第2章 有理数的运算 章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第2章 有理数的运算 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．下列计算结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，以及有理数的大小比较， 先计算出结果然后比大小即可得出答案． 【详解】解：，，，， ∴， ∴计算结果最小的是， 故选：A． 2．温州奥体中心主体育场总建筑面积705000000平方米，将承担2022杭州亚运会足球小组赛比赛任务．将数705000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 3．下列说法正确的是（　　） A．一个正数与一个负数的和一定是0 B．正数的绝对值大于负数的绝对值 C．两数相加，同号得正 D．相加得零的两个数一定互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法、相反数、绝对值等知识点，理解加法法则是解决本题的关键． 可通过举反例的办法判断对错． 【详解】解：例如与的和是不等于0，故选项A错误； ，故选项B错误； 两个负数相加，其和为负，故选项C错误； 互为相反数的两数的和是0，故选项D正确． 故选：D． 4．近似数万精确到____位；用四舍五入法精确到十分位的近似数应为____．（　　） A．百； B．百； C．百分； D．百分； 【答案】A 【分析】本题主要考查近似数，掌握近似数的精确度是解题的关键． 先将万还原，然后确定0所表示的数位即可；把精确到十分位就是对这个数的十分位后面的数进行四舍五入即可． 【详解】解：近似数万精确到百位，用四舍五入法精确到十分位的近似数应为； 故选：A． 5．是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 【详解】 解：是应用了加法的交换律与结合律， 故选：D． 6．一个天平配有重量分别为1，5，25，125，625克的砝码各5个，则为了准确称出重量为2024克的某物品（砝码只能放一侧），所需砝码数量的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，理解题意是解题关键，按照从大到小的顺序逐步确定砝码的数量即可； 【详解】解：∵， ∴625克的砝码需要3个； ∴， ∵， ∴125克的砝码需要1个； ∴， ∵， ∴5克的砝码需要4个；1克的砝码需要4个； ∴所需砝码数量的值为（个）； 故选B 7．按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 8．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 9．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的运算方法，令，则：，用，进行计算即可． 【详解】解：令， 则， ∴， 则， 即：的值为； 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．理解并掌握题干中给出的运算方法，是解题的关键． 10．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据减去一个负数就是加上它的相反数，直接运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，求得b的值是解题的关键． 由绝对值的性质先求得b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：1． 13．对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算．掌握相关定义是解题关键．根据定义列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 14．如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用； 分别求出第一次相遇的时间和之后每次相遇所需时间，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒， 之后每次相遇所需时间为秒， 所以第一次相遇后又相遇了次， 所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇， 故答案为：14． 15．设，其中整数满足（n为整数），则当，时， ；当，时，m的最大值为 ． 【答案】 3 196 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据有理数的乘方法则，计算即可． 【详解】解：当，时，则， ， ∴， 当，时，则， ∵，， ∴，，中，最大为7， ∵整数满足， ∴当，，时，， 当，，时，， ∴的最大值为． 故答案为：196． 16．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 【答案】 2或3 或 【分析】如图2所示，由题意得，，由此可得，进而求出，；如图2-1所示，的结果十位数为1，则或，由此讨论b的值求解即可. 【详解】解：如图2所示，由题意得，， ∵都是自然数，且， ∴， ∴， ∴； 如图2-1所示，∵的结果十位数为1， ∴或， 当时，符合题意，此时的乘积为； 当时，符合题意；，此时的乘积为； 故答案为：2或3；或 【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求解． 三、解答题（8小题，共68分） 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再加减即可求解； （2）运用乘法分配律去括号，再加减即可求解； （3）先乘方，乘除，再加减即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18． 阅读下面题目解题过程，并回答问题： 计算：     ①     ②     ③ (1)上面解题过程中，开始出错的步骤是________（填序号）； (2)请写出正确的步骤． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键． （1）根据有理数的乘除法则即可确定错误步骤的序号； （2）根据有理数加减和乘除运算法则求解即可． 【详解】（1）解：计算，应先进行除法运算，再进行乘法运算， 所以，解题过程中，开始出错的步骤是②． 故答案为：②； （2）正确的步骤如下： 原式 ． 19．已知五个数分别为，，，，4 (1)在如图所示的数轴上表示各数，并用“”号把这些数连接起来．    ∴________（用“”号把这些数连接）． (2)填空：以上五个数，选择其中三个数相乘可得到的最大乘积为________． 【答案】(1)见解析； (2)70 【分析】本题考查了有理数在数轴上的的大小比较，有理数的乘法， （1）先在数轴上表示出各个数，再比较即可； （2）根据有理数的乘法法则求出即可． 能正确在数轴上表示出各个数是解答此题的关键． 【详解】（1）解：   ， 故答案为： （2）解：选择，，4可得最大乘积， 为， 故答案为：70． 20．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 21．每天锻炼一小时，健康生活一辈子．小杨计划每天1分钟跳绳180个，但实际每天1分钟跳绳数与原计划相比有出入，下表是小杨某一周每天1分钟跳绳情况（每天按1分钟跳绳个数最多记录，超过180个记为正，不足记为负．单位：个）： 星期 日 一 二 三 四 五 六 跳绳个数 ＋4 ＋14 ＋21 (1)根据表中的数据，可知前三天小杨共跳绳______个； (2)根据记录的数据，可知跳绳最多的一天比跳绳最少的一天多跳多少个？ (3)小杨所在学校跳绳项目的积分制度如下：当天跳绳1分钟可以积10分，每天按1分钟跳绳个数最多记录，若跳绳个数超过180个，超过部分每个可以再积分；跳绳个数不足180，不足部分每个积分．请帮助小杨计算这一周跳绳项目一共积多少分？ 【答案】(1)536 (2)29个 (3)分 【分析】本题考查了正数与负数，有理数加减混合运算的应用，混合运算的应用，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）由计划量乘以，再加上超过或不足的量即可； （2）由超过最多的减去不足最多的量即可； （3）由再加上超过或不足的量乘以即可得到答案． 【详解】（1）解：前三天小杨共跳绳（个）； （2）． 答：跳绳最多的一天比跳绳最少的一天多跳29个． （3） （分）． 答：小杨这一周跳绳项目一共积分． 22．（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C．． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 【答案】（1）C；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解除方的定义，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据除方的定义逐一判断即可； （2）根据除方的定义，结合有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解（1）A、设，则，说法正确，不符合题意； B、代表个1相除，结果仍为，说法正确，不符合题意； C、，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不符合题意， 故答案为：C； （2） 23．在2022年“全民读书周”中，衢州市新华书店推出“券礼优惠”活动． 小柯领了四种优惠券各一张，选购了3本书，标价分别为100元，43元，a元．为享受最大优惠，小柯付款时打算采取两次结算 【任务1】若a=67，付款方法及金额如下： 方法 金额 A （元），67×0.7-20=26.9（元），合计82.7元． B （元），（元），合计86元． C （1）请计算方法C的金额，并说明哪种付款方法最优惠． 【任务2】 （2）若a大于43，当最优惠的付款金额为88.1元时，请列方程求出a的值． （3）若，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 【答案】（1）方法C的金额为80.3元，方法C最优惠；（2）80；（3）将标价为100元和43元的书一起付款，标价为40元的书单独付款最优惠，付款金额为63.8元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是： （1）选择标价100元和67元合并后，按照题目的优惠方式付款，标价43元单独按照题目的优惠方式付款即可； （2）若a大于43，选择标价100元和a元合并后，按照题目的优惠方式付款，标价43元单独按照题目的优惠方式付款，列出方程求解即可； （3）按照任务一中A、B、C三种方式计算，然后比较即可． 【详解】解：（1）方法C：（元），（元），合计80.3元， ∵， ∴方法C最优惠． （2）若a大于43， 由题意得， 解得：． （3）方法1：（元）， 方法2：（元）， 方法3：（元）， ∵， ∴将标价为100元和43元的书一起付款，标价为40元的书单独付款最优惠． 24．定义：对于任意的有理数a，b， (1)探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　． 【答案】(1)①，，，；②见解析，一般规律为 (2)①；② 【分析】（1）①根据定义即可求解；②举例，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解；②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ， 故答案为：，，，； ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为； （2）解：① ； ②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉， 代数式等于， 为偶数， 最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．下列计算结果最小的是（    ） A． B． C． D． 2．温州奥体中心主体育场总建筑面积705000000平方米，将承担2022杭州亚运会足球小组赛比赛任务．将数705000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．一个正数与一个负数的和一定是0 B．正数的绝对值大于负数的绝对值 C．两数相加，同号得正 D．相加得零的两个数一定互为相反数 4．近似数万精确到____位；用四舍五入法精确到十分位的近似数应为____．（　　） A．百； B．百； C．百分； D．百分； 5．是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 6．一个天平配有重量分别为1，5，25，125，625克的砝码各5个，则为了准确称出重量为2024克的某物品（砝码只能放一侧），所需砝码数量的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 8．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 9．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．计算： ． 12．若，且，则 ． 13．对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求 ． 14．如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 15．设，其中整数满足（n为整数），则当，时， ；当，时，m的最大值为 ． 16．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 三、解答题（8小题，共68分） 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18． 阅读下面题目解题过程，并回答问题： 计算：     ①     ②     ③ (1)上面解题过程中，开始出错的步骤是________（填序号）； (2)请写出正确的步骤． 19．已知五个数分别为，，，，4 (1)在如图所示的数轴上表示各数，并用“”号把这些数连接起来．    ∴________（用“”号把这些数连接）． (2)填空：以上五个数，选择其中三个数相乘可得到的最大乘积为________． 20．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 21．每天锻炼一小时，健康生活一辈子．小杨计划每天1分钟跳绳180个，但实际每天1分钟跳绳数与原计划相比有出入，下表是小杨某一周每天1分钟跳绳情况（每天按1分钟跳绳个数最多记录，超过180个记为正，不足记为负．单位：个）： 星期 日 一 二 三 四 五 六 跳绳个数 ＋4 ＋14 ＋21 (1)根据表中的数据，可知前三天小杨共跳绳______个； (2)根据记录的数据，可知跳绳最多的一天比跳绳最少的一天多跳多少个？ (3)小杨所在学校跳绳项目的积分制度如下：当天跳绳1分钟可以积10分，每天按1分钟跳绳个数最多记录，若跳绳个数超过180个，超过部分每个可以再积分；跳绳个数不足180，不足部分每个积分．请帮助小杨计算这一周跳绳项目一共积多少分？ 22．（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 除方 乘方幂的形式 （初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．对于任何正整数n，． C．． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）算一算：. 23．在2022年“全民读书周”中，衢州市新华书店推出“券礼优惠”活动． 小柯领了四种优惠券各一张，选购了3本书，标价分别为100元，43元，a元．为享受最大优惠，小柯付款时打算采取两次结算 【任务1】若a=67，付款方法及金额如下： 方法 金额 A （元），67×0.7-20=26.9（元），合计82.7元． B （元），（元），合计86元． C （1）请计算方法C的金额，并说明哪种付款方法最优惠． 【任务2】 （2）若a大于43，当最优惠的付款金额为88.1元时，请列方程求出a的值． （3）若，请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额． 24．定义：对于任意的有理数a，b， (1)探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$