二次函数在几何方面的应用 课件 -2023-2024学年北师大版（2012）数学九年级下册

二次函数在几何方面的应用 情境引入 装修公司有一批如图所示的直角三角形地板砖边角料，你能设计一个方案将它们截成面积最大的矩形地板砖进行再利用吗？ 探究一 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m，那么AD边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ （提示：利用相似三角形的对应边成比例） x 30m 解：（1）设AB为xm （0＜x＜40）， x x 则CD=AB=xm， 由题意可得△FDC∽△FAE x ？ 在上面的问题中，如果把矩形改为如下图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 探究二 （提示：你能借助探究一的经验解决这个问题吗？） 解：过点O作OH⊥EF于点H交AD于点G. 由勾股定理可得EF=50m，再由等面积法可得OH=24m. 设AB=xm（0＜x＜24），所以OG=（24-x）m. 由题意可得△OAD∽△OEF x （改编自2018.贵阳）在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形DEFG，使EF在BC上,另外两个顶点分别在边AB、AC边上.则矩形DEFG的最大面积是______. 学以致用 解：设DE为x(0＜x＜4），则AM=4-x 由题意可得△ADG∽△ABC 当x=2时，y最大=6 矩形DEFG的最大面积是6. x 解：设DE为x(0＜x＜4），则AD=4-x 由题意可得△ADG∽△ABC 矩形DEFG的最大面积是6. 当x=2时，y最大=6 x 情境解决 装修公司有一批如图所示的直角三角形地板砖边角料，你能设计一个方案将它们截成面积最大的矩形地板砖进行再利用吗？ 方案一 第一步：测量AB，BC的长度； 第二步：设BF为x，利用相似三角形的对应边成比例表示出BD； 第三步：表示出矩形的面积y的表达式； 第四步：利用二次函数求最值的方法求出y最大时的x值，即可知道截出最大面积的矩形所需的BF、BD的长度。 方案二 第一步：测量AC的长度和AC边上的高； 第二步：设FG为x，利用相似三角形的高之比等于表示出DG； 第三步：表示出矩形的面积y的表达式； 第四步：利用二次函数求最值的方法求出y最大时的x值，即可知道截出最大面积的矩形所需的FG、DG的长度。 课堂小结 建立二次函数模型 1.实际问题 解决矩形面积最大问题的思路： 数学问题 2.引入的自变量注意取值范围，求最值时要在自变量取值范围内找 75552.0 56904.0 33744.0 39936.0 $$