2.6应用一元二次方程——建立一元二次方程解决几何问题 课件 2024-2025学年北师大版（2012）数学九年级上册

应用一元二次方程 ——建立一元二次方程解决几何问题 1. 能够分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型； 2. 在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力； 3. 能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力. 学习目标 1. 我们已学过的解一元二次方程的方法有哪些？ 2. 列方程解应用题的一般步骤： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 1 复习回顾 （1）审题 (找等量关系）; （2）设未知数; （3）列方程; （4）解方程; （5）检验，作答. 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ （1）在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 2 情境引入 （1）解：如图，在Rt△ABC中，AC = 10 m，AB = 8 m ， 2 情境引入 x x B C 设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等．根据题意可得： ∴ BC 6 m . 解得：x1 = 0 (不合题意，舍去) ，x2 = 2 . 答：梯子顶端下滑 2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等． ( 8 x )2( 6 x )2 = 102 , A 8 x 6 x 6 （2）如果梯子长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 2 情境引入 2 情境引入 x x B C （2）解：如图，在Rt△ABC中，AC = 13 m，AB = 12 m ， 设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等．根据题意可得： ∴ BC 5 m . 解得：x1 = 0 (不合题意，舍去) ，x2 = 7 . 答：梯子顶端下滑 7 m时，梯子底端滑动的距离和它相等． ( 12 x )2( 5 x )2 =, A 12 x 5 x 5 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标 B ，在 B 的正东方向200 n mile处有一重要目标 C ，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点. 一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 3 探究新知 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile ） 3 探究新知 解：连接DF . ∵ AD = CD，BF = CF， ∴ DF 是 △ABC 的中位线， ∴ DF∥AB，且 DF = AB. ∵ AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile, ∴ DF⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile，那么 DE = x n mile，AB+BE = 2x n mile， EF = AB BF ( AB BE ) = ( 300 2x ) n mile. 100 x 300 - 2x 3 探究新知 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 ( 300 2x ) 2 ， 整理，得 3x2 1200x 100000 = 0 . x2= 200 (不合题意，舍去) . 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 解这个方程，得： x1= 200 ≈ 118.4 ， 100 x 300 - 2x 3 探究新知 几何图形有关的应用题 数学问题 解决问题 列方程 结合图形性质 分析理解题目 找到等量关系 检验 4 应用拓展 1. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立. 甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何.” 大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3 . 乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇. 那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 4 应用拓展 A C B 甲 甲 乙 解：如图，设经 x 秒二人在B处相遇， 这时乙共行 AB ＝ 3x 步，甲共行 AC + BC ＝ 7x 步， ∴ (7x 10)2＝102 + (3x)2， ∴ AB ＝ 3x ＝ 10.5 步， AC + BC ＝ 7x ＝ 24.5 步， 答：甲走了 24.5 步，乙走了 10.5 步． 3x 10 7x 10 又∵∠A＝90°， ∴ BC2＝AC2+AB2， ∴ x1 ＝ 0 (舍去)或 x2 ＝ 3.5， ∵ AC ＝ 10 步， ∴ BC ＝ 7x 10 步， 4 应用拓展 2. 有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 解：设赛义德得到 x 元， 则少的一笔钱为 (20 x) 元， 由题意得 x(20 x)＝96， 整理得 x2 20x+96＝0， 解得 x1＝12，x2＝8（不合题意，舍去）. 答：赛义德得到12元． 3. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC向点C匀速移动，它们的速度都是1cm/s， （1）经过几秒△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ （2）经过几秒P，Q两点之间的距离为 cm？ 4 应用拓展 4 应用拓展 (1) 解：设经过 x 秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半， 解得 x1＝12（舍去），x2＝2． 答：经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半． ． 依题意得： x x 8x 6x 3. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC向点C匀速移动，它们的速度都是1cm/s， （1）经过几秒△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 4 应用拓展 (2) 解：设经过 x 秒P，Q两点之间的距离为 cm， 解得 x1＝10（舍去），x2＝4． 答：经过4秒P，Q两点之间的距离为 cm. 依题意得：( 6 x )2( 8 x )2 =( )2． x x 8x 6x 3. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC向点C匀速移动，它们的速度都是1cm/s， （2）经过几秒P，Q两点之间的距离为 cm？ 实际问题 数学问题 设未知数、找等量关系、列方程 数学问题的解 解方程 双检验 实际问题的答案 5 反思评价 基础性作业课后习题1~6题；（必做题） 拓展性作业课后习题7~8题. （选做题） 6 课后作业 $$