第08讲 有理数110道计算题专项训练（11大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第08讲 有理数110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数的减法运算 题型三 有理数的乘法运算 题型四 有理数的除法运算 题型五 含乘方的有理数运算 题型六 有理数的混合运算 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【计算训练一 有理数的加法运算】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)8 (6) 【分析】本题考查有理数加法，掌握有理数加法的计算法则是正确计算的前提． （1）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （5）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （6）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)0.75 (3)0 (4) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； （2）（3）（4）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解； ； （8）解： ； （9）解： ． 4．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． 首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算，利用加法交换律与结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律． （1）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． （2）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． 【详解】（1）解： ＝ ； （2） ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． （1）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． （2）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算： （1）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （2）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （3）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （4）根据有理数的加法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则． （1）先算同分母分数，再相加即可求解； （2）先算同分母分数，再相加即可求解； （3）先算同分母分数，再相加即可求解． 【详解】（1） 解： ； （2） ； （3） ． 【计算训练二 有理数的减法运算】 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法法则及加法运算律，熟练掌握有理数的加减法法则及加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 12．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．根据有理数加法交换律和有理数加减法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 13．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ； 14．计算 ：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号的和的形式，再结合加减法法则解答．掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：原式 ． 15．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，掌握减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数成为解题的关键． （1）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （2）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （3）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （4）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 16．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【答案】(1)3 (2) (3)168 (4) (5)7 (6)1 (7)31 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)25 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）利用有理数加减运算法则：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用加大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；从而求解． （3）（4）可以先通分然后再进行有理数加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3)0.1 【分析】本题考查有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先转化为省略括号的加减法，再进行运算即可； （2）先转化为省略括号的加减法，再进行运算即可； （3）先转化为省略括号的加减法，再进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握有理数加减法的计算方法以及加法的交换律、结合律是解答的关键． （1）根据加法的交换律、结合律可将原式化为，再进行计算即可； （2）根据加法的交换律、结合律可将原式化为，再分别进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【计算训练三 有理数的乘法运算】 21．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律等运算法则较为简便． （1）根据有理数的乘法的结合律进行简算即可； （2）根据有理数的乘法的交换律与结合律计算即可； （3）利用乘法分配律进行简便计算即可； （4）逆用乘法分配律计算较为简便． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） ． 22．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 首先运用乘法分配律计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 23．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)； (7)1； (8) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． （1）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （2）根据两数相乘，异号得负进行计算； （3）根据两数相乘，异号得负进行计算； （4）根据两数相乘，同号得正进行计算； （5）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （6）根据两数相乘，异号得负进行计算； （7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算； （8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算律，根据题意直接计算即可． （1）利用乘法运算律求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 26．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 27．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键， （1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （3）观察发现因数中有0，故结果为零． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式． 28．（1）；         （2）； （3）；      （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的乘法法则及乘法运算律，掌握有理数的乘法法则是解题的关键。 （1）把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把和，和利用乘法交换、结合律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）把与交换结合到一起，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 29．计算题：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法分配律是解本题的关键． 原式逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解： ． 30．（1） （2） 【答案】（1）（2）7 【分析】（1）根据有理数乘法交换律、结合律计算即可． （2）根据分配律计算即可． 本题考查了有理数乘法运算，分配律计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【计算训练四 有理数的除法运算】 31．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，即可解答；； （2）各项先化为除法运算，利用乘除法法则计算即可得到结果； （3）各项先化为除法运算，利用乘除法法则计算即可得到结果； 【详解】（1）原式＝ ； （2）原式 ； （3）原式 ． 32．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算是解题关键． （1）根据有理数的除法运算化简即可； （2）根据有理数的除法运算化简即可； （3）根据有理数的除法运算化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 33．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可； （2）首先计算括号里面的除法，再计算括号外面的除法即可； （3）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 34．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)400 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （2）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，即可解答； （3）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （4）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：进而得出即可； （5）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （6）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了有理数的除法的运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 36．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1） ； （2） ． 38．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的除法，乘法分配律是解题的关键． 根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，根据乘法分配律，可得答案． 【详解】解：原式 ． 39．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了两个有理数的除法法则，熟练掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）把除法转化为乘法，再按乘法法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 40．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【计算训练五 含乘方的有理数运算】 41．计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． （1）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （2）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （3）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （4）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （5）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （6）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 42．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ； (9)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式 ． 43．计算： 【答案】 【分析】先计算有理数的乘方，再计算有理数的减法运算，即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，有理数的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 44．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的乘方运算计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：； 故答案为：； （4）解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． 45．计算：． 【答案】 【分析】先利用有理数的乘方，零次幂分别化简，进而计算即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、零次幂的概念与计算，掌握有关运算法则是解题的关键． 46．求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 【答案】见解析 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：（1）． （2），，． （3），． （4），． 由上述可得，两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即 (m为正整数)． ∴． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 47．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 48．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：，． 【深入思考】 ． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ；． （3）想一想：有理数的圈次方写成幂的形式等于多少，并写出推导过程． 【答案】（1）；4；（2）；；（3），推导过程见解析 【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算． 【详解】（1）， ； （2）， ； （3）． 理由： ， 即． 【点睛】本题主要考查了新定义除方，熟练掌握新定义内容，有理数乘除法运算法则和有理数乘方的运算法则是解题关键． 49．规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)写出计算结果：＝______；＝______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈次方都等于 B．对于任何正整数， C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D． (3)试一试：，，依照前面的算式，将，的运算结果直接写成幂的形式是______，______； (4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是：______； 【答案】(1)，； (2)D (3)，； (4) 【分析】（1）根据除方的运算法则进行计算即可； （2）根据除方的定义即可判断答案； （3）根据除方的运算法则进行计算即可； （4）由（3）总结归纳得出规律即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）设，则， A说法是正确的； ， B说法是正确的； 设，则， 当为偶数时，是偶数，，当是奇数时，是奇数，， C说法是正确的； ，， ， D说法是错误的， 故答案为：D． （3）， ， 故答案为：，； （4）由（3）可归纳得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的运算，理解新定义除方，总结归纳运算规律是解题关键． 50．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：___________，__________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (2)试一试：仿照图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．___________；___________；___________． (3)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___________； (4)算一算：． 【答案】(1)， (2)，， (3) (4) 【分析】（1）（2）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算； （3）根据（1）（2）得出规律； （4）根据（3）的规律求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ； 故答案为：，，； （3）解：， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． 【计算训练六 有理数的混合运算】 51．计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)6 (3) (4)41 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则。 （1）先去括号，然后计算加减法即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可即可； （3）先算乘方，再算乘除法即可； （4）先算乘除法，再算加法即可． 【详解】（1）解：解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 52．计算： (1)； (2)． (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)11 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数加法运算律、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. （1）运用加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法结合律进行简便运算即可； （3）运用乘法分配律进行简便运算即可； （4）运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 53． 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先把假分数化为带分数，再算乘除法，最后算加减法即可； （4）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘法，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 54．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)71 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）按照有理数加减的运算法则计算即可． （2）按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序计算即可． （3） 根据分配律计算即可． （4）按照先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的顺序计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 55．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 56．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算同分母分数，再相加即可； （2）先计算括号里的，再根据乘除的运算法则进行计算即可； （3）先进行有理数的加减法，再通过乘法运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数运算法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 57．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)17 (2) (3) (4) (5)1 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式= ． 58．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘方，有理数的混合运算，即可． （1）先计算有理数的乘方，然后根据有理数的加减运算，即可； （2）先计算有理数的乘方，然后算小括号，中括号，最后化除为乘，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 59．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及绝对值运算、乘方运算、有理数加减乘除运算等知识，熟练掌握有理数相关运算法则是解决问题的关键 （1）先由相反数定义、去绝对值运算化简，再由有理数的加减运算法则求解即可得到答案； （2）先计算乘方，再把除法转化为乘法，利用乘法运算律求解，最后由有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 60．运用运算律计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)23 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的运算律，运算法则和运算顺序． （1）先把减法转化为加法，然后根据加法的交换律和结合律即可解答本题； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【计算训练七 含绝对值的有理数计算】 61．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查化简绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键： （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据绝对值的性质化简即可； （3）根据绝对值的性质化简即可； （4）根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 62．已知的大致位置如图所示：化简． 【答案】 【分析】 此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答．先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论． 【详解】解：由数轴可得：， ， ． 63．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴原式， ， ． 64．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 【答案】3 【分析】本题考查了利用数轴比较大小以及化简绝对值：先得，再逐一化简绝对值，运用整式的加减混合运算合并同类项，即可作答． 【详解】解：根据a，b两数在数轴上的位置，得 则 65．如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据数轴分别判断，，的正负； （）根据，，的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可； 本题考查了整式的加减和去绝对值，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】（1）由数轴可得，，，， 故答案为：，，； （2） ， ． 66．计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 67．已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握其运算规则，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据，求出的值，再根据分情况讨论计算即可． 【详解】解：， ，， ， 当时，； 当时，； 故的值为：或． 68．已知，求的值． 【答案】2 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 由绝对值的非负性结合与的和为0可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 69．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 70．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 【计算训练八 有理数的简便运算】 71．用简便方法计算下面各题． (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，简便计算，运算律的运用，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律的逆运算即可求解； （2）将拆成，再运用乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （）根据有理数加法交换律、加法结合律计算法则求解即可； （）再根据乘法交换律、乘法结合律运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 73．用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)101 (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律是关键； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据乘法分配律可以解答本题； （3）根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 74．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 75．计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）先计算小括号内的，再进行加法和除法计算即可； （2）先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算除法； （3）逆向运用乘法分配律计算即可； （4）把写出，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 76．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 77．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，以及乘法分配律在有理数范围依旧适用． （1）根据乘法分配律进行计算即可； （2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 78．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了有理数加减混合运算，掌握加法的交换律是解决问题的关键． （2）本题考查了有理数的四则运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键． 【详解】（1）解：                      （2）解： 79．计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)8 (6) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； 解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 80．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3) (4)0 【分析】（1）先将带分数，小数，化为整数和分数的和或差，然后利用加法交换律，计算求解即可； （2）先将带分数，小数，化为分数，然后利用乘法交换律计算求解即可； （3）根据乘法分配律计算乘法，然后进行加减运算即可； （4）根据乘法结合律，计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算律．解题的关键在于熟练使用乘法运算律计算求解． 【计算训练九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方、倒数、绝对值、相反数的相关概念求解即可． 【详解】解：因为a与b互为相反数，所以． 因为x与y互为倒数，所以． 因为的绝对值和倒数均是它本身，所以． 因为n的相反数是它本身，所以． 所以 ． 【点睛】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，绝对值的含义，乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用代入法求解代数式的值是解本题的关键． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，及坐标轴上点的计算问题，根据互为相反的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1及绝对值的性质，y轴负半轴上点是负数代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∵是数轴负半轴上到原点的距离为1的数， ∴， ∴原式 ． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、相反数、绝对值，根据题干描述列式计算即可． 【详解】解：由题意，得． 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值和代数式求值，正确得到，或是解题的关键． 【详解】解∶ ∵a，b互为倒数，x，y互为相反数，且， 由题可知，或．· 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为18或． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出以及e的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4或 (2)8 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的定义，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，准确理解并灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可； （2）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，． 当时，原式； 当时，原式． 所以的值为4或； （2）当时，原式； 当时，原式． 所以的值为8． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据、互为相反数，、互为倒数，，求出，，，利用整体代入的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴， ， ， ． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 【答案】 【分析】此题考查了相反数、倒数的性质，有理数的混合运算；利用相反数，倒数性质求出，，，则，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意可得，1，， ∴． ∴ =1+1+0-1 =1． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 【答案】（1），或3；（2）的值是或 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值是解题关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值． （2））利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为， ，，，即， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式的值是或3． （2），， ， ， ，． 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值是或． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义求出，再根据非负数的性质求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了非负数的性质、乘方运算、相反数和倒数的意义，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【计算训练十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④  （2）（3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①∵ ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵ ∴； 故答案为为：；；；． （2）， 故答案为：． （3） ． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到规律是关键． （1）依据规律即可完成； （2）由（1）得出的规律，按照有理数的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，，．（n为正整数） 故答案为：，， （2）解： ． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的性质，有理数的混合运算，理解材料提示信息，掌握分数性质及变式是解题的关键． （1）根据材料提示可得，即可求解； （2）根据材料提示裂项，分数的加减混合运算即可求解； （3）根据材料提示可得，依次类推即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示得，， ∴是第个数， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． （3）解： ． 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 【答案】(1)，， (2)1； (3)11 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）； （也可以写成）； 故答案为：1； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）①，，②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，充分理解题干给出的计算思路，是解答本题的关键． （1）①总结规律即可作答；②按照题干思路作答即可； （2）按照题干思路作答即可． 【详解】（1）①，， ②可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得， ∴．（列式即可） ∴； （2）令， 则， 因此，， ∴， 即． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3） 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． 【计算训练十一 有理数的新定义运算】 101．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 102．（23-24七年级上·四川达州·期中）定义一种运算：，求 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义计算即可得到结果，注意运算顺序． 【详解】解： = = = = = =． 103．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 【答案】 【分析】本题考查了新运算，求代数式的值；根据新定义进行计算即可． 【详解】解：                    ． 104．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 105．（23-24七年级上·河北邢台·期末）对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1)2 (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）根据新定义规定的运算公式列式计算即可； （2）根据新定义规定的运算公式列式先计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ ． 106．（21-22七年级上·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 107．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 108．（23-24七年级上·广东湛江·期中）对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)10 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求，再计算即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得： ； （2） ． 109．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则． （1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解； （2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解： ． ∵的值与b互为相反数， ∴． 110．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 有理数110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数的减法运算 题型三 有理数的乘法运算 题型四 有理数的除法运算 题型五 含乘方的有理数运算 题型六 有理数的混合运算 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【计算训练一 有理数的加法运算】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1) (2) (3) (4)． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 4．计算： 5．计算：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 10．计算： (1)； (2)； (3)． 【计算训练二 有理数的减法运算】 11．计算： (1)； (2)． 12．计算：． 13．计算： 14．计算 ：． 15．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 16．计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19． 20．计算： (1) (2) 【计算训练三 有理数的乘法运算】 21．计算： (1) (2) (3) (4) 22．计算： 23．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 27．计算： (1)． (2)． (3)． 28．（1）；         （2）； （3）；      （4）． 29．计算题：． 30．（1） （2） 【计算训练四 有理数的除法运算】 31．计算： (1) (2) (3) 32．化简： (1)； (2)； (3)． 33．计算： (1)； (2)； (3)． 34．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 35．计算： (1)； (2)． 36．计算： (1)； (2)． 37．计算： (1)； (2)． 38．计算：． 39．计算： (1) (2) (3) (4) 40．计算： (1)； (2)； (3)． 【计算训练五 含乘方的有理数运算】 41．计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 42．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ； (9)． 43．计算： 44．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 45．计算：． 46．求出下列各组中两个算式的值，找出两个算式之间的关系． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 利用所得规律计算：． 47．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 48．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：，． 【深入思考】 ． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ；． （3）想一想：有理数的圈次方写成幂的形式等于多少，并写出推导过程． 49．规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)写出计算结果：＝______；＝______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈次方都等于 B．对于任何正整数， C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D． (3)试一试：，，依照前面的算式，将，的运算结果直接写成幂的形式是______，______； (4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是：______； 50．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：___________，__________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (2)试一试：仿照图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．___________；___________；___________． (3)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___________； (4)算一算：． 【计算训练六 有理数的混合运算】 51．计算题 (1) (2) (3) (4) 52．计算： (1)； (2)． (3)； (4). 53． 计算： (1) (2) (3) (4) 54．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 55．计算 (1) (2) 56．计算： (1) (2) (3) (4) 57．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) 58．计算： (1) (2) 59．计算下列各题： (1) (2) 60．运用运算律计算： (1)； (2)． 【计算训练七 含绝对值的有理数计算】 61．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 62．已知的大致位置如图所示：化简． 63．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 64．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 65．如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 66．计算：． 67．已知，且，求的值． 68．已知，求的值． 69．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 70．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【计算训练八 有理数的简便运算】 71．用简便方法计算下面各题． (1) (2) 72．计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 73．用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 74．用简便方法计算：． 75．计算下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 76．用简便方法计算： (1)； (2)． 77．用简便方法计算： (1) (2) 78．用简便方法计算： (1) (2) 79．计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 80．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【计算训练九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【计算训练十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【计算训练十一 有理数的新定义运算】 101．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 102．（23-24七年级上·四川达州·期中）定义一种运算：，求 103．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 104．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 105．（23-24七年级上·河北邢台·期末）对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 106．（21-22七年级上·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 107．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 108．（23-24七年级上·广东湛江·期中）对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 109．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 110．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$