6.2.2 线段的比较与运算 课件--2024-2025学年人教版数学七年级上册

6.2.2 线段的比较与运算（1） 线段的比较与性质 “作一条线段等于已知线段”的尺规作图 1. 尺规作图：在数学中，我们常限定用 的直尺和 ⁠ 作图，这就是尺规作图． 无刻度　 圆规　 例1 尺规作图：如图，已知线段a和点A． 在点A的右边作线段 AB，使AB＝a.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，线段AB即为所求． 2. 尺规作图：如图，已知线段a，b和点O. 在点O的左边作线段 OA，在点O的右边作线段OB，使得O，A，B三点在同一条直线上， 且OA＝a，OB＝b.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，线段OA，OB即为所求． 比较线段的长短 例2 如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，则AB ⁠ A′B′.(填“＞”“＜”或“＝”) ＜　 3. 下面给出的4条线段中，最长的是(　D　) A． a B． b C． c D． d D 线段的基本事实在实际生活中的应用 4. (1)线段的基本事实：两点的所有连线中， ⁠最短．简单说 成：两点之间， 最短． (2)连接两点的线段的 ，叫作这两点间的距离． 线段　 线段　 长度　 例3 如图，小强出门从甲地到乙地有四条路线，其中路线 ⁠最 短．其依据是 ⁠. ③　 两点之间，线段最短　 5. 高速公路的建设带动我国经济快速发展．在高速公路的建设中， 通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含 的数学道理是 ⁠. 两点之间，线段最短　 例4 如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库 O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修 建的点O位置，同时说明你选择该点的理由． 解：如图，连接AB交直线m于点O，则点O即为所求的点． 理由：因为两点的所有连线中，线段最短． 6. 如图，A，B，C，D表示4个居民小区，现要在四边形ABCD内 建一购物中心，试问把购物中心建在何处才能使4个居民小区到购物中心 的距离之和最小．说明理由． 解：如图， 将购物中心建在A，C的连线与B，D的连线的交点O上，才能使4个居 民小区到购物中心的距离之和最小．理由如下： 因为两点之间，线段最短，所以购物中心应建在连接A小区和C小区 的线段上，还应建在连接B小区与D小区的线段上．所以建在A，C的 连线与B，D的连线的交点上，才能使4个居民小区到购物中心的距离 之和最小． 1． 下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象 是(　B　) A． 打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上 B． 把弯曲的河道改直，可以缩短路程 C． 利用圆规可以比较两条线段的长短关系 D． 测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直 B 2． 用“叠合法”比较两条线段AB，CD的长短，其中正确的是 (　C　) A． B． C． D． C 3． 【易错题】若线段AB＝5 cm，BC＝2 cm，则A，C两点的距离 为(　D　) A． 7 cm B． 3 cm C． 7 cm或3 cm D． 不小于3 cm且不大于7 cm D 4． 用“＞”“＜”或“＝”填空： (1)若点C在线段AB上，则AC AB，AB BC； (2)若点D在线段AB的延长线上，则AD AB，BD AD． ＜　 ＞　 ＜　 ＞　 5． 分类讨论已知点A，B，C在同一条直线上，AB＝3 cm，BC＝ 1 cm.请画出线段AC． (请画出图形) 解：若点C在线段AB的延长线上，则线段AC如图1所示． 若点C在线段AB上，则线段AC如图2所示． 立体图形中的线段最短问题 方法指导：立体图形中的线段最短问题一般先将立体图形展开，转 化为平面图形，再根据“两点之间，线段最短”解题． 6. 如图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫 被蜘蛛网粘住，请利用平面图形，画出蜘蛛爬行的最短路线． 解：如图，线段AB即为所求的最短路线． 7． 如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬行一圈到达点B，怎么爬行 路线最短？画出蚂蚁爬行的最短路线． 解：如图，线段AB即为所求的最短路线． 课后作业 1． 如图，轩轩同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发 现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学道 理是 ⁠． 两点之间，线段最短　 2． 如图，比较线段AC和AB的长短，科学的方法有(　C　) ①沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置；②用直尺度量出 AB和AC的长度；③用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位 置；④凭感觉估计． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 C 3． 如图，一少年骑马从M地出发，经过小溪l回到位于N地的家中， 为使路程最短，则过小溪l的地方应选择(　C　) A． A地 B． B地 C． C地 D． D地 C 4． 如图，已知四边形ABCD，在四边形内找一点O，使得线段AO， BO，CO，DO的和最小，并说明理由．(画出即可，不写作法) 解：如图，点O即为所求． 理由：因为两点之间线段最短， 所以当点A，O，C在同一条直线上，且点B，O，D也在同一条直线 上时，AO＋BO＋CO＋DO有最小值． 5． 尺规作图：作线段BD＝AB，且点D在线段BC上．(不用写作法， 保留作图痕迹) 解：如图所示，线段BD即为所求． 作法提示：利用圆规在BC上截取BD＝BA，即以点B为圆心，BA的 长为半径画弧，交BC于点D，线段BD即为所求． 6． 【问题情境】 已知：线段AB＝5. (1)如图1，点C在射线AB上，BC＝6，则AC＝ ⁠． (2)若点C在直线AB上，BC＝6，则AC＝ ⁠． 11　 11或1　 【实践探究】 如图2，点A，B分别是数轴上的两点，AB＝5，点A距原点O有1个单 位长度． (3)点B所表示的数是 ⁠． (4)若点C在点A的右边，点C与点A的距离为3，则点C所表示的数 是 ，则BC＝ ⁠． 4　 2　 2　 【拓展探究】 (5)在图2的基础上，若点D是数轴上的点，点D与点B的距离为a，则 点D所表示的数是 ⁠． a＋4或4－a　 $$6.2.2 线段的比较与运算（2） 线段的运算 线段的和、差 例1 尺规作图：如图，已知线段a，b.(不写作法，保留作图痕迹) (1)求作线段AB，使AB＝a＋b； 解：(1)如图，线段AB即为所求． (2)求作线段CD，使CD＝b－a. 解：(2)如图，线段CD即为所求． 1. 尺规作图：如图，已知线段a，b.求作线段AB，使AB＝2a－ b.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，线段AB即为所求． 例2 如图，点C在线段AB上． (1)若AC＝3，BC＝5，则AB＝ ⁠； (2)若AB＝10，AC＝4，则BC＝ ． 8　 6　 2. 如图，若AB＝2 cm，BC＝3 cm，AD＝10 cm，则CD的长度是 (　B　) A． 3 cm B． 5 cm C． 7 cm D． 9 cm B 线段的中点 3. 把一条线段分成 的两条线段的点叫作线段的中点． 几何语言： 如图，因为点C是AB的中点， 所以 (或 )． 相等　 AC＝BC＝ AB　 AB＝2AC＝2BC　 4. 如图，点M是CD的中点． (1)若CM＝3，则MD＝ ，CD＝ ⁠； (2)若CD＝8，则CM＝ ，MD＝ ⁠． 思考：你能否从线段的中点的定义类比出线段的三等分点、四等分 点等的定义？ 3　 6　 4　 4　 例3 如图，点D是AC的中点，AC＝8，BC＝3，求BD的长． 解：因为点D是AC的中点，AC＝8， 所以DC＝ AC＝ ×8＝4. 所以BD＝DC＋BC＝4＋3＝7. 5. 如图，AD＝7，点D为AC的中点，BC＝5，求BD的长． 解：因为点D为AC的中点，AD＝7， 所以DC＝AD＝7. 因为BC＝5，所以BD＝DC－BC＝7－5＝2. 例4 如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点． (1)若AB＝8，求CD的长； 解：(1)因为点C是AB的中点，AB＝8， 所以BC＝AC＝ AB＝ ×8＝4. 因为点D是BC的中点， 所以CD＝BD＝ BC＝ ×4＝2. (2)若BC＝2，求AD的长． (2)因为点C是AB的中点，点D是BC的中点，BC＝2， 所以AC＝BC＝2，CD＝ BC＝ ×2＝1. 所以AD＝AC＋CD＝2＋1＝3. 6. 如图，点D是AB的中点，点E是BC的中点． (1)若AD＝6，CE＝4，求AC的长； 解：(1)因为点D是AB的中点，点E是BC的中点，所以AB＝2AD，BC ＝2CE. 因为AD＝6，CE＝4，所以AB＝2×6＝12，BC＝2×4＝8. 所以AC＝AB＋BC＝12＋8＝20. (2)若AC＝a，求DE的长． (2)因为点D是AB的中点，点E是BC的中点， 所以DB＝ AB，BE＝ BC. 所以DE＝DB＋BE＝ AB＋ BC＝ (AB＋BC)＝ AC＝ a. 1． 根据图形填空： (1)AC＝AB＋ ⁠； (2)AB＝ －BD； (3)AD＝AB＋ ＝ ＋CD； (4)BC＝AC－ ＝ －CD． BC　 AD　 BD　 AC　 AB　 BD　 2． 点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是 (　B　) A． AC＝BC B． AC＋BC＝AB C． AB＝2AC D． BC＝ AB B 3． 如图，已知AC＝4 cm，BD＝3 cm，点C为AB的中点，则AD 的长为 ⁠cm. 5　 4． 点C为线段AB的一个三等分点，点D为线段AB的中点，若AB 的长为6.6 cm，则CD的长为(　B　) A． 0.8 cm B． 1.1 cm C． 3.3 cm D． 4.4 cm B 5． 如图，已知点C为AB上一点，AC＝12 cm，CB＝ AC，点 D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长． 解：根据题意，AC＝12 cm，CB＝ AC， 所以CB＝ ×12＝8(cm)．所以AB＝AC＋CB＝12＋8＝20(cm)． 因为点D，E分别为AC，AB的中点， 所以AE＝ AB＝ ×20＝10(cm)，AD＝ AC＝ ×12＝6(cm)． 所以DE＝AE－AD＝10－6＝4(cm)． 6． 如图，下列关于图中线段之间的关系一定正确的是(　C　) A． x＝2x＋2b－c B． c－b＝2a－2b C． x＋b＝2a＋c－b D． x＋2a＝3c＋2b C 7． 方程思想如图，已知AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，AD＝36，点M 是AD的中点，求CM的长． 解：设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x. 依题意，得2x＋3x＋4x＝36.解得x＝4. 所以CD＝16. 因为点M是AD的中点， 所以CM＝MD－CD＝ AD－CD＝ ×36－16＝2. 8． 推理能力如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数 为－4，点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速 度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t s(t＞0)，另一动点Q从点B出发， 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t 为 s时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 1或 　 课后作业 1． 如图，若点A，B，C在同一直线上，则 (1)AB＋BC＝ ⁠； (2)AC－BC＝ ⁠； (3)AC－AB＝ ⁠． AC　 AB　 BC　 2． 点C在线段AB的反向延长线上，若线段AB＝3，BC＝7，则A，C 两点间的距离是 ⁠． 4　 3． 如图，AC＝10 cm，若点B为AC的中点，点C为AD的中点，则 AB的长为 cm，AD的长为 ⁠cm. 5　 20　 4． 如图，已知线段AB＝6 cm，在线段AB的延长线上有一点C，且 BC＝4 cm，若点M为AB的中点，则MC的长度为(　C　) A． 5 cm B． 6 cm C． 7 cm D． 无法确定 C 5． 如图，点C，D，E是线段AB的四等分点，下列等式不正确的是 (　D　) A． AB＝4AC B． CE＝AB C． AE＝AB D． AD＝CB D 6． 如图，点D是AB的中点，点E是BC的中点，若AC＝8，EC＝3， 求AD的长． 解：因为点E是BC的中点，EC＝3， 所以BC＝2EC＝2×3＝6. 因为AC＝8，所以AB＝AC－BC＝8－6＝2. 因为点D是AB的中点， 所以AD＝AB＝×2＝1. 7． 如图，AC＝BC，AD＝8 cm，CD＝1 cm，求DB的长． 解：因为AC＝BC，AD＝8 cm，CD＝1 cm， 所以DB＝BC－CD＝AC－CD＝(AD－CD)－CD＝AD－2CD＝8－ 2×1＝6(cm)． 8． 如图，点B，C把线段MN分成三部分，其中MB∶BC∶CN＝ 3∶6∶7，点P是MN的中点，且MP＝16，求PC的长． 解：设MB＝3x，BC＝6x，CN＝7x. 因为点P是MN的中点， 所以MP＝MN＝×(3x＋6x＋7x)＝8x＝16. 解得x＝2.所以MB＝6，BC＝12. 所以MC＝MB＋BC＝6＋12＝18. 所以PC＝MC－MP＝18－16＝2. 9． 分类讨论如图，在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为 8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB的方向向右运 动，运动时间为t秒(t＞0)． (1)线段AB＝ ；点P表示的数为 ⁠； 提示：依题意，得AB＝8－(－6)＝14. 因为运动t秒后，AP＝2t，所以点P表示的数为－6＋2t. 14　 －6＋2t　 (2)如果点P在线段AB上，那么线段BP＝ ；(用含t的代数式 表示) 提示：因为点P在线段AB上，点P表示的数为－6＋2t，点B表示的数 为8，所以BP＝8－(－6＋2t)＝14－2t. 14－2t　 (3)求经过多长时间后，A，B，P三点中有一点恰好是以另外两点为 端点的线段的中点？ 设经过t秒后，A，B，P三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线 段的中点，则可分为两种情况： ①当点P是线段AB的中点时，AP＝BP. 所以2t＝14－2t.解得t＝. ②当点B是线段AP的中点时，点P在线段AB的延长线上， 则AB＝BP＝AP. 所以14＝×2t.解得t＝14. 综上所述，经过 s或14 s后，A，B，P三点中有一点恰好是以另外两 点为端点的线段的中点． $$