培优专题突破课件--2024-2025学年人教版数学七年级上册

培优专题1 与数轴有关的数形结合思想 数形结合思想就是在研究数学问题时，由数解形、以形助 数、数形结合考虑问题的一种思想方法．本专题借助数轴使我们能用直 观图形来解决数的有关问题，这就是典型的“数”与“形”的结合． 利用数轴确定数的范围 1． 有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是 (　B　) A． a＞0 B． b＞0 C． －a＜0 D． －b＞0 B 2． 如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则 这段是(　B　) A． 段① B． 段② C． 段③ D． 段④ B 数轴与距离 3． 点A，B在数轴上的位置如图所示，如果点C也在数轴上，且B， C两点间的距离是1，那么A，C两点间的距离为(　C　) A． 2 B． 4 C． 2或4 D． 0或2 C 4． 如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和2，点C是线段 AB的中点，则点C所表示的数是 ⁠． －1　 数轴与相反数 5． 如图，数轴上的单位长度为1，若点A，B表示的数互为相反数， 则点C对应的数是(　A　) A． －2 B． 0 C． 1 D． 4 A 6． 如图，在数轴上，点A，B分别表示a，b，且a，b互为相反数， 若AB＝6，则点A表示的数为(　C　) A． 3 B． 0 C． －3 D． －6 C 数轴与绝对值 7． 若m，n，p，q四个数在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与 q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是(　C　) A． 点M B． 点N C． 点P D． 点Q C 8． 如图，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的 数分别为a，b，c. 若点B到点A，C的距离相等，b的绝对值最小，c的绝对 值最大，则原点的位置在(　B　) A． AB上，更靠近点A B． AB上，更靠近点B C． BC上，更靠近点B D． BC上，更靠近点C B 利用数轴比较大小 9． 有理数a在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(　C　) A． a＜－1＜－a＜1 B． a＜－1＜1＜－a C． －1＜a＜－a＜1 D． －1＜a＜1＜－a C 10． a，b两数在数轴上的位置如图所示，将a，b，－a，－b用 “＜”连接，正确的是(　B　) A． a＜－a＜b＜－b B． －b＜a＜－a＜b C． －a＜b＜－b＜a D． －b＜a＜b＜－a B 利用数轴的几何意义求最值 11． 如图，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ⁠． (2)数轴上表示－3和2的两点之间的距离是 ⁠． 3　 5　 (3)一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|，如 果表示数a和－2的两点之间的距离是3，那么a的值是多少？ 结合数轴可知a＝1或－5. (4)对于任意有理数x，|x－(－6)|＋|x－3|是否有最小值？如果有，直 接写出最小值；如果没有，请说明理由． |x－(－6)|＋|x－3|有最小值，最小值为9. 提示：|x－(－6)|＋|x－3|表示的是数轴上一点到－6与3的距离之和， 有最小值，最小值为9. 12． 若数轴上A，B两点表示的数分别为m，n，则A，B两点间距离 (AB的长)为|m－n|，如：A点表示3，B点表示5，则AB＝|3－5|＝2. (1)A点表示－5，B点表示3，则AB＝ ⁠； (2)若|x－3. 5|＝5. 5，则x的值为 ⁠； (3)结合“两点之间线段最短”，请你在横线上直接写出|x－3|＋|x－ 6|的最小值： ⁠． 8　 9或－2　 3　 利用数轴的几何意义解决其他问题 13． 规律探究如图，在数轴上，点A表示的数为1，现点A做如下移 动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单 位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这 种移动方式进行下去，点A2 024表示的数是 ⁠． 3 037　 14． 规律探究正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A，F对应 的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连 续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2 025次后，数轴上 2 025这个数所对应的点是(　C　) A． A点 B． B点 C． D点 D． E点 C 15． 如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以每 秒2个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒4个 单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运 动，设运动的时间为t秒． (1)当t＝0. 5时，求点Q到原点O的距离； 解：(1)当t＝0.5时，OQ＝8－4×0.5＝6. (2)当t＝2. 5时，求点Q到原点O的距离； (2)当t＝2.5时，OQ＝2.5×4－8＝2. (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离． (3)点Q到原点O的距离为4，分两种情况讨论： ①点Q向左运动时，OA＝8，则AQ＝4. 所以运动时间为t＝4÷4＝1.所以OP＝2×1＝2. ②点Q向右运动时，OQ＝4，则Q运动的距离为8＋4＝12. 所以运动时间为t＝12÷4＝3.所以OP＝2×3＝6． 综上所述，点P到原点O的距离为2或6. $$培优专题10 与角平分线有关的计算 方程思想 1． 如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分 ∠BOD，∠COE＝80°，求∠COD的度数． 解：由题意，设∠COD＝x°， 则∠AOC＝(3x)°，∠DOE＝(80－x)°. 因为OE平分∠BOD， 所以∠BOD＝2∠DOE＝2(80－x)°. 因为∠AOC＋∠COD＋∠BOD＝180°， 所以3x＋x＋2(80－x)＝180.解得x＝10.所以∠COD＝10°. 方程思想解决角有关的计算：当两个角成和、差、倍、分 关系时，可通过设未知角的度数的方法将这两个角的度数表达出来，再 充分利用角平分线的性质，结合图形找到含未知角的等量关系，通过解 方程，进而求出这两个角的度数和相关的角的度数． 整体思想 2． 如图，OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON 平分∠COD，∠MON＝80°. (1)若∠BOC＝40°，求∠AOD的度数； 解：(1)因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD， 所以∠AOB＝2∠BOM，∠COD＝2∠CON. 又∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC＝80°－40°＝40°， 所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(∠BOM＋∠CON)＋ ∠BOC＝2×40°＋40°＝120°.　 (2)若∠AOD＝x°，则∠BOC＝ °. (用含x的式子表示) (160－x)　 分类讨论 3． 已知∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，OM是∠BOC的平分线， 则∠BOM的度数为 ⁠． 40°或60°　 动态问题 4． 如图，点A，O，B在直线MN上，现将射线OA绕点O按顺时针方 向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的 速度旋转(当OB运动到OM时，运动停止)，直线MN保持不动，设旋转时 间为t秒． (1)当t＝3时，∠AOB＝ ⁠°. 150　 (2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值． 由题意，得∠AOM＝(4t)°，∠BOM＝(180－6t)°. ∠AOB第二次达到72°是在OA，OB第一次相遇后， 此时∠AOB＝∠AOM－∠BOM. 所以4t－(180－6t)＝72.解得t＝25.2. 所以当∠AOB第二次达到72°时，t的值为25.2.　 (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得∠AOB是直角？若存在，请 求出t的值；若不存在，请说明理由． 存在． 由题意，得∠AOM＝(4t)°，∠BON＝(6t)°. 分两种情况讨论： ①OA，OB第一次相遇前，∠AOB＝180°－(4t)°－(6t)°＝(180－ 10t)°＝90°.解得t＝9. ②OA，OB第一次相遇后，∠AOB＝(4t)°＋(6t)°－180°＝(10t－ 180)°＝90°.解得t＝27. 综上，当t的值为9或27时，∠AOB是直角． $$培优专题2有理数的简便运算技缸巧 类型《1)为 加法交换律与结合律 1.计算： 1)16+(-25)+24+(-35): 解：原式=(16+24)+(-25)+（一35）1 =40+(-60)=-20. (2)-0.5+(2+(-2.75)+(+72: 解：原式=-0.5+(+72+【一4+(2.751 =7+(-3)=4. 3)-3+4.4-2.4+32 解：原式=(3+3+(4.4-2.4) =0+2=2. 类型(2) 乘法交换律与结合律 2.计算： (10(-0.25)×(3×4×(-18): 解：原式=-(0.25×4)×号×18)=-1×14=-14. 2)×(×(0×(学： 解：原式=一品××君×号 =-(绿×0×后×孕=一号x1=一子 3-13)÷(4)×品×( 解：原式=-13×134×合×动 =-(3×台×134×司)=-1×2=-2. 类型3) 乘法分配律 3.计算： 山0哈+÷()： 解：原式=（哈子×( =名X(皆号×（号号×3 (2)4×(3)-3×(23)-6×23. 解：原式=-号×(4-3+6)=-号×7=-27. 类型《④拆项法 4.阅读第(1)小题的计算方法，再用这种方法计算第(2)小题 ()一5名+(-+17+（←32： 解：原式=[(-5)+（爱]+【(-）+（爱）]+(17+争+(-3)+(21 =(-5)+(-9+17+(-3)+爱+(++(2]=0+(1孕=-1子 上面这种解题方法叫做拆项法.培优专题3 与数轴有关的计算 数轴和有理数的运算 1． 有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列计算正确的 是(　C　) A． a＋b＞0 B． －a－b＜0 C． －a＋b＞0 D． －b＋a＞0 C 2． 如图，数轴上点A，B，C，D表示四个连续的整数，分别用a， b，c，d来表示．若d＝2，则下列结论不正确的是(　D　) A． b＝0 B． |a|＝|c| C． a＋b＋c＋d＝2 D． a＋b＋c＞0 D 3． 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确 的是(　B　) A． ab＞0 B． b－a＞4 C． +＝2 D． (a＋2)(b－3)＜0 B 绝对值的化简 4． 已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|a－b|＋|a ＋c|的结果为(　C　) A． －a－c B． －a－b－c C． －a－2b－c D． a－2b＋c C 5． 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a－c|－|a＋b| ＋|c－b|－|c＋a|. 解：由数轴，得a＜0，c＞b＞0，|a|＞|b|，|c|＞|a|. ∴a－c＜0，a＋b＜0，c－b＞0，c＋a＞0. ∴|a－c|－|a＋b|＋|c－b|－|c＋a| ＝c－a－(－a－b)＋(c－b)－(c＋a) ＝c－a＋a＋b＋c－b－c－a＝－a＋c. 数轴上两点间的距离 6． 有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C的位置如图所示，AB ＝3，AC＝9，且a＋b＋c＝0，则c的值为(　C　) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 C 7． 点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，点O为原点，AO＝ 1，CO＝2AB，若点B所表示的数为b，则点C所表示的数为(　B　) A． －2b＋2 B． －2b－2 C． 2b－2 D． 2b＋2 B 8． 已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为3x－5，点N表示的数 为9－x. (1)当x＝－1时，求线段MN的长； 解：(1)当x＝－1时，3x－5＝－8，9－x＝10. 所以MN＝10－(－8)＝18. (2)若线段MN的中点为原点，求点M表示的数． (2)由题意，得3x－5＋9－x＝0.解得x＝－2. 所以点M表示的数为3x－5＝－11. 9． 同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可 理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离． (1)找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7，这样的整数x 是 ⁠. －5，－4，－3，－2，－1，0，1，2　 提示：当x＞2时，|x＋5|＋|x－2|＝x＋5＋x－2＝7. 解得x＝2. 这与x＞2矛盾，故此种情况不存在． 当－5≤x≤2时，|x＋5|＋|x－2|＝x＋5＋2－x＝7. 故当－5≤x≤2时，|x＋5|＋|x－2|＝7. 所以使得|x＋5|＋|x－2|＝7的整数x是－5，－4，－3，－2，－1，0， 1，2. 当x＜－5时，|x＋5|＋|x－2|＝－x－5＋2－x＝－2x－3＝7. 解得x＝－5. 这与x＜－5矛盾，故此种情况不存在． (2)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？ 如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． |x－3|＋|x－6|有最小值，最小值是3. 当x＞6时，|x－3|＋|x－6|＝x－3＋x－6＝2x－9＞3. 当3≤x≤6时，|x－3|＋|x－6|＝x－3＋6－x＝3. 当x＜3时，|x－3|＋|x－6|＝3－x＋6－x＝9－2x＞3. 所以|x－3|＋|x－6|有最小值，最小值是3. $$培优专题4 数字、图形中的规律 1. 数字或算式的变化规律：(1)数字的变化规律，注意各个 数与序号之间的倍分关系、平方关系等，对于分数要对分子、分母分别 考虑；(2)算式的变化规律，仔细观察前后两个等式的相同点和不同点， 确定不同点与序号变化的规律． 2． 图形的变化规律：(1)图形拼接：注意图形的拼接变化特点，计算 时要减去重复的；(2)图形的增长变化，但总体形状不变，从增加数量与 序号变化的联系入手找出规律． 数式规律 1． 观察下列各项：1，2，3，4，…，则第n项是  　n＋　 . n＋　 2． 观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－ 1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为 ⁠ ⁠． (n＋1)2－1＝n(n＋ 2)　 3． 已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝－|a1 ＋1|，a3＝－|a2＋2|，a4＝(-| ) ＋3|，…，依此类推，a2 024的值为 (　B　) A． －1 011 B． －1 012 C． －1 013 D． －2 024 B 4． 代数式：x，－3x2，＋5x3，－7x4，＋9x5，…，第n项为(　A　) A． (－1)n+1(2n－1)xn B． (－1)n(2n－1)xn C． (－1)n+1(2n＋1)xn D． (－1)n+1nxn A 5． (2023·常德)观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中的 规律，分数若排在第a行b列，则a－b的值为(　C　) …… C A． 2 003 B． 2 004 C． 2 022 D． 2 023 图形规律 6． 如图是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2 个图案由8个基础图形组成，…，如果按照这样的规律继续下去，那么通 过观察，可以发现：第20个图案需要基础图形(　B　) A． 402个 B． 404个 C． 406个 D． 408个 B 7． 有足够多的每个面面积为1 cm2的小正方形按下图的方式进行组 合，则第4个图形的表面积为 cm2，…，如此下去，第n个图形的表面 积为 cm2. 28　 (6n＋4)　 8． 如图，从左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个 等边三角形组成，第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三 角形组成，第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组 成，…，按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和 为 ⁠个． (9n＋3)　 $$培优专题5 整式的化简与求值的常见类型 利用条件直接代入化简求值 1． 先化简，再求值：2(2x－3)－3(x+1)，其中x＝2. 解：原式＝4x－6－x－3 ＝3x－9. 当x＝2时，原式＝3×2－9＝－3. 2． 先化简，再求值：(6a2－7ab)－2(3a2－4ab＋3)，其中a＝－1，b ＝2. 解：原式＝6a2－7ab－6a2＋8ab－6 ＝ab－6. 当a＝－1，b＝2时， 原式＝(－1)×2－6＝－2－6＝－8. 3． 先化简，再求值：3(x2－2xy)－[3x2－2y＋2(xy＋y)]，其中x＝， y＝－3. 解：原式＝3x2－6xy－(3x2－2y＋2xy＋2y) ＝3x2－6xy－3x2＋2y－2xy－2y ＝－8xy. 当x＝，y＝－3时，原式＝－8××(－3)＝6. 利用条件间接代入化简求值 4． 已知3xa-1y2z3和－4xyb-1z3是同类项，求3a2b－[2ab2－2(a2b＋2ab2)] 的值． 解：因为3xa-1y2z3和－4xyb-1z3是同类项，所以a－1＝1，b－1＝2. 所以a＝2，b＝3.3a2b－[2ab2－2(a2b＋2ab2)] ＝3a2b－(2ab2－2a2b－4ab2)＝3a2b－2ab2＋2a2b＋4ab2 ＝5a2b＋2ab2. 当a＝2，b＝3时， 原式＝5×22×3＋2×2×32＝5×4×3＋2×2×9＝60＋36＝96. 5． 先化简，再求值：(3x2y－5xy)－[x2y－2(xy－x2y)]，其中(x＋1)2 ＋|y-|＝0. 解：原式＝3x2y－5xy－(x2y－2xy＋2x2y) ＝3x2y－5xy－x2y＋2xy－2x2y＝－3xy. 因为(x＋1)2＋|y-|＝0，且(x＋1)2≥0，|y-|≥0， 所以x＋1＝0，y－＝0. 所以x＝－1，y＝.所以原式＝－3×(－1)×＝1. 利用整体代入法化简求值 6． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简 与求值中应用极为广泛．仿照下面的解题方法，完成下面问题： 如果代数式5a＋3b的值为－4，那么代数式：2(a＋b)＋4(2a＋b)的值 是多少？ 爱动脑筋的爱国同学这样来解： 原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b，我们把5a＋3b看成一个整体，把 式子5a＋3b＝－4两边乘以2，得10a＋6b＝－8. 【简单应用】 (1)已知a2－2a＝1，则3a2－6a＋1＝ ⁠； 提示：因为a2－2a＝1，所以3a2－6a＋1＝3(a2－2a)＋1＝3×1＋1＝3 ＋1＝4. (2)已知m＋n＝2，mn＝－4，求3(2mn－2m)－2(3n－mn)的值； 3(2mn－2m)－2(3n－mn) ＝6mn－6m－6n＋2mn＝8mn－6(m＋n)． 当m＋n＝2，mn＝－4时， 原式＝8×(－4)－6×2＝－32－12＝－44. 4　 【拓展提高】 (3)当x＝1时，代数式a2x3＋bx－5的值为2，则当x＝－1时，求代数式 2a2x3＋2bx－10的值； 当x＝1时，代数式a2x3＋bx－5＝a2＋b－5＝2，则a2＋b＝7. 所以当x＝－1时，代数式2a2x3＋2bx－10＝－2a2－2b－10. 所以－2a2－2b－10＝－2(a2＋b)－10＝－2×7－10＝－24. (4)已知a2＋2ab＝－5，ab－2b2＝－3，求代数式2a2＋6ab－4b2 的值． 因为a2＋2ab＝－5，ab－2b2＝－3， 所以2a2＋6ab－4b2＝2(a2＋2ab)＋2(ab－2b2) ＝2×(－5)＋2×(－3)＝－16. 利用取值“无关”求值 对于多项式的取值与字母取值无关类，多项式合并同类项 后一定不含带有此字母的项． 7. 李老师让同学们计算“当a＝－2 024，b＝2 025时，求代数式3a2＋ (ab－a2)－2( + ab-1)的值”，小亮错把“a＝－2 024，b＝2 025”抄成 了“a＝2 024，b＝－2 025”，但他最终的计算结果并没有错误． (1)请问小亮最终的计算结果并没有错误的原因？ 解：(1)3a2＋(ab－a2)－2( + ab-1)＝3a2＋ab－a2－2a2－ab＋2＝2. 所以无论a，b为何值，原式的值都为2.因此小亮虽然抄错了a，b的 值，但计算结果仍为2，所以他最终的计算结果并没有错误． (2)李老师继续让同学们思考这样一个问题：若代数式(2x2＋ax－y＋ 6)－(2bx2－3x＋5y－1)的值与字母x的取值无关，求代数式2a－b的值．聪 明的你能做出来吗？ (2x2＋ax－y＋6)－(2bx2－3x＋5y－1) ＝2x2＋ax－y＋6－2bx2＋3x－5y＋1 ＝(2－2b)x2＋(a＋3)x－6y＋7. 因为代数式(2x2＋ax－y＋6)－(2bx2－3x＋5y－1)的值与字母x的取值 无关， 所以2－2b＝0，a＋3＝0. 所以b＝1，a＝－3. 所以2a－b＝2×(－3)－1＝－7. $$培优专题6 利用一元一次方程的 解求待定字母的值 利用一元一次方程的解的定义求待定字母的值 把已知方程的解代入方程，等式仍然成立，由此可求得方 程中待定字母的值． 1. 当k为何值时，关于x的方程＋1＝＋k的解为1? 解：把x＝1代入＋1＝＋k，得 ＋1＝＋k. 解得k＝2.5. 2． 在做解方程练习时，学习卷中有一个方程“2y－＝y＋■”中 的■没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“■是一个整数，该方程的 解与当x＝2时代数式5(x－1)－2(x－2)－4的值相同．”小聪很快补上了这 个常数．你知道这个整数是多少吗？ 解：当x＝2时，5(x－1)－2(x－2)－4＝1. 所以y＝1. 把y＝1代入方程，得2×1－＝×1＋■. 解得■＝1.所以这个整数为1. 利用两个方程的解之间的关系求待定字母的值 此类题中待定字母可看作是已知数，用含待定字母的式子 表示出方程的解，再根据两个方程的解的关系，建立关于以待定字母为 未知数的方程，求出待定字母的值． 3. 已知x＝是关于x的方程5m＋12x＝的解，求关于x的方程mx＋ 2＝m(1－2x)的解． 解：把x＝代入5m＋12x＝， 得5m＋12×＝.解得m＝－1. 把m＝－1代入mx＋2＝m(1－2x)， 得－x＋2＝－(1－2x)．解得x＝1. 4． 已知关于x的方程：－1＝＋2x与2(x－1)＋1＝x有相同的 解，求m的值． 解：解方程－1＝＋2x， 得x＝. 解方程2(x－1)＋1＝x，得x＝1. 因为两个方程有相同的解，所以＝1. 所以－7m＋3＝10.解得m＝－1. 利用方程的错解求待定字母的值 先根据题意写出写错之后的方程，再将所得的解代入写错 之后的方程，求解即可． 5. 晶晶在解关于x的方程＋6＝时，把6错写成1，解得x＝1， 并且晶晶在解题过程中没有错误，请你求出此方程正确的解． 解：由题意，得x＝1是方程＋1＝的解． 所以＋1＝.解得a＝1. 把a＝1代入方程＋6＝， 得＋6＝. 解得x＝－29. 6． 小明解方程＝－1，去分母时方程右边的－1漏乘了12， 因而求得方程的解为x＝3，试求a的值，并求出方程正确的解． 解：根据题意，方程8x－4＝3x＋3a－1的解为x＝3. 把x＝3代入，得8×3－4＝3×3＋3a－1. 解得a＝4. 所以原方程为＝－1. 去分母，得8x－4＝3x＋12－12. 移项及合并同类项，得5x＝4. 解得x＝0.8. $$培优专题7 设元法在实际问题中的应用 直接设元 当已知条件中的数量关系能用所求未知数表示时，一般求 什么，就直接设什么为未知数的方法叫作直接设元法．这也是解方程时 最常用的一种方法． 1. 一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队 先单独做20天，然后两队合作完成剩下的部分．甲、乙合作多少天才能 把该工程完成？ 解：设甲、乙合作x天才能把该工程完成． 根据题意，得(x＋20)＋x＝1.解得x＝6. 答：甲、乙合作6天才能把该工程完成． 2． 一种衣服按成本价提高50%后标价出售，后因季节、市场需求量 等原因，按标价的7折售出，每件获利5元，求这种衣服每件的成本价． 解：设这种衣服每件的成本价为x元． 依题意，得(1＋50%)x×70%－x＝5. 解得x＝100. 答：这种衣服每件的成本价为100元． 3． 某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人，现第一组在 植树中遇到困难，需第二组支援，问从第二组调多少人去第一组，才能 使第一组的人数是第二组人数的2倍？ 解：设从第二组调x人去第一组，才能使第一组的人数是第二组人数 的2倍． 由题意，得22＋x＝2(26－x)．解得x＝10. 答：从第二组调10人去第一组，才能使第一组的人数是第二组人数 的2倍． 4． 某旅游团从宾馆出发去风景点A参观游览，在A景点停留1 h后， 返回时又绕道去风景点B，在B景点停留半小时后再返回宾馆．去时的速 度为5 km/h，返回时的速度为4 km/h，往返(包括停留的时间在内)共用去 6. 5 h．如果返回时因为绕道关系路程比去时多2 km，求去时的路程． 解：设去时的路程为x km，则返回时的路程为(x＋2)km，去时路上 所需时间为 h，返回时路上所需时间为 h. 由题意，得+＋1＋＝6.5.解得x＝10. 答：去时的路程为10 km. 5． 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题，原文如下： 三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚疼减一半，六朝才得到其 关．要见次日行里数，请公仔细算相还．大意为：有一个人走了378里 路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半， 走了6天后到达目的地，请问第一天走了多少里路？ 解：设第一天走了x里路． 根据题意，得x＋x＋x＋x＋x＋x＝378. 整理，得x＝378.解得x＝192. 答：第一天走了192里路． 间接设元 当已知条件中的数量关系不能用所求未知数表示时，通过 设等量关系式中的其他未知量列方程求解，再根据方程的解与所求未知 量之间的关系求出该未知量的方法叫做间接设元法． 6. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上数 字之和是这个两位数的，求这个两位数． 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x＋1. 由题意，得x＋x＋1＝(10x＋x＋1)． 解得x＝4. 所以10×4＋4＋1＝45. 答：这个两位数是45. 7． 一架飞机在两城市之间飞行，风速为24 km/h，顺风飞行需要 h，逆风飞行需要3 h．求两城市之间的航程． 解：设无风时飞机的飞行速度为x km/h，则顺风时的飞行速度为(x＋ 24)km/h，逆风时的飞行速度为(x－24)km/h. 由题意，得(x＋24)＝3(x－24)． 解得x＝840. 所以3×(840－24)＝2 448(km)． 答：两城市之间的航程为2 448 km. 8． 甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度 是乙的2. 5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一 圈，求环形场地的周长． 解：设乙的速度为x m/min，则甲的速度为2.5x m/min． 由题意，得4×2.5x－4x＝4x＋300.解得x＝150. 所以4x＋300＝4×150＋300＝900. 答：环形场地的周长为900米． 9． 李伟从家里骑摩托车去火车站，若每小时行驶30千米，则比火车 开车时间早到15分钟；若每小时行驶18千米，则比火车开车时间晚到15 分钟．现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，则李伟此时骑摩 托车的速度应是多少？ 解：设李伟家到火车站的路程为x千米． 由题意，得+＝-.解得x＝. 李伟从家出发时离火车开车的时间为+＝1(小时)． 李伟应有的速度为÷(1-)＝27(千米/时)． 答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时． 10． 如图，宽为50 cm的大长方形图案是由10个大小、形状完全相同 的小长方形拼成的，求大长方形的面积． 解：设小长方形的宽为x cm，则小长方形的长为(50－x)cm. 由题意，得50－x＝4x.解得x＝10. 所以大长方形的面积为10×(50－10)×10＝4 000(cm2)． 答：大长方形的面积为4 000 cm2. $$培优专题8 正方体的展开图 与小正方体组合体 正方体展开图的常见类型(11种) ①“一四一”型 ②“二三一”型 ③“二二二”型 ④“三三”型 注：相间的两个小正方形(中间隔一个小正方形)是正方体的相对面， “Z”字端处的两个小正方形是相对面． 正方体的展开图 1． 下面四个选项中，是如图所示的正方体的展开图的是(　A　) A 2． 如图1所示的正方体盒子表面写有“学习方法报好”的语句，其 中“学”与“法”、“习”与“报”相对．请在图2给出的两种展开图中 分别填上其他四个字． 解：补充后的展开图如图所示． 确定小正方体的个数 3． 如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体从上面和左面看到 的图形，则小正方体的个数可能是(　B　) A． 5或6 B． 6或7 C． 5或6或7 D． 6或7或8 B 4． 一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，从前面和上面看 到的形状图如图所示，则这个几何体中小正方体的个数最多是 ⁠． 5　 由小正方体的个数确定平面图形 5． 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看 到的形状图，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，下列 能表示该几何体从左面看到的形状图的是( ) B 6． 如图是从上面看一个由小正方体搭成的几何体得到的平面图形， 小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请你在网格中画出 从前面看和从左面看到的平面图形． 解：如图所示，即为所求． $$培优专题9 与线段有关的计算 整体思想 1． 如图，点C在线段AB上，点D，E分别是线段AB，BC的中点，若 AC＝6 cm，求线段DE的长． 解：因为点D是线段AB的中点， 所以BD＝AB. 因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC. 所以DE＝BD－BE＝AB－BC＝(AB－BC)＝AC＝3(cm)． 方程思想 2． 如图，点E是线段AD的中点，已知AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，且 CE＝1，求线段AD的长． 解：设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x. 所以AD＝AB＋BC＋CD＝2x＋3x＋4x＝9x. 因为点E是线段AD的中点， 所以CE＝DE－CD＝AD－CD＝×9x－4x＝1. 解得x＝2.所以AD＝9x＝18. 分类讨论 3． 已知线段AB＝16，若直线AB上有一点C，且BC＝4，点D是线段 AC的中点，求线段BD的长． 解：分两种情况： ①如图1，当点C在线段AB上时，AC＝AB－BC＝16－4＝12. 因为点D是线段AC的中点， 所以CD＝AC＝×12＝6. 所以BD＝BC＋CD＝4＋6＝10. ②如图2，当点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝16＋4＝ 20. 因为点D是线段AC的中点， 所以CD＝AC＝×20＝10. 所以BD＝CD－BC＝10－4＝6. 综上所述，线段BD的长为10或6. 动态问题 4． 如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上点A左侧的一 点，且A，B两点间的距离为18个单位长度．动点P从点A出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 ．(用含t的 式子表示) －12　 6－4t　 (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动， 且点P，Q同时出发． ①若点Q向右运动，则当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ①由题意，得AP＝4t，BQ＝2t. 所以当点P，Q相遇时，AB＝AP＋BQ＝4t＋2t＝18. 解得t＝3.所以当点P运动3秒时，点P与点Q相遇． ②若点Q向左运动，则当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为 8个单位长度？ ②由题意，得AP＝4t，BQ＝2t，PQ＝8. 当点P在点Q右侧时，PQ＝AB＋BQ－AP＝18＋2t－4t＝8.解得t＝5. 当点P在点Q左侧时，PQ＝AP－AB－BQ＝4t－18－2t＝8.解得t＝13. 综上所述，当点P运动5秒或13秒时，点P与点Q之间的距离为8个单 位长度． 线段上的动点问题：解决这类问题的关键是动中求静，灵 活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置、终止位 置和运动方向，同时还要关注动点的运动速度，根据运动过程展开分类 讨论、画出相应图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解． $$