期末复习专题突破课件 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题二 一元一次方程及其应用 一、一元一次方程的解法 1． 解方程5x－3＝2x＋6时，移项正确的是(　D　) A． 5x＋2x＝6＋3 B． 5x＋2x＝6－3 C． 5x－2x＝3－6 D． 5x－2x＝6＋3 D 2． 在解方程3(x＋4)＝5－2(x－1)时，下列去括号正确的是(　D　) A． 3x＋4＝5－2x＋1 B． 3x＋4＝5－2x－2 C． 3x＋12＝5－2x＋1 D． 3x＋12＝5－2x＋2 D 3． 把方程 ＝1－ 去分母后，正确的结果是(　D　) A． 2x－1＝1－(3－x) B． 2(2x－1)＝1－(3－x) C． 2(2x－1)＝8－3－x D． 2(2x－1)＝8－3＋x D 4． 方程3x＋2x＝12－2的解是(　B　) A． x＝－2 B． x＝2 C． x＝4 D． x＝－ B 5． 若方程2(2x＋1)＝3＋3x的解与关于x的方程2k＋6＝2(x＋3)的 解相同，则k的值为(　A　) A． 1 B． －1 C． 7 D． －7 A 6． 解方程： ＝7－2.4. 解：合并同类项，得2x＝4.6. 系数化为1，得x＝2.3. 7． 解方程：(1)7＋2x＝12－2x； (1)解：移项，得2x＋2x＝12－7. 合并同类项，得4x＝5. 系数化为1，得x＝ . (2)－ x－4＝ x＋2. (2)解：移项，得－ x－ x＝2＋4. 合并同类项，得－2x＝6. 系数化为1，得x＝－3. 8． 解方程：(1)5(x－3)－2(3－x)＝－20； (1)解：去括号，得5x－15－6＋2x＝－20. 移项，得5x＋2x＝－20＋6＋15. 合并同类项，得7x＝1. 系数化为1，得x＝ . (2)10－4(x＋3)＝2(x－1)． (2)解：去括号，得10－4x－12＝2x－2. 移项、合并同类项，得－6x＝0. 系数化为1，得x＝0. 9． 解方程：(1) ＝1； (1)解：去分母，得2(x＋1)－(x－1)＝6. 去括号，得2x＋2－x＋1＝6. 移项，得2x－x＝6－2－1. 合并同类项，得x＝3. (2) －1＝ . (2)解：去分母，得3(3x－1)－12＝10x. 去括号，得9x－3－12＝10x. 移项，得9x－10x＝3＋12. 合并同类项，得－x＝15. 系数化为1，得x＝－15. 10． 解方程：(1) (2x－5)＝ (x－3)－ ； (1)解：去分母，得4(2x－5)＝3(x－3)－1. 去括号，得8x－20＝3x－9－1. 移项，得8x－3x＝－9－1＋20. 合并同类项，得5x＝10. 系数化为1，得x＝2. (2)1－ ＝x－ ； (2)解：去分母，得6－(x＋2)＝6x－3(3－2x)． 去括号，得6－x－2＝6x－9＋6x. 移项、合并同类项，得－13x＝－13. 系数化为1，得x＝1. (3) －1＝ . (3)解：去分母，得10(3x＋2)－20＝5(2x－1)－ 4(2x＋1)． 去括号，得30x＋20－20＝10x－5－8x－4. 移项、合并同类项，得28x＝－9. 系数化为1，得x＝－ . 11． 规定一种新运算：a△b＝a2＋2ab.例如3△(－2)＝32＋ 2×3×(－2)＝－3. (1)试求(－2)△3的值； 解：(1)由题意，得(－2)△3＝(－2)2＋2×(－2)×3＝4－12＝－8. (2)若(－2)△x＝－6＋x，求x的值． (2)因为(－2)△x＝－6＋x， 所以(－2)2＋2×(－2)x＝－6＋x. 解得x＝2. 12． 若k为整数，关于x的方程9x－2＝kx＋7的解是自然数，求k 的值及方程的解． 解：移项，得(9－k)x＝7＋2. 系数化为1，得x＝ . 因为x是自然数，k是整数，所以x可以为1，3，9. 当x＝1时，k＝0；当x＝3时，k＝6；当x＝9时，k＝8. 二、一元一次方程的应用 13． 如图，某同学将一个正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长条后， 再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6 cm的长条．若两次剪下的长条 面积正好相等，则每一个长条的面积为(　D　) A． 30 cm2 B． 900 cm2 C． 160 cm2 D． 150 cm2 D 14． 已知某商店有两件进价不同的衣服都卖了210元，其中一件盈利 40%，一件亏损25%，在这次买卖中，这家商店(　C　) A． 不盈不亏 B． 盈利15元 C． 亏损10元 D． 盈利31.5元 C 15． 甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行，2 h后 相遇．若乙每小时比甲少骑2.5 km，则乙每小时骑行多少千米？ 解：设乙每小时骑行x km，则甲每小时骑行(x＋2.5)km. 依题意，得2(x＋x＋2.5)＝65. 解得x＝15. 答：乙每小时骑行15 km. 16． 某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1 000只，这两种节 能灯的进价、售价如下表： 进价/(元/只) 售价/(元/只) 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为37 000元，那么可以购进甲型节能灯 ⁠ 只； 400　 (2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销 售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需 打几折？ (2)设乙型节能灯需打a折． 由题意，得0.1×60a－45＝45×20%.解得a＝9. 答：乙型节能灯需打九折． 17． 有一些相同的房间需要粉刷，一天时间，3名师傅可以粉刷8个 房间，结果其中有40 m2的墙面未来得及刷；同样的时间内，5名徒弟恰好 粉刷了9个房间．已知每名师傅比徒弟一天多刷30 m2的墙面． (1)每个房间需要粉刷的墙面面积是多少？ 解：(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积是x m2. 由题意，得 －30＝ .解得x＝50. 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是50 m2. (2)张老板现有36间这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟 去，则需要几天完成？ (2)由(1)可知，1名师傅每天粉刷墙面的面积是(8×50－40)÷3＝120(m2)， 1名徒弟每天粉刷墙面的面积是120－30＝90(m2)． 设1名师傅带2名徒弟需要m天完成． 由题意，得(120＋90×2)m＝36×50. 解得m＝6. 答：若请1名师傅带2名徒弟去，则需要6天完成． 18． 某校计划购买20张书柜和一批书架(书架不少于20只)，现从 A，B两家超市了解到，同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架 每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优 惠政策为所有商品八折．设购买书架a只． (1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备 ⁠ 元货款，到B超市要准备 元货款；(用含a的式子 表示) (70a＋2 800)　 (56a＋3 360)　 (2)在(1)的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货 款都一样？ (2)由题意，得70a＋2 800＝56a＋3 360. 解得a＝40. 答：当购买40只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样． (3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架， 且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最 少付款额是多少？ (3)学校购买20张书柜和100只书架，即a＝100时， 第一种方案：到A超市购买，付款额为70×100＋2 800＝9 800(元)． 第二种方案：到B超市购买，付款额为56×100＋3 360＝8 960(元)． 第三种方案：到A超市购买20张书柜和20只书架，到B超市购买80只书 架，付款额为20×210＋70×80×0.8＝8 680(元)． 因为8 680＜8 960＜9 800， 所以第三种方案(到A超市购买20张书柜和20只书架，到B超市购买80只 书架)所付款额最少，最少付款额是8 680元． $$专题三 几何计算 一、长度计算 1． 如图，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是(　A　) A． AC＝BD B． AC＜BD C． AC＞BD D． 不能确定 A 2． 如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，若AB ＝8 cm，BC＝2 cm，则MC的长是(　B　) A． 2 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 6 cm B 3． 如图，C，D，E是线段AB上的三个点，下列关于线段CE的表 示：①CE＝CD＋DE；②CE＝CB－EB；③CE＝CD＋DB－AC； ④CE＝AE＋CB－AB． 其中正确的是(　C　) A． ①② B． ①②③ C． ①②④ D． ①②③④ C 4． 如果A，B，C三点共线，线段AB＝6 cm，BC＝5 cm，那么 A，C两点之间的距离是(　D　) A． 1 cm B． 11 cm C． 5.5 cm D． 11 cm或1 cm D 5． 如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8 cm，BC ＝12 cm，CD＝6 cm. (1)求BM的长； 解：(1)因为AB＝8 cm，点M是AB的中点， 所以BM＝ AB＝4(cm)． (2)求AN的长． (2)因为BC＝12 cm，CD＝6 cm， 所以BD＝BC＋CD＝12＋6＝18(cm)． 因为点N是BD的中点， 所以BN＝DN＝ BD＝9(cm)． 又AB＝8 cm，所以AN＝AB＋BN＝8＋9＝17(cm)． 6． 如图，点C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是 BD的中点，若EF＝m，CD＝n，则线段AB的长为(　C　) A． m－n B． m＋n C． 2m－n D． 2m＋n C 7． 如图，邮递员骑车从邮局B出发，先向西骑行到达M村，继续向 西骑行8 km到达A村，然后向东骑行到达C村，最后经过N村回到邮局 B，点M，N分别为AC，BC的中点，且C村与邮局B相距6 km. (1)求N村与M村相距多少千米？请计算说明； 解：(1)因为点M，N分别为AC，BC的中点， 所以MA＝MC＝ AC＝8，NB＝NC＝ BC＝3. 所以MN＝MC－NC＝8－3＝5(km)，即N村与M村相距5 km. (2)请你求出邮递员一共骑行了多少千米？ (2)由题意，可知邮递员骑行的总路程是BM＋MA＋AC＋CB＝2AC. 由(1)，知AC＝2MA＝16.所以2AC＝32. 所以邮递员骑行的总路程为32 km. 8． 如图，已知点M是线段AB的中点，点E为AB上一点，且 AE∶EB＝3∶4.若EM＝2 cm，求线段AB的长度． 解：设AE＝3x，则EB＝4x，AB＝7x. 所以AM＝AE＋EM＝3x＋2，BM＝EB－EM＝4x－2. 因为点M是线段AB的中点， 所以AM＝BM，即3x＋2＝4x－2. 解得x＝4.所以AB＝7x＝28. 所以线段AB的长度为28 cm. 二、角度计算 9． 如图，点O在直线AB上，若∠1＝45°，则∠2的度数 为 ⁠． 135°　 10． 若∠A＝32°12′，∠B＝32.12°，∠C＝32.2°，则下列结论 正确的是(　A　) A． ∠A＝∠C B． ∠B＝∠C C． ∠A＝∠B D． ∠A＜∠B A 11． 如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°， 则∠AOB的度数为(　A　) A． 100° B． 120° C． 135° D． 150° A 12． 如图，点O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC， 则∠2的度数为 ⁠． 70°　 13． 如图，∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OE平分∠AOC，求 ∠BOE的度数． 解：因为∠AOB＝30°，∠BOC＝70°， 所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝100°. 又OE平分∠AOC， 所以∠AOE ＝∠COE＝ ∠AOC＝ ×100°＝50°. 所以∠BOE ＝∠AOE－∠AOB＝50°－30°＝20°. 14． 如图，已知∠AOC∶∠BOC＝1∶4，OD平分∠AOB，且 ∠COD＝40.5°，求∠AOB的度数． 解：因为∠AOC∶∠BOC＝1∶4， 所以设∠AOC＝α，则∠BOC＝4α，∠AOB＝5α. 因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠BOD＝2.5α. 因为∠COD＝40.5°， 所以∠AOD－∠AOC＝40.5°，即2.5α－α＝40.5°. 解得α＝27°. 所以∠AOB＝5α＝135°. 15． 如图，直线AB和CD都经过点O，且∠1＋∠2＝110°，∠3＝ 140°. (1)求∠2的度数； 解：(1)因为点O在直线CD上， 所以∠1＋∠3＝180°. 因为∠3＝140°，所以∠1＝40°. 因为∠1＋∠2＝110°，所以∠2＝70°. (2)小颖认为，在这个图形中OM平分∠AOD，小颖的看法正确吗？ 为什么？ (2)小颖的看法正确．理由如下： 因为∠MOD＝180°－40°－70°＝70°， 所以∠MOD＝∠2.所以OM平分∠AOD. 16． 下面是马小虎解的一道题： 在同一平面上，若∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，OE是∠AOC的 平分线，求∠AOE的度数． 解：根据题意，可画出如图所示的图形． 因为∠AOC＝∠AOB－∠BOC， 所以∠AOC＝70°－15°＝55°. 因为OE是∠AOC的平分线， 所以∠AOE＝ ∠AOC＝27.5°. 你若是老师，会给马小虎满分吗？若会，说明理由；若不会，请给 出正确的解法． 解：不会．正确的解法如下： 分两种情况：①当OC在∠AOB内部时，同题中马小虎的解法． ②当OC在∠AOB外部时，如图所示． 因为∠AOC＝∠AOB＋∠BOC， 所以∠AOC＝70°＋15°＝85°. 因为OE是∠AOC的平分线， 所以∠AOE＝ ∠AOC＝42.5°. 综上所述，∠AOE的度数为27.5°或42.5°. 17． 将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上． (1)若按照图1的方式摆放，且∠AOC＝52°，射线OE平分 ∠BOC，则∠DOE的度数为 ⁠； 26°　 (2)若按照图2的方式摆放，射线OE平分∠BOC，请写出∠AOC与 ∠DOE的数量关系，并说明理由． (2)∠AOC＝2∠DOE. 理由如下： 因为点O是直线AB上一点， 所以∠AOC＋∠BOC＝180°. 所以∠BOC＝180°－∠AOC. 因为OE平分∠BOC， 所以∠COE＝ ∠BOC＝ (180°－∠AOC)＝90°－ ∠AOC. 因为∠COD＝90°， 所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－(90°- ∠AOC)＝ ∠AOC， 即∠AOC＝2∠DOE. 18． 如图，点O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平 分∠BOC，OE平分∠AOC． (1)图中∠AOD的补角是 ，∠BOE的补角 是 ⁠； ∠BOD和∠COD　 ∠AOE和∠COE　 (2)若∠BOC＝68°，则∠COD＝ °，∠EOC＝ °； 提示：因为∠BOC＝68°，所以∠AOC＝180°－68°＝112°.因为OD 平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠COD＝ ∠BOC＝34°， ∠EOC＝ ∠AOC＝56°. 34　 56　 (3)写出∠BOD与∠AOE的数量关系，并说明理由． (3)∠BOD与∠AOE互余．理由如下： 因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， 所以∠BOD＝ ∠BOC，∠AOE＝ ∠AOC. 所以∠BOD＋∠AOE＝ (∠BOC＋∠AOC)＝ ×180°＝90°. 所以∠BOD与∠AOE互余． 三、与立体图形、展开图有关的计算 19． 如图是从前面和上面看一个组合几何体得到的平面图形． (1)这个组合几何体是由哪两种几何体组成的？ 解：(1)这个组合几何体是由圆柱和长方体组成的． (2)根据图中给出的数据(单位：cm)，计算这个组合几何体的体 积．(结果保留π) (2)这个组合几何体的体积为10×6×2＋π×(4÷2)2×6＝(120＋24π)cm3. 20． 小明用若干正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼 完后(如图)，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多 余部分涂黑，若图形不全，则直接在原图中补全； 解：(1)如图所示． (2)若图中的正方形边长为5 cm，每个小长方形的长为8 cm，请计算 修正拼图后折成的长方体的表面积． (2)因为S底＝2×5×5＝50(cm2)，高h＝8 cm， 所以S侧＝5×8×4＝160(cm2)． 所以S表＝160＋50＝210(cm2)． $$专题六 动点问题 一、线段及数轴上的动点问题 1． 如图，已知线段AB＝12 cm，点C为线段AB上一个动点，点 D，E分别是AC，BC的中点． (1)若点C恰好是AB的中点，则DE＝ cm； (2)若AC＝4 cm，则DE＝ cm； 6　 6　 (3)试说明不论点C在线段AB上的任何位置，DE的长度均不变． (3)因为点D，E分别是AC和BC的中点， 所以DC＝ AC，CE＝ BC. 所以DE＝DC＋CE＝ AC＋ BC＝ AB＝6(cm). 所以不论点C在线段AB上的任何位置，DE的长度均不变． 2． 已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在原点左侧的一 点，且A，B两点间的距离为10.动点P从点A出发，以每秒6个单位长度 的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒． (1)数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到AB的中点时，它所 表示的数是 ⁠. －4　 1　 (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运 动，若点P，Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q? (2)①根据题意，得6t－2t＝10.解得t＝2.5. 答：当点P运动2.5秒时，点P追上点Q. ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ ②根据题意，得 当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：2t＋(10－6t)＝8.解得t＝0.5； 当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：(6t－10)－2t＝8.解得t＝4.5. 答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 3． 在数轴上，点O为原点，点A和点B在数轴上，则OA表示点O 与点A之间的距离，点A和点B的距离表示为AB，如图，点A在原点O 的左侧，点B在原点O的右侧，线段AB＝36，且OA＝2OB． 动点P从 点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从原 点O出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动． (1)点B表示的数是 ，点A表示的数为 ⁠； 12　 －24　 (2)当点P，Q都在点A右侧时，经过多少秒，点P，Q到点A的距离 相等？此时点P表示的数是多少？ (2)设经过x秒后，点P，Q到点A的距离相等． 依题意，得36－4x＝24－x.解得x＝4. 所以经过4秒后点P，Q到点A的距离相等．此时点P表示的数是12－4x ＝－4. (3)当动点P到达点A时立即原速返回沿数轴的正方向运动，直到动 点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动时间为t秒，当 PO＝QO时，求出所有满足条件的时间t的值． (3)点P回到点B时，4t＝2×36.解得t＝18. 点Q到达点A时，t＝24. ①当点P到达点A前，且点P在点O右侧时，根据题意，得12－4t＝t.解 得t＝ ； ②当点P到达点A前，且点P在点O左侧时，根据题意，得4t＝12＋t.解 得t＝4； ③当点P从点A返回，且点P在点O左侧时，根据题意，得4t－36＝24－ t.解得t＝12； ④当点P从点A返回，且点P在点O右侧时，根据题意，得4t－36－24＝ t.解得t＝20. 综上所述，满足条件的时间t的值为 或4或12或20. 4． 如图所示，数轴上有A，B，C，D四个点，点A表示的数是 a，点C表示的数是c，且满足|a＋16|＋(c－18)2＝0.已知AB＝4，CD ＝6. (1)求点B和点D分别表示的数； 解：(1)因为|a＋16|＋(c－18)2＝0，|a＋16|≥0，(c－18)2≥0， 所以|a＋16|＝0，(c－18)2＝0.所以a＝－16，c＝18. 所以点A表示的数是－16，点C表示的数是18. 因为AB＝4(单位长度)，CD＝6(单位长度)， 所以点B表示的数是－16＋4＝－12，点D表示的数是18＋6＝24. (2)若线段AB以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当BC＝6 时，求t的值； (2)运动过程中，点B表示的数是－12＋4t，点C表示的数是18－2t. 当点B在点C左侧时，18－2t－(－12－4t)＝6. 解得t＝4. 当点B在点C右侧时，－12＋4t－(18－2t)＝6. 解得t＝6. 综上所述，当BC＝6时，t的值为4或6. (3)若动点P从表示数25的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运 动，且满足3AP－kPD的值不随P点运动时间的变化而改变，求k的值． (3)设点P的运动时间为x秒，则运动过程中，点P表示的数是25＋5x. 所以3AP－kPD＝3[25＋5x－(－16)]－k(25＋5x－24)＝123＋15x－25k －5kx＋24k＝123＋(15－5k)x－k. 因为3AP－kPD的值不随P点运动时间的变化而改变，所以15－5k＝0. 所以k＝3. 二、与几何图形有关的动点问题 5． 如图，在长方形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm.点P沿AB 边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点 A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间，那 么： (1)如图1，当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ 解：(1)由题意，知DQ＝t cm，AQ＝(6－t)cm，AP＝2t cm. 因为∠A＝90°，△QAP为等腰直角三角形， 所以AQ＝AP，即6－t＝2t.解得t＝2. (2)如图2，当t为何值时，△QAB的面积等于长方形面积的 ？ (2)由题意，知DQ＝t cm，AQ＝(6－t)cm. 因为S△QAB＝ (6－t)×12， 所以 (6－t)×12＝ ×6×12.解得t＝3. (3)如图3，点P，Q到达点B，A后继续运动，直到P点到达C点后 都停止运动．若点P在BC边上，t为何值时，线段AQ的长等于线段CP 长的一半？ (3)若点P在BC边上，则点Q在AB边上， 此时AQ＝(t－6)cm，CP＝(18－2t)cm. 因为线段AQ的长等于线段CP长的一半， 所以t－6＝ (18－2t)．解得t＝7.5. $$专题四 作图专题 1. 如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，按照下列要求画出 图形并回答问题： (1)作射线AC； 解：(1) (2)作直线BD与射线AC相交于点O； 解：(2) (3)分别连接AB，AD； 解：(3)作出的图形如图所示． (4)画出的图形中射线有几条？线段有几条？ (4)画出的图形中射线有9条，线段有8条． 2． 如图，在一条笔直公路a的两侧，分别有A，B两个村庄，现要 在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A，B两村的距离之和最小，问 汽车站C的位置应如何确定？ 解：如图，连接AB与a的交点即为汽车站C的位置． 3． 如图，已知线段a，b，作线段AB，使AB＝a＋2b.(不写作 法，保留作图痕迹) 解：如图所示，AB即为所求． 4． 如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．根据 要求完成下列题目． (1)请在方格纸中分别画出它从左面、从上面看到的所搭几何体的形 状图；(画出的图需涂上阴影) 解：(1)如图所示． (2)图中共有 ⁠个小正方体． 9　 5． 如图1、图2、图3，需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方 体，请在原图上画出所添的面． 解：如图，任意画出3种即可． 6． 如图，已知线段m，n(其中m＞n)． (1)尺规作图：作线段AC＝m－n，其中AB＝m，BC＝n；(保留 作图痕迹，不写作法) 解：(1)如图，线段AC即为所求． (2)在(1)的条件下，点M是AB的中点，点N是BC的中点，当m＝ 3，n＝1时，求线段MN的长． (2)如图． 因为点M是AB的中点，点N是BC的中点， 所以AM＝BM＝ AB，CN＝BN＝ BC. 因为AB＝m＝3，BC＝n＝1， 所以BM＝ ，BN＝ . 所以MN＝BM－BN＝ - ＝1. 所以线段MN的长为1. 7． 如图是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为边长都相等的六 边形． (1)请写出这个包装盒的几何体名称，并画出它的直观图； 解：(1)这个包装盒为六棱柱，其直观图如图所示． (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． (2)因为该棱柱的底面各边长都相等， 所以S侧＝6×20×3＝360(cm2)． 8． 如图1，∠AOC和∠BOD都是直角． (1)如果∠DOC＝35°，则∠AOB＝ ⁠； (2)找出图1中一组相等的锐角： ⁠； (3)若∠DOC变小，∠AOB将 ；(填“变大”“变小”或“不变”) 145°　 ∠AOD＝∠BOC　 变大　 (4)在图2中，利用能够画直角的工具在图2上画一个与∠BOC相等的 角，并说明理由． (4)画∠AOC＝∠BOD＝90°，如图所示，则∠AOD＝∠BOC. (画法不 唯一，合理即可) 理由如下： 因为∠AOC＝∠DOB＝90°， 所以∠AOD＋∠COD＝∠BOC＋∠COD＝90°. 所以∠AOD＝∠BOC. $$专题五 规律探索 一、数式规律 1． 观察下面的单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，…，根据你发现的 规律，第8个式子是 ⁠． －128a8　 2． 观察下列等式： 13＝12； 13＋23＝32； 13＋23＋33＝62； 13＋23＋33＋43＝102； …… 根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是(　C　) A． 45 B． 54 C． 55 D． 65 C 3． 如图，将一串有理数按下列规律排列． (1)在A位置上的数是 数；(填“正”或“负”) 提示：由题知，这一串数为(－1)nn，每4个数一组，所有箭头向下和 向上所指的数都是正数，其余位置上都是负数，所以在A位置上的数 是正数． 正　 (2)在A，B，C，D中， ⁠位置的数是负数； (3)第2 024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪 个位置？ (3)因为这些数中的第偶数个数均为正数，第奇数个数均为负数，每4个数 为一组，2 024÷4＝506， 所以第2 024个数是2 024，是正数，排在对应于A的位置． B，D　 4． 一只小球落在数轴上的某点P0处，第一次从P0处向右跳1个单位 到P1处，第二次从P1向左跳2个单位到P2处，第三次从P2向右跳3个单位 到P3处，第四次从P3向左跳4个单位到P4处，…，若小球按以上规律跳了 2n＋3次时，它落在数轴上的点P2n＋3处所表示的数恰好是n－3，则这只 小球的初始位置点P0所表示的数是(　B　) A． －4 B． －5 C． n＋6 D． n＋3 B 5． 探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算．”然后他写出了 一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式： (＋5)※(＋2)＝＋7；(－3)※(－5)＝＋8； (－3)※(＋4)＝－7；(＋5)※(－6)＝－11； 0※(＋8)＝＋8；0※(－8)＝＋8； (－6)※0＝＋6；(＋6)※0＝＋6. 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※(加乘)运算的运算法则 了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ※ ＝  　 　 ； ② ※(＋1)＝  　－1 　 ． 　 －1 　 (2)计算：(－2)※[0※(－1)].(括号的作用与它在有理数运算中的作用 一致，写出必要的运算步骤) (2)(－2)※[0※(－1)]＝(－2)※ (＋1)＝－3. 6． 按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律， 想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格： 输入n 3 2 － … 输出结果 －1 ⁠ ⁠ ⁠ … －1 －1 1 (2)你发现的规律是 ⁠； (3)用简要过程说明你发现的规律的正确性． (3)2(n2－n)－2n2＋2n－1 ＝2n2－2n－2n2＋2n－1＝－1. 无论输入任意数，结果都是－1　 二、图形规律 7． 如图是用长度相同的牙签按一定规律摆成的，摆图案①需要8根 牙签，摆图案②需要15根牙签，…，按此规律，摆图案 需要牙签的根数 是 ⁠. 7n＋1　 8． 用大小相等的小正方形按一定规律拼成如下图形，则第n个图形 中小正方形的个数是(　C　) A． 2n＋1 B． n2－1 C． (n＋1)2－1 D． 5n－2 C 9． 如图，由一些点组成形如正方形的图案，每条“边”(包括两个 顶点)有n(n＞1)个点，每个图形总的点数记为S. (1)当n＝5时，S的值为 ⁠； (2)每条“边”有n个点时，S＝ ；(用含n的式子表示) (3)当n＝2 024时，S＝ ⁠． 16　 4(n－1)　 8 092　 三、与线、角有关的规律 10． 如图，观察其中的图形，并阅读图形下面的相关文字，若像这 样的直线上有10个点，则共有线段 条；若有n个点，则共有线 段 ⁠条． 45　 　 11． 如图，在∠AOB内，从图1的顶点O画1条射线，图中共有3个 角；从图2顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若 从顶点O画29条射线，则图中角的个数是(　A　) A． 465 B． 450 C． 425 D． 300 A 12． 观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： 猜想： (1)5条直线相交最多有 ⁠个交点； (2)6条直线相交最多有 ⁠个交点； (3)n条直线相交最多有 ⁠个交点． 10　 15　 　 13． 如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分 ∠AOC，ON平分∠BOC． (1)求∠MON的度数； 解：(1)因为∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝90°＋30°＝120°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝ ∠AOC＝ 60°，∠CON＝ ∠BOC＝15°. 所以∠MON＝∠MOC－∠CON＝60°－15°＝45°. (2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数； (2)因为∠AOB＝α，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝α＋30°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝ ∠AOC＝ α ＋15°，∠CON＝ ∠BOC＝15°. 所以∠MON＝∠MOC－∠CON＝ α＋15°－15°＝ α. (3)如果(1)中，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的 度数； (3)因为∠AOB＝90°，∠BOC＝β， 所以∠AOC＝β＋90°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝ ∠AOC＝ β ＋45°，∠CON＝ ∠BOC＝ β. 所以∠MON＝∠MOC－∠CON＝ β＋45°－ β＝45°. (4)从(1)(2)(3)的结果中，你能看出什么规律？ (4)由(1)(2)(3)可知∠MON＝ ∠AOB，与∠BOC的大小无关． $$专题一 代数计算 一、有理数的计算 1． 计算：(1)(－3)＋(－9)＝ ； (2)1.25＋(－7.25)＝ ； (3)(－2 025)＋0＝ ； (4) ＝ 　 　； (5)(－37)－(－47)＝ ； (6) ＝ ； (7)(－9)×3＝ ； －12　 －6　 －2 025　 　 10　 －39　 －27　 (8) ＝ 　 　； (9) ×0＝ ； (10)(－3)÷6＝ ； (11) ÷ ＝ 　 　； (12)23＝ ，(－2)3＝ ； (13)(－2)4＝ ，－24＝ ； (14)(－0.2)3＝ ； (15) ＝ 　 　． 　 0　 － 　 　 8　 －8　 16　 －16　 －0.008　 　 2． 计算：(－1.2)－7－(－3.2)＋(－1)． 解：原式＝－1.2－7＋3.2－1＝－1.2＋3.2－7－1 ＝2－7－1＝－6. 3． 计算： －5 . 解：原式＝2 ＋3 - －5 ＝(2 - )+(3 -5 ) ＝2＋(－2)＝0. 4． 计算：(－32)÷ . 解：原式＝32× × × ＝ . 5． 计算： ÷ ÷2. 解：原式＝ ÷(- )+ × - × ＝ ×(- )+ × - × ＝ ×- ＝ ×0－ ＝0－ ＝－ . 6． 计算： ÷ . 解：原式＝(- )÷(- - ) ＝(- )÷(- - ) ＝(- )÷ ＝－ × ＝－3. 7． 计算：－12 024－ ÷ . 解：原式＝－1－(+ - )×(－24) ＝－1－ ×(－24)－ ×(－24)＋ ×(－24) ＝－1＋16＋6－20＝1. 8． 计算：－33－[8÷(－2)3－1]＋(－3)2×(－2)3÷ . 解：原式＝－27－[8÷(－8)－1]＋9×(－8)× ＝－27－(－1－1)＋(－18) ＝－27＋2－18＝－43. 二、有理数的应用 9． 某司机在东西走向的路上接送乘客，他早晨从A地出发(取向东 为正)，一天行驶里程记录如下(单位：km)： ＋20，－5，－15，＋30，－20，－10. (1)该司机一天的行驶总路程是多少千米？ 解：(1)|＋20|＋|－5|＋|－15|＋|＋30|＋|－20|＋|－10|＝20＋5＋15＋30＋20 ＋10＝100(km)． 答：该司机一天的行驶总路程是100 km. (2)若汽车每千米耗油0.2 L，则该汽车今天耗油多少升？ (2)100×0.2＝20(L)． 答：该汽车今天耗油20 L. 10． 随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家 庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的里程，以50 km为标准，多于50 km的记录为“＋”，不足50 km的记录为“－”，刚好50 km的记录为“0”，记录数据如下表： 时间 第一 天 第二 天 第三 天 第四 天 第五 天 第六 天 第七 天 里程 /km －8 －11 －14 0 －16 ＋41 ＋8 (1)请你估计小明家的小轿车一个月(按30天计算)行驶多少千米； 解：(1)(50×7－8－11－14＋0－16＋41＋8)÷7＝50(km)，50×30＝1 500(km)． 答：小明家的小轿车一个月约行驶1 500 km. (2)若每行驶100 km需用汽油8 L，汽油每升8.14元，估计小明家一年 (按12个月计算)的汽油费用是多少元． (2) ×8×8.14×12＝11 721.6(元)． 答：小明家一年的汽油费用约为11 721.6元． 三、整式的计算 11． 已知 x3m-1y3与－ x5y2n+1是同类项，则5m＋3n的值 为 ⁠． 12． 计算：3a2－3ab－5－2a2＋3ab＋7. 解：原式＝(3a2－2a2)＋(－3ab＋3ab)＋(－5＋7) ＝(3－2)a2＋(－3＋3)ab＋(－5＋7)＝a2＋2. 13　 13． 计算：5(3a2b－ab2)－4(－ab2＋3a2b)． 解：原式＝15a2b－5ab2＋4ab2－12a2b ＝(15－12)a2b＋(－5＋4)ab2＝3a2b－ab2. 14． 先化简，再求值： (1)(3x2－xy＋y)－2(5xy－4x2＋2y)，其中x＝2，y＝1； (1)解：原式＝3x2－xy＋y－10xy＋8x2－4y ＝(3＋8)x2＋(－1－10)xy＋(1－4)y ＝11x2－11xy－3y. 当x＝2，y＝1时， 原式＝11×22－11×2×1－3×1＝19. (2)4(a2－3ab)－[(－2ab＋b2)＋2(2a2－b2)]，其中a，b满足|a＋1|＋ (2－b)2＝0. (2)解：原式＝4a2－12ab－(－2ab＋b2)－2(2a2－b2)＝4a2－12ab＋2ab －b2－4a2＋2b2 ＝(4－4)a2＋(－1＋2)b2＋(－12＋2)ab ＝b2－10ab. 因为|a＋1|＋(2－b)2＝0， 所以a＋1＝0，2－b＝0，即a＝－1，b＝2. 所以原式＝22－10×(－1)×2＝4＋20＝24. 15. 已知A＝3x2＋ax－3y＋2，B＝bx2－ x－2y＋4，当A－3B的 值与x的取值无关时，求－a2b－ (6ab＋4ab2－a2b)－3的值． 解：A－3B＝(3x2＋ax－3y＋2)－3(b - x-2y+4) ＝3x2＋ax－3y＋2－3bx2＋2x＋6y－12 ＝(3－3b)x2＋(a＋2)x＋3y－10. 因为A－3B的值与x的取值无关， 所以3－3b＝0，a＋2＝0，即a＝－2，b＝1. 原式＝－a2b－3ab－2ab2＋ a2b－6ab2＋ a2b＋ab＝－2ab－8ab2. 当a＝－2，b＝1时，原式＝－2×(－2)×1－8×(－2)×12＝4＋16＝20. 四、整式的应用 16． 如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和 两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新 的长方形． (1)用含m和n的式子表示拼成的长方形的周长； 解：(1)拼成的长方形的长为m＋n，宽为m－n，则其周长为2(m＋n＋ m－n)＝4m. (2)若m＝7，n＝4，求拼成的长方形的面积． (2)拼成的长方形的面积为(m＋n)(m－n)． 将m＝7，n＝4代入可得， (m＋n)(m－n)＝(7＋4)×(7－4)＝33. 所以拼成的长方形的面积为33. 17． 自从我国实施“限塑令”，开始有偿使用环保购物袋，为了满 足市场需求，某厂家只生产A，B两种款式的环保购物袋，成本分别 为2元/个、3元/个，售价分别为2.3元/个、3.5元/个．其中每天生产A 种购物袋x个． (1)若该厂家每天共生产环保购物袋6 500个，则每天生产环保购物袋 的总成本为 元；(用含x的式子表示) (2)若该厂家每天生产B种购物袋的数量是A种购物袋数量的 ，则所 生产的环保购物袋全部销售完后，每天共可获利 元．(用含x的式 子表示) (19 500－x)　 0.7x　 18． A，B两地分别有救灾物资30吨和50吨，全部运送到C，D两 地，而C，D两地分别需要物资45吨和35吨．已知从A，B两地到C，D 两地的运费如下表： 到C地运费 到D地运费 A地 每吨15元 每吨12元 B地 每吨10元 每吨9元 (1)若从B地运到C地的物资为x吨，则从B地运到D地的物资 为 吨，从A地将物资运到D地的运输费用为 ⁠ 元； (50－x)　 12(x－15)　 (2)用含x的式子表示出总运输费用；(要求：列出算式并化简) (2)总运输费为10x＋9(50－x)＋15(45－x)＋12(x－15)＝(－2x＋945)元． (3)当x为40时，总运输费用为多少元？ (3)当x＝40时，总运输费用为－2×40＋945＝865(元)． $$