3.4圆周角与圆心角的关系（第一课时） （课件）-2023-—2024学年北师大版数学九年级下册

3.4圆周角与圆心角的关系（第一课时） 在射门时，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角有关。 足球射门 如图，运动员在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门 训练，当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分 别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC. 这三个角哪个大？ 足球射门中的数学问题 认识圆周角 ∠ABC,∠ADC,∠AEC这三个角有哪些共同特征呢？ 顶点在圆上，并且两边分别与圆 还有另一个交点的角 （两个条件必须同时具备，缺一不可） 圆周角： 认识圆周角 下列各图中的∠BAC是不是圆周角？ · C B A · C O B A · C O A B O C O B A · · C O A B · · C O B A （2） （1） （3） （5） （6） √ √ √ （4） 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 顶点不在圆上 认识圆周角 圆周角：顶点在圆上，并且两边分别与圆 还有另一个交点的角. 弦 弦 A B O C 圆周角的特征： （1）顶点在圆上； （2）它的两边在圆内的部分是圆的两条弦. 你能在圆O中画出圆心角∠AOB=80°的 弧AB所对的圆周角吗？你能画出几个呢？ 画一画 A B O 80° 你能在圆O中画出圆心角∠AOB=80°的 弧AB所对的圆周角吗？你能画出几个呢？ 画一画 你画的圆周角之间有什么共性和差别？ 做一做 A B O 80° C E D 40° 40° 40° A B O E D C 80° A B O 80° C A B O 80° C 猜想 1.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半？ 圆周角∠ACB与圆心O的位置关系可以分为几类？ 圆心O在圆周角的边上 圆心O在圆周角的内部 圆心O在圆周角的外部 A B C E D O A C B O O A B C O A B C （1） （3） （2） 2.同弧所对的圆周角相等？ A C B O ． 推理证明 ∠AOB是△BOC的外角 ∠AOB=∠B+∠C OC=OB ∠C=∠B ∠AOB=2∠C ∠C= ∠AOB 1.当圆心O在圆周角∠ACB的一边(AC)上； （1） A C B O ． 证明过程 （1） 1. 已知：如图∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角. 求证： 证明：∵ 圆心O在∠C的一条边上， ∠AOB是△BOC的外角 ∴∠AOB=∠C+∠B ∵OC=OB ∴∠C=∠B ∴∠AOB=2∠C 即∠C=∠AOB ∠C= ∠AOB . 想一想 2.当圆心O在圆周角∠ACB的内部和外部. 提示:能否转化为1的情况？ 怎样转化？ O A B C O A B C （3） （2） O A B C （2） 推理证明 2.当圆心O在圆周角∠ABC的内部； ∠ACB=∠1+∠2= （∠3+∠4）= ∠AOB 连接CO并延长 ∠3是△AOC的外角 OA=OC ∠A=∠1 ∠3=2∠1 ∠4是△BOC的外角 ∠4=2∠2 ∠1= ∠3 ∠2= ∠4 D 1 2 3 4 2. 已知：如图∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角. 求证： 同理可得： ∠4=2∠2 ∵∠AOB=∠3+∠4 ∠ACB=∠1+∠2 ∴∠AOB=2（∠1+∠2） =2∠ACB 即∠ACB= ∠AOB 证明： 连接CO并延长，交圆O于点D ∵∠3是△AOC的外角 ∴∠3=∠A+∠1 ∵OA=OC ∴∠A=∠1 ∴∠3=2∠1 ∠ACB= ∠AOB . O A B C （2） D 1 2 3 4 证明过程 推理证明 3.当圆心O在圆周角∠ABC的外部. ∠ACB=∠DCB -∠1= （∠DOB-∠2）= ∠AOB 连接CO并延长 ∠2是△AOC的外角 OA=OC ∠A=∠1 ∠2=2∠1 ∠DOB是△BOC的外角 ∠DOB=2∠DCB ∠1= ∠2 ∠DCB= ∠DOB O A B C （3） D 1 2 3. 已知：如图∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角. 求证： 同理可得： ∴∠DOB=2∠DCB ∵∠AOB=∠DOB -∠2 ∠ACB=∠DCB -∠1 ∴∠AOB=2（∠DOB -∠2）= 2∠ACB ∴∠ACB=∠AOB 证明： 连接CO并延长，交圆O于点D ∵∠2是△AOC的外角 ∴∠2=∠A+∠1 ∵OA=OC ∴∠A=∠1 ∴∠2=2∠1 ∠ACB= ∠AOB . O A B C （3） D 1 2 证明过程 圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 即 ∠ACB = ∠AOC. 圆周角定理 A C B O （1） O A B C O A B C （3） （2） D D 圆周角定理的推论1： 同弧 所对的圆周角相等. 圆周角定理的一个推论 A B E C O D F G 或等弧 方法小结 转 化 分类讨论 A C B O O A B C D O A B C D 转 化 连接AO、CO · O 1.当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角哪个大？ 解决问题 学以致用 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：如图，AP 交优弧AB 于E，连接BE， ∵∠ACB＝∠AEB， 而∠AEB＞∠α， ∴∠ACB＞∠α， ∴当船P 位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”． 1．本节课学习了哪些新知识？ 2．在学习过程中运用了什么样的方法解决问题？ 3．这些思想方法体现在什么地方？ 今天的收获 圆周角与圆 心角的关系 圆周角定理 推论1 …… 转 化 圆 圆周角的定义 定义 对称性 弧、弦，点与圆的位置关系 圆心角、弧、弦的关系 垂径定理 分 类 特 殊 一 般 知识 思想方法 今天的收获 …… 同学们，再见！ $$