第十四章整式的乘除 中档题专题提优2024-2025学年人教版八年级数学上册

第十四章 整式的乘除 专题一 幂的运算 核心考点一 同底数幂的乘法 (m，n都是正整数) ，即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 03. 若 则n= . 核心考点二 幂的乘方 (m，n都是正整数)，即：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 06. 已知 可变形为 则a, b, c的大小关系是 . 核心考点三 积的乘方 (其中a为正整数)，即：积的乘方，每一个因数分别乘方. 08. 已知 则 核心考点四 逆用幂的运算法则 09.已知: 则 值为 ( ) A. 17 B. 36 C. 48 D. 72 10. 已知: 则： 11. 已知: 则 12. 已知: 则m= , n= . 13.已知:2"=a, 3"=b, n是正整数，则用含有a，b的式子表示( 的值为 . 14. 若 则 A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 15.已知: 3"=a, 81"=b, m, n为正整数, 则3³ᵐ⁺¹²ⁿ的值为 ( ) A. a³b³ B. 27ab C. 3a+12b 16按一定规律排列的一列数: 2¹, 2², 2³, 2⁵, 2⁸, 2¹³, …, 若x, y, z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是 . 核心考点五 幂的运算法则综合运用 17. 已知 求 的值. 18. 已知 求 的值. 19. 是否存在整数a, b, c满足 若存在，求出a，b，c的值； 若不存在，说明理由. 专题二 整式的乘除 核心考点一 单项式与单项式的乘法 单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 01. 计算:12 02. 计算: 核心考点二 单项式与多项式的乘法 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加. 核心考点三 多项式与多项式的乘法 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即|①|②| ① ② ③ ④ (a+b)(m+n)= am+ an+ bm+ bn |③↑④↑ 04. (1) (x+2)(x-4)= , 核心考点四 整式的除法 08. [(2x-y)(2x+y)+y(y-6x)]÷2x. 核心考点五 降次代换 09. 若 则 10. 已知 则代数式 的值是 ( ) A. 31 B. -31 C. 41 D. -41 11. 已知. 求(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)的值. 核心考点六 多项式相乘展开后与待定参数 12. 若 的积中不含x的二次项，则常数m的值为 ( ) A. 0 B 13. 若 的展开式中不含x³项和x²项，则m"的值= . 14. 已知a, b, x, y满足a+b=x+y=3, ax+ by=7, 求 的值. 15. 已知 将x=0代入这个等式中可以求出a₀=1. 用这种方法可以求得 的值为( ) A. -16 B. 16 C. -1 D. 1 16. 若 则： (1) a+b+c+d+e+f= ; (2) f= . 17已知, 若多项式. 被x+3整除，说明 时，多项式的值为0，即当x=-3时，多项式为0，我们可以把x=-3代入多项式，值为0，可得方程，求出k的值为 若多项式. 去除以x+3时，余数为6，说明. 时，多项式的值为6，即当. 时，多项式为6，我们可以把x=-3代入多项式，值为6，可得方程，求出k的值为- 结 合上述知识，解决下列问题： (1) 若 能被x-2整除，则a的值为 ； (2) 若 除以x+2时, 余数为4, 则a的值为 ; (3) 若 能被x-2与x+3整除, 则a-b的值为 ; (4) 若 去除以x-2时，余数为1去除以x+3时，余数为- 求a, b的值. 专题三 整式的乘除的应用 核心考点一 整式的运算与求值 01 计算: 02先化简, 再求值: 其中x=0.5, y=-1. 核心考点二 待定参数 03.已知( 其中p，q为正整数，则 04. 如果二次三项式 中有一个因式是3a-2，那么k的值为 . 05以下关于x的各个多项式中, a, b, c, m, n均为常数. (1) 根据计算结果填写下表： 二次项系数 一次项系数 常数项 (2x+1)(x+2) 2 2 (2x+1)(3x-2) 6 -2 ( ax+b)( mx+n) am bn (2) 已知 既不含二次项，也不含一次项，求 的值； (3)多项式M与多项式 的乘积为 则2a+b+c的值为 . 专题四 整式乘除的几何背景 核心考点一 整式的运算与图形 01.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆.若a+b=4， 求剩下的钢板的面积. 02.如图将一个边长为a的小正方形与四个边长均为b的大正方形拼接在一起(其中a<b) , 则四边形ABCD的面积为 ( ) 03.在长方形ABCD内, 将两张边长分别为a和b(a>b) 的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S₁，图2 中阴影部分的面积为S₂. 当AD-AB=2时, 的值为 ( ) A. 2a B. 2b C. 2a-2b D. -2b 核心考点二 图形的拼接与整式的乘法 04有足够多的如图所示的正方形和长方形的卡片. (1)选取1号，2号，3号卡片若干张，拼成一个正方形(不重叠无缝隙)，并能运用拼图前后面积之间的关系说明公式( 成立，请画出这个正方形； (2) 小明想用类似(1) 的方法解释多项式乘法( 那么用2号卡片张，3号卡片 张； (3)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图. 专题五 平方差公式的应用及构造 平方差公式： ( 核心考点一 平方差公式的基本应用 01. 计算: (2) (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y); 核心考点二 平方差公式在多项式计算中的应用 02. (1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); 核心考点三 平方差公式的构造 03. 计算: 04. 计算下列各式，完成所提出的问题： … 计算： ① ; 05.若 则( 06. 已知实数a, b, x, y满足 求 的值. 07. 设a, b, c, d都是自然数, 且 求d-b的值. 专题六 完全平方公式 完全平方公式： 核心考点一 完全平方公式的基本应用 01. 计算: 核心考点二 含参数的完全平方式 02. 若 是关于x，y的完全平方式，则 03. 若 是一个完全平方式，则m的值为 . 核心考点三 完全平方公式的拓展应用 04. 计算: (5) 求证: 1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方, 并求出这个整数. 核心考点四 完全平方公式补充公式的应用 05. 已知 且a=1, 试求( 的值. 06. 设 求 的值. 07. 已知 求 的最小值. 专题七 完全平方公式的变形与应用 核心考点一 利用完全平方公式求a+b, a-b, ab, a²-b²的值 01.已知 求 xy和x-y的值; 02. 已知 求 和x+y的值; 03.若(2026-a)(2025-a)=2024, 则( 核心考点二 利用完全平方公式求 的值 04.例: 已知 求 的值. 解：因为 所以 则 所以 观察以上解答，解答以下问题：已知 (1) 求下列各式的值： (2) 直接写出 的值 . 05. 已知:x²-3x+1=0, 则 的值为 . 06. 已知 则 的值为 ( ) A. 136 B. 169 C. 194 D. 196 07. 若 则 专题八 配方法与完全平方式的构造 核心考点一 配方构造完全平方式 01. 将二次三项式 进行配方，正确的结果是 ( ) B. (x-2)²-1 D. (x-2)²+3 02.关于x的二次三项式 有最小值-10, 则常数a= . 03.a, b为实数, 整式 的最小值是 ( ) A. -13 B. -4 C. -9 D. -5 04.已知, 则x+y+z= . 05.已知a, b, c满足 则a-b+c的值为 ( ) A. -1 B. 5 C. 6 D. -7 核心考点二 配方构造完全平方式求最值、比较大小 06.简读以下材料井解决问题： ①若a-b≥0, 则a≥b; 若a-b≤0, 则a≤b; 有最小值1； 有最小值-9. (1)求 的最小值； (2) 已知 比较P与Q的大小. 核心考点三 配方法求最值应用题 07.我们已学习了完全平方公式： 观察下列式子： x并回答下列问题. 则 (2) 解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，按图设长方形一边长度为x米，回答下列问题： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积： ； ②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米? 专题九 乘法公式的几何背景 核心考点一 乘法公式与图形结合 01如图1，在长为2b，宽为b的长方形中去掉两个边长为a的小正方形. 然后将图2中的阴影部分剪下，并将剪下的阴影部分从中间剪开，得到两个形状，大小完全相同的小长方形. 将这两个小长方形与剩下的图形拼成如图3 中的长方形，上述操作能够验证的等式是( ) 02.四张长为a, 宽为b(a>b) 的长方形纸片, 按如图的方式拼成一个边长为 (a+b) 的正方形，图中空白部分的面积为 阴影部分的面积为S₂, 若 则a:b= . 03. 探究：如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图2的长方形. (1) 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 ； ； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母表示)； 应用：请应用这个公式完成计算： 04.(1) 用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和. 请你用一个等式表示( a²+b², ab之间的数量关系 ； (2) 根据(1) 中的数量关系，解决如下问题： ①已知 求m-n的值; ②已知( 求 的值. 05. 我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践一面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD 的面积. 可以得到代数恒等式： (2) 已知 求 ab+ ac+ bc的值; (3) 若n, t满足如下条件: ,求t的值. 核心考点二 杨辉三角与整式乘法 06.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如下图所示) 就是一例. 这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和.事实上，这个三角形给出了(a+b)"(n为正整数) 的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列) 的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 展开式中各项的系数； 第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数等等. (1) 根据上面的规律， 展开式的各项系数中最大的数为 ； (2) 直接写出式于 的值为 ； (3)若 求 的值. 专题十 因式分解 核心考点一 因式分解的定义 01. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是 ( ) 核心考点二 提公因式法 02. 把下列各式分解因式： (4) 2a(b+c)-3(b+c); (5)6(x-2)+x(2-x); 核心考点三 运用公因式法 03. 把下列各式分解因式： (1) 1-25b²; (6) x⁴-y⁴; 核心考点四 分组分解法 04. 分解因式: (2) 2ax-10ay+5by- bx; 核心考点五 十字相乘法 05. 把下列各式分解因式： 核心考点六 配方法 06. 分解因式: 核心考点七 换元法 07. 把下列各式分解因式： 专题十一 因式分解的应用 核心考点一 对因式分解结果的判断 01.下列因式分解结果正确的是 ( ) 02.下列因式分解结果正确的是 ( ) 核心考点二 多步骤因式分解 03.因式分解: (2) (p-3)(p-1)+1. 04. 因式分解: 05.将下列多项式因式分解： 06.因式分解: 核心考点三 利用因式分解求值 07. 若 则a-b= . 08.若 则a+b-c的值是 ( ) A. 2 B. 5 C. 20 D. 50 09. 已知a, b满足 则x, y的大小关系是 ( ) A. x≤y B. x≥y C. x>y D. x<y 10.已知( 则((x-2027)²的值是 . 11. 已知a=2019x+2016, b=2019x+2017, c=2019x+2018, 求多项式( 的值. 核心考点四 利用图形理解因式分解 12.如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解： 核心考点五 试根法因式分解 13. 对于多项式 我们把. 代入此多项式，发现. 能使多项式 的值为0，由此可以断定多项式. 中有因式( (注：把x=a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式( 于是我们可以把多项式写成： 分别求出m，n后再代入 就可以把多项式. 因式分解. (1) 求式子中m, n的值; (2) 以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式. 学科网（北京）股份有限公司 $$