2.5二次函数与一元二次方程 课件 2023-2024学年北师大版（2012）数学九年级下册

2.5 二次函数与一元二次方程（第一课时） ——二次函数与根的判别式的关系 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t (s)的关系可以近似地用公式 h =-5t2+v0t+h0 表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示. (1)h与t 的关系式是什么？ (2)小球经过多少秒落地？ 你有几种求解方法？ 活动一 分析：(1)方法一：把实际问题转化成数学问题，可知v0=40， h0=0.因此，可直接写出关系式h =-5t2+40t (0≤t≤8). 方法二：观察图象可知，抛物线经过点（0,0）和（8,0）,代入公式h =-5t2+v0t+h0 ，求出v0=40， h0=0即可. 分析：把实际问题转化成数学问题，小球落地就是小球高度h=0，可用两种方法求小球落地的时间. 方法一：从“形”的角度看.观察图象可知，当h=0时，t1=0(舍去),t2=8.因此，小球经过8秒后落地. 方法二：从“数”的角度看.当h=0时，可得方程-5t2+40t =0，解得t1=0(舍去),t2=8. 把实际问题转化成数学问题，数形结合，是解决本题的关键. (1)h与t 的关系式是什么？ (2)小球经过多少秒落地？你有几种求解方法？ 二次函数 y=x2+2x ,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象如图所示， (1) 探索发现，填写下表： 活动二 二次函数的图象 抛物线与x轴的交点 一元二次方程 根的判别式Δ 一元二次方程的根 抛物线y=x2+2x与x轴有( )个交点，分别是( )、( ) x2+2x=0 Δ 0 方程x2+2x=0有 ( )的实数根.x1= ,x2= 抛物线y=x2-2x+1与x轴有( )个交点( ) x2-2x+1=0 Δ 0 方程x2-2x+1=0有( )的实数根.x1=x2= 抛物线y=x2-2x+2与x轴 ( )交点 x2-2x+2=0 Δ 0 方程x2-2x+2=0 ( )实数根. 两 -2,0 0,0 一 1,0 ＞ 两个不相等 -2 0 = 两个相等 1 没有 ＜ 没有 (2)思考：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式及根有什么关系？ 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的交点有三种情况： 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况： 有两个交点 有一个交点 没有交点 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 从“形”的角度看 从“数”的角度看 二次函数的图象 抛物线与x轴的交点 一元二次方程 根的判别式Δ 一元二次方程的根 抛物线y=x2+2x与x轴有( 两 )个交点，分别是(-2,0 )、(0,0) x2+2x=0 Δ ＞ 0 方程x2+2x=0有 ( 两个不相等 )的实数根.x1= -2 ,x2= 0 抛物线y=x2-2x+1与x轴有( 一 )个交点( 1,0 ) x2-2x+1=0 Δ = 0 方程x2-2x+1=0有(两个相等)的实数根.x1=x2= 1 抛物线y=x2-2x+2与x轴 ( 没有 )交点 x2-2x+2=0 Δ ＜ 0 方程x2-2x+2=0 ( 没有 )实数根. (3)思考：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 二次函数的图象 抛物线与x轴的交点 一元二次方程 根的判别式Δ 一元二次方程的根 抛物线y=x2+2x与x轴有( 两 )个交点，分别是(-2,0 )、(0,0) x2+2x=0 Δ ＞ 0 方程x2+2x=0有 ( 两个不相等 )的实数根.x1= -2 ,x2= 0 抛物线y=x2-2x+1与x轴有( 一 )个交点( 1,0 ) x2-2x+1=0 Δ = 0 方程x2-2x+1=0有(两个相等)的实数根.x1=x2= 1 抛物线y=x2-2x+2与x轴 ( 没有 )交点 x2-2x+2=0 Δ ＜ 0 方程x2-2x+2=0 ( 没有 )实数根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与x轴(直线y=0)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根． 一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴(直线y=0)交点的横坐标. 1.抛物线y=x2-x+2与x轴的交点情况是（ ） A.两个交点 B.一个交点 C.没有交点 D.不能确定 3.抛物线y=2023x2+bx-c 与x轴的两个交点分别为（12.6，0），（-9.8，0），不解方程2023x2+bx-c=0 ，直接写出它的解为x1= ， x2= . 2.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 . C （-1,0）（3,0） 12.6 -9.8 针对训练： 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ h =-5t2+40t (0≤t≤8) 分析：把实际问题转化成数学问题，小球离地面的高度是60m，就是h=60m. 法一：从“数”的角度看. 当h=60时，-5t2+40t =60， 解得t1=2,t2=6 因此，2s和6s时小球离地面的高度是60m. 法二：从“形”的角度看. 当h=60时，过点(0，60)作纵轴的垂线，如图，抛物线 h =-5t2+40t与直线h=60有两个交点，交点的横坐标2和6就是小球离地面高度是60m时的时间. h =60 抛物线h =-5t2+40t 与直线h=60两个交点的横坐标就是方程-5t2+40t =60的两个不相等的实数根.反之，亦成立 活动三 二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与直线y=m(m是实数)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=m的根． 一元二次方程ax2+bx+c=m(m是实数)的根就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=-4.9t2＋19.6t来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间． （1）画出函数h=-4.9t2＋19.6t的图象； （2）当t =1，t =2时，足球距地面的高度分别是多少？ （3）方程-4.9t2＋19.6t =0, -4.9t2＋19.6t =14.7的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? 针对训练： t 0 1 2 3 4 h 0 14.7 19.6 14.7 0 当t=1时，h=14.7；当t=2时，h=19.6 ∴当 t =1，t =2时，足球距地面的高度分别是14.7m，19.6m. 解: 当足球落地时，h=0，得-4.9t2＋19.6t=0 解得 t1=0，t2=4 ∴自变量t的取值范围是 0 ≤t ≤4 h=-4.9t2＋19.6t=-4.9(t-2)2+19.6 列表 描点、连线，如图： h=-4.9t2+19.6t (0 ≤t ≤4) 19.6 14.7 （1）画出函数h=-4.9t2＋19.6t的图象； （2）当t =1，t =2时，足球距地面的高度分别是多少？ 方程-4.9t2＋19.6t =0的根就是抛物线h= -4.9t2＋19.6t 与x轴交点的横坐标，表示足球离开地面及落地的时间，如图. h=-4.9t2+19.6t (0 ≤t ≤4) 19.6 14.7 h=14.7 （3）方程-4.9t2＋19.6t =0, -4.9t2＋19.6t =14.7的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? 方程-4.9t2＋19.6t =14.7的根就是抛物线h= -4.9t2＋19.6t 与直线h=14.7交点的横坐标，表示足球高度是14.7m时的时间，如图. 课堂总结： 通过今天的学习，你有哪些收获呢？ 二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数是一致的. 当Δ＞0时，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.反之亦成立. 当Δ=0时，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.反之亦成立. 当Δ＜0时，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.反之亦成立. 二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与直线y=m (m是实数)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=m的根． 一元二次方程ax2+bx+c=m (m是实数)的根就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标. 二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与x轴(直线y=0)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴(直线y=0)交点的横坐标. 注意事项： 1.遇到实际问题，要注意实际问题和数学问题之间的相互转化. 2.画与实际问题相关联的二次函数图象时，一要注意自变量的取值范围，二要注意同一数轴上的单位长度一定要统一. 3.注意数学思想方法如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想以及由特殊到一般得到数学结论的方法的使用. 布置作业： 基础达标作业 1.二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ． 2.求抛物线 y=-x2-x+6与 x轴的交点坐标． 能力提升作业 1.一元二次方程2x2-x-2=0 的根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（   ） A.y= 2x2和 y=x+2 B.y= 2x2和 y=-x-2 C.y= -2x2和 y=x+2 D.y=-2x2和 y=-x+2 2.二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0) 的图象如图1所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程 ax2+bx+c=0的根； （2）写出不等式 ax2+bx+c＜0的解集； （3）若方程 ax2+bx+c=k无实数根，写出k的 取值范围． 布置作业： 拓展探究作业(选做题) 根据以下素材，探究完成任务． 素材1：小林在练习投掷实心球，其示意图如图1，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面1.6m ，当球到OA的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m ． 图1 素材2：根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方1m处(如图2)架起距离地面高为2.45m的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离OC=8m． 任务：1.建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离 ． 2.求素材2和素材1中球的最大高度的变化量. 3.为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 图2 再 见 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。 ——战国 屈原 $$