专题06 等腰三角形的性质与判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题06 等腰三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 1 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 3 【考点三 根据等腰三角形三线合一进行求解】 4 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行证明】 7 【考点五 等腰三角形的判定】 11 【考点六 等腰三角形的性质和判定综合问题】 13 【过关检测】 17 【典型例题】 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 例题：一个等腰三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为 ． 【变式训练】 1．一个等腰三角形有两边分别为和，则周长是 ． 2．若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长． 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例题：等腰三角形的底角等于，则它的顶角是 ． 【变式训练】 1．等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ）． A． B． C． D．或 2．已知等腰三角形一个内角的度数为．则这个等腰三角形底角的度数为 ． 3．“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成．两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、在槽中滑动，若，则 ． 【考点三 根据等腰三角形三线合一进行求解】 例题：如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．    【变式训练】 1．如图，在中，，平分并交于点，则 ．    2．两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知． (1)求的长． (2)求的长． 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行证明】 例题：如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【变式训练】 1．如图，已知，点F是的中点，连接，请判断与的位置关系． 2．如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 3．如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【考点五 等腰三角形的判定】 例题：如图，点在的延长线上，已知平分，．求证：是等腰三角形． 【变式训练】 1．如图，平分，，且，请确定的形状并说明理由． 2．如图，在四边形中，是的平分线，，且． 求证：是等腰三角形．    【考点六 等腰三角形的性质和判定综合问题】 例题：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【变式训练】 1．如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求线段的长． 2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 3．如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在是边的中线，点分别在边和上，于点F，则以下结论；其中正确的结论是（   ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③ 二、填空题 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形中，，，则 度．    7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交于点D，，则 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数． 12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．    13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，， (1)若点D为边上的一个点，且，则__________； (2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________． 14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，求证：； 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等腰三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 1 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 3 【考点三 根据等腰三角形三线合一进行求解】 4 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行证明】 7 【考点五 等腰三角形的判定】 11 【考点六 等腰三角形的性质和判定综合问题】 13 【过关检测】 17 【典型例题】 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 例题：一个等腰三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键． 【详解】解：①若一腰长为，则底边为，则第三边的长为， ，故能组成三角形； ②若一腰长为，则底边为，则第三边的长为， ，故不能组成三角形． 故答案为：8． 【变式训练】 1．一个等腰三角形有两边分别为和，则周长是 ． 【答案】19 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：①当腰是，底边是时：，不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是，腰长是时，，能构成三角形， 则其周长． 故答案为：19． 2．若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题． 根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， 当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为， 当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为， 故答案为：或． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长． 【答案】(1)三角形的三边分别为 (2)能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断． （1）设底边长为，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可； （2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解． 【详解】（1）设底边长为，则腰长为， 根据题意得，， 解得； 则 三角形的三边分别为． （2）①若为底时，腰长， 三角形的三边分别为，能围成三角形 ②若为腰时，底边， 三角形的三边分别为， ， 不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形． 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例题：等腰三角形的底角等于，则它的顶角是 ． 【答案】100 【详解】解：等腰三角形的底角等于， 又等腰三角形的底角相等， 顶角等于． 故答案为：100． 【变式训练】 1．等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴等腰三角形的顶角为． 故选：A 2．已知等腰三角形一个内角的度数为．则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 3．“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成．两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、在槽中滑动，若，则 ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，然后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点三 根据等腰三角形三线合一进行求解】 例题：如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．如图，在中，，平分并交于点，则 ．    【答案】10 【详解】解：，平分， ， ， 故答案为：10． 2．两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知． (1)求的长． (2)求的长． 【详解】（1）解：连接，如下图， 根据题意，，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意，， 又∵，， ∴在中，， ∴． 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行证明】 例题：如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ， ∴， （2）过点作于.    ∵， ∴， ∴. 【变式训练】 1．如图，已知，点F是的中点，连接，请判断与的位置关系． 【答案】垂直 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接，证明，得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】答： 连接 ∵ ∴ ∴ 又∵点F是的中点 ∴． 2．如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【详解】（1）解：线段与的长相等，理由如下： 连接，如图所示：      ∵，是边上的高， ∴， ∴为的垂直平分线， ∵点在上， ∴， 又∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 3．如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到,相减后即可得到正确的结论. （2）由等腰三角形三线合一的性质得到，，即可得到，设，根据三角形的内角和定理可得，解题即可． 【详解】（1）过点作于.    ∵. ∴, ∴. （2）∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 根据三角形的内角和可得， 解得：， ∴， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 【考点五 等腰三角形的判定】 例题：如图，点在的延长线上，已知平分，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义和等量代换得到，即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式训练】 1．如图，平分，，且，请确定的形状并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设，则，，由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，根据得到，则可求出，由此可得结论． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： 设， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 2．如图，在四边形中，是的平分线，，且． 求证：是等腰三角形．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明是解题的关键； 根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明，再根据等角对等边可得证得； 【详解】证明：∵， ， ， ∴， 又∵是的平分线， ， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【考点六 等腰三角形的性质和判定综合问题】 例题：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； （3）解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 【变式训练】 1．如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由图形折叠的性质可知：， ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中， ， 解得：， ∴， ∴． 故重叠部分的面积为10． 3．如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，然后推出，，结合已知条件，得到结论． （2）根据等腰三角形的三线合一，得到，根据的周长，利用已知条件，求出答案． 【详解】（1）证明：根据题意得： 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接， 当时， ， ， 的周长，，， 的周长的周长． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为； ②当为底角时，顶角：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出，进而求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故选A． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确地做出辅助线是解题的关键．过作于，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B 5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在是边的中线，点分别在边和上，于点F，则以下结论；其中正确的结论是（   ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是全等三角形、等腰直角三角形的性质，利用面积法证明是解答本题的关键．①设，则，从而可得到，，从而可得到；②运用反证法可判断②；③由，可知，由直角三角形斜边上的中线的性质可知，从而可判断③．④证明：的面积=四边形的面积，所以的面积+的面积=四边形的面积+的面积． 【详解】解：∵，，是边的中线， ∴，，， ①设，则， ∵， ∴， ∴． ∴，故①正确；    ②由①得，如果，则， ∴， ∴为的平分线， ∴， ∴，与已知条件矛盾， ∴②错误的； ③在和中， ， ∴， ∴， ∵，M是的中点， ∴， ∴， 即；故③正确． ④由③知 ∴， ∴，即． ∴， ∴，故④错误； 故选D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形中，，，则 度．    【答案】70 【分析】本题主要考查了等边对等角的性质，三角形内角和问题，根据等腰三角形等边对等角可得出，再根据三角形三角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：70． 7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交于点D，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是等腰三角形的三线合一，根据等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是边上的中线， ∴． 故答案为：4． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键； 根据题意分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴①当时， 则有； ②当时， 则有； ③当时， 则有， ． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质等知识，先由直角三角形的两个锐角互余得到，再由等腰三角形等边对等角及平行线性质得到答案，熟练掌握三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 【详解】解：在中，过点作于点，， ， ， ， ， ． 12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，连接，由等腰三角形的三线合一性质得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：连接，如图所示： ，为的中点， ， 在和中， ， ， ．    13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，， (1)若点D为边上的一个点，且，则__________； (2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________． 【答案】(1)40； (2)或或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．三角形内角和定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． （1）由，根据等边对等角的性质，即可求得的度数； （2）分别从①，②，，③，去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵中，，点D为边上的一个点，且， ∴； 故答案为：40 （2）有三种情况：①， ∵， ∴， ∵， ∴， ②，， ∴， ∵， ∴， ∴， ③， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或或． 14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由内角和定理，得，于是，得，所以； （2）过点E作，交于点F，可证，求证，所以，可证，线段等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形．    （2）证明：过点E作，交于点F， 则． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行的性质，等角对等边，三角形内角和定理；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用截长补短法构造全等三角形，是解题的关键： （1）证明，得到，利用角的和差关系，进行求解即可； （2）延长至点，使，先证明，再证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点，使， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】（1）5；；20；（2）2；，周长为18；（3） 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【详解】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ∵， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$