24.1.4 圆周角课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 第二十四章 圆 教材分析 本节课选自人教版九年级上第二十四章第一节第四课时，其内容为圆周角的概念、定理、推论及圆内接四边形的有关内容，那么结合我班学情，同时为了完整的体现图形性质的探究过程，我将这一内容安排为两节课，本课为第一节，主要是学生在学习了与圆有关的概念，垂径定理、弧、弦、圆心角等内容的基础上，继续学习圆周角的概念、性质及应用。这既是对前续学习弧、弦、圆心角关系的继续，又为后续研究圆与其他平面几何图形嫁接了桥梁，提供了方法。在定理的证明环节，还处处体现着分类讨论、特殊到一般、化归等数学思想。 教学目标 1.理解圆周角的概念，会并证明圆周角定理. 2.理解掌握圆周角定理及其推论，并能应用圆周角定理及其推论进行简单的证明和计算.（难点） 3.理解圆内接四边形的概念，通过类比探究推导圆内接四边形的性质，并能利用圆内接四边形的性质进行简单的证明和计算.（重点、难点） 教学诊断 通过前面的学习已经具备了基本的知识储备。九年级的学生也有观察、实践操作等基本几何探究能力，有一定的推理能力，但因为学生没有接触过完全归纳法，对一个命题需要分情况进行证明的经验还很缺乏，存在一定困难。 教学策略 本节课聚焦核心素养，立足单元设计，遵循内在逻辑，力求思维进阶，教师采用启发式教学法，“问题+任务”双线驱动模式的教学模式，学生采用自主探究、合作交流的学习方式共同完成本节课的学习任务。 视频引入 问题1 图中过球门A、E两点画圆，教练让球员分别在B、C、D、O四处射球门，仅从射门的角度大小考虑，哪一处射门进球更有利呢？为什么？ 在O处 仅从射门角度大小考虑，射门角度越大越好. 观察与思考 问题2 图中∠A、∠B、∠C、∠D有什么共同点？ 共同点： 1）顶点在圆上； 2）两边都与圆相交. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 1）顶点必须在圆上； 1.圆周角的定义： 2.圆周角满足的条件： 2）角的两边必须与圆相交. 两者缺一不可. 总结归纳 如图所示，∠ABC与∠DEF都是圆周角. 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. · C O B A （2） · C O B A （1） · C O A B （3） · C O A B （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ 判一判 （5） · C O B A B · C O A （4） 只有一个 操作1：如图，点A、B在⊙O上，请画出 所对的圆心角，你能画出多少个？ 活动一 画圆心角与圆周角 操作2：在同一个圆中，请画出 所对的圆周角,你能画出多少个？ 无数个 问题3：同一条弧 所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB之间存在什么关系呢？ 问题探究 A B C C A B O 请同学们分别测量出自己所画的 所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，并记录下来，观察它们之间的关系. 结论仍然成立. 活动二：探究圆周角与圆心角的数量关系 追问：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？ 问题探究 猜想：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 怎样证明你的猜想呢？ （1）当圆心O在∠ACB的一边上时，如图所示： 分三种情况证明 证明： C A B O 证明： 由（1）结论得： 分三种情况证明 C A B O （2）当圆心O在∠ACB的内部时，如图所示： 连接CO，交⊙O于点D. D 证明： 由（1）结论得： 分三种情况证明 C A B O （3）当圆心O在∠ACB的外部时，如图所示： 连接CO，交⊙O于点D. D 总结归纳 圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图所示,几何语言表示为： A C B O ∵ ∠ABC与∠AOC分别是 所对的圆周角和圆心角 问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. 答： ∠BAC=∠BDC 理由如下： 由圆周角定理得： 结论：在同圆中，同弧所对的圆周角相等. 问题探究 D A C B O D A B O C E F 证明： 结论：在同圆中，等弧所对的圆周角相等. 问题探究 问题2 如图在⊙O中，若 ，则∠A与∠B相等吗？ 由此，你发现了什么？ 分别连接CO,DO,EO,FO D A B O C E F 证明： 分别连接CO,DO,EO,FO 结论：在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 问题探究 问题3 如图在⊙O中，若∠A=∠B，那么 成立吗？由此，你发现了什么？ 问题4 如图，AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点 （除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角, ∠ACB会是怎样的角？ · O A C B ∴ △AOC、△BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴ ∠OCA+∠OCB+∠ACB=180°. 结论：直径所对的圆周角是直角. 问题探究 解： ∵ OA=OB=OC， ∴ 2∠ACB=180°. ∴ ∠ACB=90°. （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 圆周角定理的推论： （2）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. （3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角. （4）90。的圆周角所对的弦是直径. 总结归纳 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º， 理由是 ; (2)∠BDC= º， 理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 试一试 D A B O C 完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= . 2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O 1 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 试一试 典例精析 例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小. O C A B （直径所对的圆周角是直角.） 解： ∵AB是☉O的直径， ∴ ∠ACB=90° ∴ △ABC是直角三角形 在Rt△ABC中，有： ∠A+∠B=90° ∴ ∠B=90°-∠A =90°- 80° =10° 证明： 连接AD 典例精析 例2 如图，AB是☉O的直径，BD是☉O的弦，延长BD到点C，使AC=AB,求证：BD=CD. A B C D O ∵AC=AB ∴△ABC是等腰三角形 又∵AB是☉O的直径 ∴∠ADB=90o ∴AD是底边BC上的高 ∴CD=BD 解： (1) ∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中，有： 又 ∵ AC是直径， ∴ ∠ABC=90°. 在Rt△ABC中，有： 设AB=BC=x 典例精析 O A B C D 例3：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长． (2) ∵BD平分∠ADC， 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题． 练一练 C O A B C D 例4 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°, ∠ADC=70°.求∠APC的度数. ∴∠ACB=90° ∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC 解: 连接BC ∵AB是⊙O的直径 ＝90°－60°=30°. 又∵∠BAD与∠DCB是 所对的圆周角. ∴ ∠BAD=∠DCB=30° ＝30°＋70°＝100°. 典例精析 P A D C B O 又∵∠APC是△APD的一个外角， 观察下列多边形的各个顶点有什么共同特点？ 它们的顶点都在圆上. 共同特点： 问题探究 A B C D O A B C D O E A B C D O E F 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接多边形的定义： 总结归纳 A B C D O 如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形的外接圆. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想1：∠A与∠BCD, ∠B与∠D之间的数量关系. ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º 即：圆内接四边形的对角互补. 问题探究 如何证明你 的猜想呢？ 猜想2：若∠DCE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，则∠A与∠DCE有何数量关系？ A B C D O E ∠A=∠DCE 即：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 1.圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补. 如图所示，几何语言表示为： 总结归纳 A B C D O E ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ∴∠A+∠DCE=180o，∠B+∠D=180o. 2.圆内接四边形的性质定理的推论： 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 如图所示，几何语言表示为： ∵∠DCE是内接四边形ABCD的一个外角 ∴∠A=∠DCE. 1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ， 则∠D= . 70º 100º 90º 练一练 例5：如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∠CAB=20。，求∠BOD的度数. 解： 连接AD. 典例精析 A B C D O 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析： ∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°， 故选A. 练一练 A A B C D O 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 当堂练习 2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ． B A C O 166° 3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A 【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理. 当堂练习 B A C O E D 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°, 则∠BCD的度数是（ ） A.115° B. 130° C. 65° D. 50° C 120° 当堂练习 5.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APC= . B A C O D B A C O P 6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ， ∠ADB= . 130° 50° 7.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °， AB＝2，则⊙O的半径是 . 2 当堂练习 B A D O C B A O C 第6题 第7题 课堂小结 教学反思 1.必须加强数学专业知识的理论学习，提高自身专业素养； 2.由于对教材的理解及把握不够，在探究部分用的时间过多，使得时间分配不当，使得学生的练习时间不够充分； 3.在讲述第三种圆周角的位置在圆心之外这一情况时，应该放手让学生自己去做去说去写，同时教师必须板书，强化知识点的深入； 4.整节课教师还讲的多了，说明自己在驾驭课堂的能力上还有待提高 Lavf55.19.104 $$