3.3垂径定理 （课件）-2023-2024学年北师大版数学九年级下册

垂径定理 A B 圆是轴对称图形； 任意一条过圆心的直线是圆的对称轴. 线段是轴对称图形； 垂直且平分线段的直线是线段的一条对称轴. 知识回顾 M O ● 活动一：探究一个图形的轴对称性 O ● A B ●O A B C D 活动一：探究一个图形的轴对称性 ●O A B M 过圆心：直径CD CD⊥AB AM = BM C D 是圆的对称轴 又是弦的对称轴 弦圆共轴 活动一：探究一个图形的轴对称性 M 过圆心：直径CD CD⊥AB AM = BM ● O A B C D 活动一：探究一个图形的轴对称性 A’ B’ C’ D’ ● A B C D M 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M. 求证：AM=BM， 证明：连接OA、OB，则OA=OB. ∵ OA=OB，CD⊥AB . ∴ AM=BM ，∠AOC=∠BOC. ∴ . ∵ ∠AOD =180°-∠AOC , ∠BOD =180°-∠BOC ， ∴ ∠AOD=∠BOD， ∴ . A B O 活动一：探究一个图形的轴对称性 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵ OA=OB , OM=OM , ∴ Rt△OAM Rt△OBM . 如果弦AB是直径，结论还成立吗？ C D 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 几何语言： ∵ CD是直径，且CD⊥AB于点M， ∴ AM = BM, . 垂径定理 ●O A B M 活动一：探究一个图形的轴对称性 ● O A B M C D 过圆心：直径CD CD⊥AB AM = BM 活动一：探究一个图形的轴对称性 ● A B C D M 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，AB与CD相交于M,并且AM=BM. 求证： CD⊥AB,. 证明：连接OA，OB，则OA=OB. ∵ OA=OB， AM=BM, ∴ CD⊥AB, ∠AOC=∠BOC. ∵ ∠AOD =180°-∠AOC, ∠BOD =180°-∠BOC， ∴ ∠AOD=∠BOD, ∴ . 如果弦AB是直径，结论还成立吗？ A B ∴ O 活动一：探究一个图形的轴对称性 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 几何语言： ∵ CD是直径，AB是弦（不是直径），且CD与AB相交于M，AM = BM. ∴ CD⊥AB, . 定理 C D ●O A B M 活动一：探究一个图形的轴对称性 其中两个 另外三个 过圆心：直径CD CD⊥AB AM = BM C D ●O A B 拓展思考： ● A B M C D 过圆心：直径CD CD⊥AB AM = BM ● C D A B O O 活动一：探究一个图形的轴对称性 ● A B M C D 过圆心：直径CD CD⊥AB AM = BM ● A B C D O O 活动一：探究一个图形的轴对称性 其中两个 另外三个 过圆心：直径CD CD⊥AB AM = BM C D ●O A B 拓展思考： ●O A B ●O A B M C D ● A B C D M O 活动一：探究一个图形的轴对称性 实验探究 直观发现 推理论证 一条公路的转弯处是一段圆弧,我们想求出这段圆弧所在圆的半径，需要知道哪些量？并怎样进行计算呢？ 活动二：求一条公路转弯处圆弧的半径 例:如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点O是所在圆的圆心），其中CD =600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为点F，EF= 90 m.求这段弯路的半径. E O D C F R R-90 90 CF=DF 过圆心：OE OE ⊥CD于点F 600 活动二：求一条公路转弯处圆弧的半径 解：连接OC，设弯路的半径为R m, ∵EF=90 m , 则OF = (R-90) m. 例:如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点O是所在圆的圆心），其中CD =600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为点F，EF= 90 m.求这段弯路的半径. E O D C F R R-90 300 90 600 活动二：求一条公路转弯处圆弧的半径 解：连接OC，设弯路的半径为R m , ∵ EF=90 m , 则OF = (R-90) m . ∵ OE⊥CD， ∴ CF= =300 m. 解这个方程，得R=545. 所以，这段弯路的半径为545 m. 在Rt△OCF 中，根据勾股定理，得 即R2=3002+(R-90)2 OC2=CF2+OF2 , 变式1:如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点O是 所在圆的圆心），其中CD =600 m，F为CD的中点，连接OF并延长交⊙O于点E，且EF= 90 m.求这段弯路的半径. E O D C F R R-90 300 90 ? OE ⊥CD 过圆心：OE OE平分CD于点F 600 活动二：求一条公路转弯处圆弧的半径 解：连接OC，设弯路的半径为R m, ∵ EF= 90 m, 则OF = (R-90) m. 变式1:如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点O是 所在圆的圆心），其中CD =600 m，F为CD的中点，连接OF并延长交⊙O于点E，且EF= 90 m.求这段弯路的半径. E O D C F R R-90 300 90 ? 600 活动二：求一条公路转弯处圆弧的半径 解：连接OC，设弯路的半径为R m, ∵ EF=90 m ,则 OF= (R-90) m. ∵点F为CD的中点, ∴ OF⊥CD， 所以，这段弯路的半径为545 m. 在Rt△OCF 中，根据勾股定理，得 即R2=3002+(R-90)2 OC2=CF2+OF2 , 解这个方程，得R=545. ●O C D A B 方法梳理:圆与弦公共对称轴的几种情况 ●O C D A B ●O C D A ●O C D A 直径 半径 弦心距 直径的部分 过圆心、垂直于弦；连接圆心与弦(或弧)的中点 过圆心：半径OC OC⊥AB于点D ∠AOC=∠BOC 60° D C B A O 5 活动二：求一条公路转弯处圆弧的半径 30° 变式2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为_____________. 变式2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为_____________. r-5 r D C B A O 5 活动二：求一条公路转弯处圆弧的半径 30° ●O C D A B E 半径 弦心距 半弦长 方法梳理 1.圆中基本图形：联系半径、半弦长、弦心距的直角三角形. 2.添加适当的辅助线：如连接半径、过圆心作弦的垂线段等. 方法梳理 求圆中线段的长度 垂径定理 圆与直角三角形 勾股定理 三角函数 ●O A B ●O A B M C D ● A B C D M O 课堂小结 ●O C D A B E 半径 弦心距 半弦长 实验探究 直观发现 推理论证 实际应用 思考： 1.在圆上添加其他轴对称图形，是否仍是轴对称图形呢？ 2.你能发现哪些线段间的关系呢？ O A C B A B D C O A B C D E F O 拓展思考： $$