式和平方差公式是解题关键． 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．（19-20八年级上·山东·课后作业）.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故选D. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 3、（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 4．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：= 【答案】 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 5．（18-19七年级·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可； 【详解】解：（1）； （2）. 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（） A．10 B．9 C．45 D．90 【答案】D 【分析】不改变分式的值，又要使分式中的各项系数全部化为整数，考虑到分式的分子、分母中各项系数均为分数，可分两步进行思考．分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90． 【详解】因为分式分子的各项系数化为整数要乘以10，分式分母的各项系数化为整数要乘以9，所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90． 故选D． 【点睛】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求． 3．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）使分式的各字母系数都变成整数，其结果是 ． 【答案】 【分析】要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，同时不改变分式的值，可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数．观察该题，可同乘以10． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质． 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ． 【答案】 【分析】运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可； （2）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可． 【详解】（1）解：； （2）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键． 题型六 最简分式 1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，解决本题的关键是掌握最简分式的定义． 根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断． 【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意；     C、，是最简分式，符合题意；     D、，故不是最简分式，不符合题意；     故选：C． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列式子中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，平方差公式的运用，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意， 故选：D． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）将化为最简分式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 5．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 题型七 约分 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解． 【详解】解：∵分式的值是负整数， ∴且的整数， 选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意， 故选：B． 2．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了约分的方法，熟练掌握约分的方法是解决此题的关键． 约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到公约数为1为止，据此判断即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、已经为最简形式，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．（2024·广东·二模）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解． 【详解】解： ； 当，时，原式． 故答案为：1． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 题型八 最简公分母 1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式的最简公分母是． 故选D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式，，的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式，，的分母分别是，，， 故最简公分母是：， 故选：C． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法主要包括以下几个步骤：取各分式的分母中系数的最小公倍数；各分式的分母中所有字母或因式都要取到；相同字母（或因式）的幂取指数最大的；所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母；由此即可得出答案． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）分式、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可求解，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：是， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可； （2）先找出最简公分母，然后通分即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，，的最简公分母为：， ∴三个分式通分为：，，． （2）解：∵， ， ， ∴分式，，的最简公分母为：， 三个分式通分为：，，． 【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母． 题型九 通分 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 2．（2022八年级上·全国·专题练习）把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）填空： （1） ；     （2） ； （3） ． 【答案】 3 【分析】本题考查的是分式的通分，约分． （1）把分子与分母约分法则即可； （2）找出最简公分母，计算即可； （2）把分子与分母约分法则即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：3； （2） 故答案为：； （3）； 故答案为：． 4．（20-21八年级上·全国·课后作业）与通分的结果是 ． 【答案】 【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可； 【详解】，， 最简公分母为， 通分后分别为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：． （2）通分：，． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式化简-约分，通分．熟练掌握通分法则是解题的关键． （1）将分式分子分母分解因式，再约分即可； （2）根据通分法则计算即可． 【详解】解：（1）． （2）最简公分母为， ， ． 1．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式中和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来倍 C．扩大为原来倍 D．扩大为原来倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 【详解】分别用和去代换原分式中的和， 得， 可见新分式扩大为原来的倍， 故选：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质依次判断即可． 此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】①当时，才有， 故该变形错误； ②∵分式中， ∴， 故该变形正确； ③当时，才有， 故该变形错误； ④∵， ∴， 故该变形正确； 综上，正确的有②④． 故选：B 4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，是最简分式，符合题意； 故选：D． 5．（2023八年级下·全国·专题练习）已知．则分式的值为（　　） A．8 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由可得，然后再对分式进行变形，最后代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、通分、约分等知识点，根据题意得出是解本题的关键． 6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握分式的约分的运算法则是解题的关键． 利用幂的乘方和积的乘方法则变形，再约分即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值． 本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的通分和月份，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键． 【详解】由得，， ∴①； 由得， ， ②； 由得， ∴③； ，得， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（20-21八年级下·广东江门·开学考试）若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】0或 【分析】将分子进行因式分解，再根据分式值为0的条件进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ∵原分式值为0， ∴且， ∴或， 解得：或， 故答案为：0或． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式化简的方法，以及分式值为0的条件：分子等于0，分母不为0． 10．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 的最小值为， 的最大值为， 的最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知． (1)将A进行因式分解． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先将展开后合并同类项，再利用平方差公式即可求解； （2）先对进行化简，再代入求值即可； 【详解】（1） ． （2） ， 若， 则． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)， (2) 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查分式的通分： （1）先确定最简公分母为，然后再通分即可； （2）先确定最简公分母为，然后再通分即可 【详解】（1）解：； ； （2）解： 13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ，即； ， 又是整式， 是“巧分式”． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 【答案】(1)23 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可设， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 分式 10.2 分式的基本性质（9大题型提分练） 知识点1：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点2：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点3：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点4：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 题型一 判断分式变形是否正确 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 4．（23-24八年级上·湖北·周测）下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 题型二 求使分式变形成立的条件 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 2．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（21-22八年级上·全国·单元测试），在括号内填入适当的数为 ． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）如果成立，则a的取值范围是 ． 5．（21-22八年级上·全国·课后作业）填空 （1），； （2），． 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．扩大倍 D．不变 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）利用分式的基本性质填空： （1），（）； （2）； （　　）中为（1） ，（2） ． 4．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为 ． 5．（2022八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)． 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．（19-20八年级上·山东·课后作业）.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 3、（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 4．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：= 5．（18-19七年级·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）； （2）. 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 2．（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（） A．10 B．9 C．45 D．90 3．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）使分式的各字母系数都变成整数，其结果是 ． 4．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 题型六 最简分式 1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）下列式子中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）将化为最简分式： ． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 5．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 题型七 约分 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）化简的结果是 ． 4．（2024·广东·二模）已知，，则 ． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 题型八 最简公分母 1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式，，的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）分式、的最简公分母是 ． 5．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分： (1)，，； (2)，，． 题型九 通分 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 2．（2022八年级上·全国·专题练习）把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）填空： （1） ；     （2） ； （3） ． 4．（20-21八年级上·全国·课后作业）与通分的结果是 ． 5．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：． （2）通分：，． 1．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式中和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来倍 C．扩大为原来倍 D．扩大为原来倍 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 5．（2023八年级下·全国·专题练习）已知．则分式的值为（　　） A．8 B．3 C． D．4 6．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算： ． 7．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，，则的值为 ． 9．（20-21八年级下·广东江门·开学考试）若分式的值为零，则x的值为 ． 10．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 ． 11．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知． (1)将A进行因式分解． (2)若，求的值． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)， (2) 13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$