专题04 线段的垂直平分线与角平分线（7考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题04 线段的垂直平分线与角平分线 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用线段垂直平分线的性质求解】 1 【考点二 线段垂直平分线的判定定理】 3 【考点三 作垂线（尺规作图）】 8 【考点四 利用角平分线的性质求解】 11 【考点五 角平分线的判定定理】 14 【考点六 角平分线性质的实际应用】 18 【考点七 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 20 【过关检测】 28 【典型例题】 【考点一 利用线段垂直平分线的性质求解】 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 【变式训练】 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：13． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， 即， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． ∴， ∵的周长为， ， ， ， ∴的长为； 故选：． 【考点二 线段垂直平分线的判定定理】 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）根据直接证明； （2）根据，，即可得证垂直平分． 【详解】（1）证明：在与中， ∴； （2）∵，， ∴点、点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接， ，由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【考点三 作垂线（尺规作图）】 例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到两条道路的距离相等，所以点P应在的平分线上；而且要使，所以点P还应在的中垂线上，即的平分线和的中垂线的交点，即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法作的平分线即可； （2）作的垂直平分线交于点，即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． ． 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质． （1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出； （2）根据垂直平分线的性质得出，则的周长． 【详解】（1）解：如图为所求； （2）解：连接． 点D在的垂直平分线上， ，， 周长= ． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图，连接，与交于点O， ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 【考点四 利用角平分线的性质求解】 例题：（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，平分，于点D．若，则点P到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 如图，作于，则点P到的距离即为，然后利用角平分线的性质定理求解作答即可． 【详解】解：如图，作于，则点P到的距离即为， ∵平分，，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质．解题的关键在于熟练掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 由平分，，，，可得，根据，计算求解即可． 【详解】∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，射线是的角平分线， 点为射线上一点，于点， 若点是射线上一点，， 则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 过点D作于E，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵射线是的角平分线，， ， ， 故答案为：15． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知平分，于点E，于点F，，，那么的长度为 ． 【答案】3 【详解】本题考查直角三角形全等的判定定理、角平分线的性质的应用，理解题意，搞清楚数量关系是关键． 根据平分，，得出，根据直角三角形全等的判定得出，，再结合其性质求解即可． 【解答】解：∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 即， 解得：， 故答案为：3． 【考点五 角平分线的判定定理】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上． 【答案】见解析 【分析】证明得到，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质． 【详解】解：点是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 而，， 在的角平分线上． 【变式训练】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答即可． 【详解】证明：作于，于，于， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ，， ，又，， 点在的角平分线上． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握角平分线上的点到这个角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． （）作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可； （）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出，，再利用三角形内角和定理便可求出的度数； 【详解】（1）证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：∵为两外角的平分线，， ∴，， 由三角形内角和定理得： ． 3．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【考点六 角平分线性质的实际应用】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪（），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三角形三条边上的高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质的应用，由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点． 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件，过点作，，然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有个，可得可供选择的地址有个，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴内角平分线的交点满足条件； 如图：点是两条外角平分线的交点，过点作，，， ∴，， ∴， ∴点到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有个； 综上，到三条公路的距离相等的点有个， ∴可供选择的地址有个， 故选：． 【考点七 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由题意可得，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是垂直平分线上的点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中 ∴ ∴； （2）在和中 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）证明得到，进而由即可求证； （）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵ 是边上的高， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，和的角平分线相交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，H是边上一点，连接恰好是的垂直平分线，延长至点N，过点N作的平行线交于于点M，且，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义： （1）先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义可得，则； （2）连接，证明，得到，则，再证明，得到．可得．由，的． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，垂线段最短是解题的关键． 如图，作于B，则，由逐一判断，即可． 【解答】解：如图，作于B，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴线段的长不可能是2， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，是的垂直平分线，交于D点，交于E点，的周长为，，则周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由是的垂直平分线，得到，，进而得到，从而推出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 周长为． 故选：B． 3．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要将凳子放在三边中垂线的交点， 故选：D． 4．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．19 B．23 C．28 D．35 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，尺规作垂线，根据作图得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，根据的周长，求出结果即可． 【详解】解：由题意可得，垂直平分， ， 的周长， ， ，， ， 的周长是28， 故选：C． 5．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为的外角平分线上一点并且满足，．过作于，交的延长线于，则下列结论：；②；；．其中正确的结论有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 根据角平分线的性质和定理判断全等即可； 【详解】解：∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，    又∵， ∴，故③正确； ∵平分， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故选D． 二、填空题 6．（2024·北京西城·二模）如图，是的角平分线，于点．若，的面积为，则点到边的距离为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等成为解题的关键． 过D作交延长线于F，根据角平分线的性质定理可得，再根据已知条件可得，进而完成解得． 【详解】解：过D作交延长线于F， ∵是的角平分线，于点． ∴， ∵，的面积为， ∴，即，解得：， ∴，即点到边的距离为1． 故答案为1． 7．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出的周长，据此可得答案． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为34， 故答案为：34． 8．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，四边形中，平分，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出是解题的关键．过点作的延长线于点，利用角平分线的性质可得出，再利用三角形的面积公式结合可求出四边形的面积． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示． 平分， ， ， ， ， ． 故答案为：36 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别平分和，于点，，若的面积为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，根据角平分线的性质得，然后根据三角形的面积公式列式即可，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，中，D是的中点，交于，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，过作于， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ， 解得， ， 故答案为：10． 三、解答题 11．（23-24八年级上·河南周口·期中）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线，角平分线的知识，解题的关键是根据题意，仓库到大学和大学的距离相等，应在线段的垂直平分线上，点到公路，的距离的相等，应该在公路，的角平分线上，仓库点即为两条线段的交点，即可． 【详解】如图所示：点即为所求 ∵仓库到大学和大学的距离相等， ∴仓库应在线段的垂直平分线上， ∵到公路，的距离的相等， ∴应该在公路，的角平分线上， ∴连接，分别以点，为圆心，大于为半径画圆弧，两圆弧相交于，连接，为线段的垂直平分线；以点为圆心，任意长为半径画圆，分别交，于，，再分别以，为圆心，大于为半径画圆，两圆相交于点，连接，则即为的角平分线；与交于点，点即为所求． 12．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，．使用尺规进如下作图：在和上分别截取，使，分别以M、N为圆心，以大于的长半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边交于点D． (1)根据作图可知是的一条______线； (2)过点D作于点E．若，，求的长． 【答案】(1)角平分 (2)3 【分析】本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理； （1）根据尺规作图可知题中为尺规作角平分线即可求解； （2）根据角平分线性质定理可得，证明 ，得出，结合，即可得出，即可求解； 【详解】（1）解：根据作图可得是的角平分线，即为的一条角平分线． （2）解：∵平分，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 【答案】(1)见详见 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线段性质得到，，进而得到，，根据，得到，即可得到，再根据三角形外角的性质进一步得出，即可证明； （2）先证明，过点作，垂足为，根据的面积为求出，根据（1）可知平分，，，根据角平分线的性质即可求出． 【详解】（1）解：∵所在的直线垂直平分线段， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知， ∴平分， 又∵，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键． 14．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，平分，交的延长线于点，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识， （1）过点作于点，则，证明，得，即可得证； （2）证明，得，则，进一步得到，得到，可得答案； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴线段的长度为． 15．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接． (1)若，则________； (2)若，的周长为12，求的周长． 【答案】(1)5 (2)21 【分析】本题主要考查了垂直平分线的基本作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的基本作图方法，得出垂直平分． （1）根据垂直平分线的性质进行解答即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为12，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据作图可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据解析（1） 可知：， ∵的周长为12， ∴， 即． ∵， ∴的周长． 16．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 17．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）如图，，，，、交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由条件根据可证明，则结论得证； （2）过点作于，于，可证明，可证得，利用角平分线的判定可证明结论； （3）由（1）可得，再利用三角形内角及外角的性质可求得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作于，于， ， ， 在和中， ， ， ， 于，于， 平分； （3）解：， ， ， ， ， 由（2）得平分， ， 即． 18．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． （1）如图，在中，，是的角平分线，求证：是“奇妙互余三角形”． （2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论： ①在中，若，，，则是“奇妙互余三角形”； ②若是“奇妙互余三角形”，，，则； ③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形． 其中，结论正确的有______．（填写序号） （3）在中，，，点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①③；（3）的度数为或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线性质，“奇妙互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据直角三角形两锐角互余得到，利用角平分线性质得到，最后进行等量代换，即可得到是“奇妙互余三角形”； （2）根据“奇妙互余三角形”的概念，对结论①②③进行辨析，即可解题； （3）根据点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，分以下两种情况讨论：①当点在线段上，且是“奇妙互余三角形”时，②当点在延长线上，且是“奇妙互余三角形”时，对上述两种情况根据 “奇妙互余三角形”概念建立与相关的等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， 是“奇妙互余三角形”． （2）解：①，， ， 是“奇妙互余三角形”， 故①正确； ②是“奇妙互余三角形”，，， ， 即， 解得； 故②错误； ③三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． ， 三角形中剩下的内角大于， “奇妙互余三角形”一定是钝角三角形． 故③正确； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． （3）解：点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”， 分以下两种情况讨论： ①当点在线段上，且是“奇妙互余三角形”时， ，， 有，即，解得， ； 有，即，解得， ； ②当点在延长线上，且是“奇妙互余三角形”时， ， ， 有， 则，解得（不合题意舍去）； 有， 则，解得（不合题意舍去）； 综上所述，的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 线段的垂直平分线与角平分线 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用线段垂直平分线的性质求解】 1 【考点二 线段垂直平分线的判定定理】 3 【考点三 作垂线（尺规作图）】 8 【考点四 利用角平分线的性质求解】 11 【考点五 角平分线的判定定理】 14 【考点六 角平分线性质的实际应用】 18 【考点七 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 20 【过关检测】 28 【典型例题】 【考点一 利用线段垂直平分线的性质求解】 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【考点二 线段垂直平分线的判定定理】 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【考点三 作垂线（尺规作图）】 例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【考点四 利用角平分线的性质求解】 例题：（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，平分，于点D．若，则点P到的距离为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为点E，若，，则的长为 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，射线是的角平分线， 点为射线上一点，于点， 若点是射线上一点，， 则的面积为 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知平分，于点E，于点F，，，那么的长度为 ． 【考点五 角平分线的判定定理】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上． 【变式训练】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 3．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【考点六 角平分线性质的实际应用】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪（），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三角形三条边上的高的交点 D．三角形三条中线的交点 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【考点七 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，和的角平分线相交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，H是边上一点，连接恰好是的垂直平分线，延长至点N，过点N作的平行线交于于点M，且，若，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，是的垂直平分线，交于D点，交于E点，的周长为，，则周长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 4．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．19 B．23 C．28 D．35 5．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为的外角平分线上一点并且满足，．过作于，交的延长线于，则下列结论：；②；；．其中正确的结论有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．（2024·北京西城·二模）如图，是的角平分线，于点．若，的面积为，则点到边的距离为 ． 7．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ． 8．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，四边形中，平分，，，，，则四边形的面积为 ． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别平分和，于点，，若的面积为，则的周长为 ． 10．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，中，D是的中点，交于，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·河南周口·期中）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 12．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，．使用尺规进如下作图：在和上分别截取，使，分别以M、N为圆心，以大于的长半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交边交于点D． (1)根据作图可知是的一条______线； (2)过点D作于点E．若，，求的长． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，延长，交于点，所在的直线垂直平分线段，过点作交于点． (1)试说明：； (2)若，的面积为，求的长． 14．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，平分，交的延长线于点，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 15．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接． (1)若，则________； (2)若，的周长为12，求的周长． 16．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 17．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）如图，，，，、交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求的度数．（用含α的式子表示） 18．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． （1）如图，在中，，是的角平分线，求证：是“奇妙互余三角形”． （2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论： ①在中，若，，，则是“奇妙互余三角形”； ②若是“奇妙互余三角形”，，，则； ③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形． 其中，结论正确的有______．（填写序号） （3）在中，，，点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$