4.5函数的应用（二）12题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

4.5函数的应用（二）12题型分类 1、函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. 2、方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. 3、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－1)f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c. (3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (4)函数零点存在定理是不可逆的，由f(a)f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. (5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解． 4、二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． （3）二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值． （4）由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，常取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间为[1.25,1.34]，若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34. （5）在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)f(b)<0. （6）由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解． 6、函数模型的应用 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 7．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． 8．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答其实际意义． 9．数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． （一） 求函数的零点 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法： (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　　　 题型1：求函数的零点 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3)； (4). 1-2．（2024·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 1-3．（2024高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点． (1)； (2). 1-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点为 . 1-5．（2024高三上·福建莆田·开学考试）设函数，则方程的解集为 . （二） 判断函数零点的个数 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法 (1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数． (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． (3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　 题型2：判断函数零点的个数 2-1．（2024高一·全国·课后作业）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2-2．（2024高一下·江苏南通·阶段练习）函数的零点个数为 . 2-3．（2024高三·全国·对口高考）函数的图象与函数的图象的交点个数为 个． 2-4．（2024高三·全国·对口高考）已知，方程的实根个数为 ． （三） 判断零点所在的区间 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 注：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 题型3：判断零点所在的区间 3-1．（2024高一·全国·课堂例题）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一上·重庆长寿·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一下·甘肃·期末）若是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高一下·湖南·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高一下·海南省直辖县级单位·期中）若是函数的零点，则属于区间（    ）. A． B． C． D． （四） 函数零点性质的应用 1、已知函数有零点(方程有根)，求参数值常用的方法和思路 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围; (2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解. 2、一元二次方程根的分布问题关注三个方面：①判别式；②对称轴的范围；③区间端点的函数值的正负.　 题型4：已知零点个数求参数的取值范围 4-1．（2024高一·全国·课后作业）若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 4-2．（2024·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-3．（2024·湖北·模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高一下·湖北荆州·阶段练习）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5：已知零点所在区间求参数的取值范围 5-1．（2024高一上·江苏南通·期末）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为 ． 5-2．（宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学（理）试题）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6：比较零点的大小 6-1．（2024高一上·湖北鄂州·期末）已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 6-2．（2024高一下·河南洛阳·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）设正实数分别满足，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型7：求零点之和 7-1．（2024高一上·全国·单元测试）是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 7-2．（2024高三上·四川成都·开学考试）已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 7-3．（2024高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则函数的所有零点之和为 ． （五） 二分法的概念 1、二分法的概念 判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2、二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　 题型8：二分法的概念的应用 8-1（2024高一·全国·课后作业）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　) A．B．C．D． 8-2．（2024高一·全国·课后作业）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高一·江苏·单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（    ） A．（k，b为常数，且） B．（a，b，c为常数，且） C． D．（，k为常数） （六） 用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 1、利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　 题型9：用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 9-1．（2024高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　） A． B． C． D． 9-2．（2024高一上·全国·课后作业）用二分法可以求得方程的近似解(精确度为0.1)为（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高一上·江苏淮安·期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483 要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次0.7 B．6次0.6 C．5次0.7 D．5次0.6 （七） 指数型模型的应用 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 注；函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 题型10：指数型模型的应用 10-1．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟 10-2．（2024高一·全国·课后作业）从盛满纯酒精的容器里到倒出酒精，然后用水充满，再倒出混合溶液，再用水充满，这样继续下去，若第次倒出纯酒精为（单位：L），则函数的表达式为 ．（假设酒精与水混合后相对体积不变） 10-3．（2024高一下·湖南岳阳·期末）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（    ） A．17天 B．19天 C．23天 D．25天 （八） 对数函数模型的应用 (1)形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)对于对数型函数模型问题，关键在于熟练掌握对数函数的性质，在认真审题的基础上，分析清楚底数a与1的大小关系，要关注自变量的取值范围． 借助于数学模型解决数学问题的同时，实际问题也得以顺利解决，这就是函数模型的作用． 注：对数函数应用题的基本类型和求解策略： (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　 题型11：对数函数模型的应用 11-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：（其中为样本距今年代，为现代活体中碳14放射性丰度，为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度，该人类骨骼碳14放射性丰度，则该骨骼化石距今的年份大约为（    ）（附：，，） A．3353 B．3997 C．4125 D．4387 11-2．（2024高二下·云南昆明·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速（单位：）与鲑鱼的耗氧量的单位数的关系为，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为（    ） A．1 B．100 C．200 D．300 11-3．（2024高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（    ） A．17周 B．24周 C．28周 D．26周 （九） 建立拟合函数模型解决实际问题 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤如下： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 题型12：建立拟合函数模型解决实际问题 12-1．（2024高三下·全国·阶段练习）某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 人数（单位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385 （1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势； （2）研究人员用函数拟合该地的人口数量，其中的单位是年，2014年年初对应时刻，的单位是千人，经计算可得，请解释的实际意义. 12-2．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：）的下列数据： v 0 40 60 80 12 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型. （1）求函数解析式； （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 12-3．（2024高三上·甘肃定西·阶段练习）某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别如下表所示. 月份 1 2 3 4 产量（万双） 1.02 1.10 1.16 1.18 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.如果用表示月份，用表示产量，试比较和哪一个更好一些？（函数模型，要求用第1，4月份的数据确定，；函数模型，要求用第1，2，3月份的数据确定，，，精确到0.01，，） 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2024高一上·全国·课后作业）用二分法求方程在上的解时，取中点，则下一个有解区间为（　　） A． B． C． D． 3．（2024高一上·全国·课后作业）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下: 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）可以是（    ） A．1.25 B．1.39 C．1.42 D．1.5 4．（2024高一上·江西上饶·期末）若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（    ） A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5 5．（2024高一上·吉林长春·期末）函数零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·广东江门·期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·全国·课后作业）若关于x的方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次， B．6次， C．7次， D．7次， 11．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）已知，且是方程的两根，则大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一·全国·课堂例题）方程的实根的个数为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2024高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·河北邢台·期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二上·贵州黔东南·阶段练习）设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·山东滨州·期末）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一下·云南红河·阶段练习）已知，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024高二下·河北邯郸·期末）函数的零点所在的一个区间是 A． B． C． D． 19．（2024高一上·吉林长春·期末）函数在下列区间一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 21．（2024高一上·河北保定·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一上·北京·期末）已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 24．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   25．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）下列图象表示的函数有零点的是（    ） A．  B．  C．   D．   26．（2024高一上·山西吕梁·期末）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 28．（2024高三上·福建三明·期中）已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最大值为4 C．t的取值范围是 D．的取值范围是 29．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024高一上·山东烟台·期中）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲､乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．当打车距离为时，乘客选择乙方案省钱 B．当打车距离为时，乘客选择甲､乙方案均可 C．打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加0.7元 三、填空题 31．（四川省射洪中学校2023-2024学年高一（强基班）上学期期中数学试题）函数有零点时，的范围是 . 32．（2024高一上·全国·课后作业）音量大小的单位是分贝，对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由公式(其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设dB的声音的声波强度为，dB的声音的声波强度为，则是的 倍. 33．（2024高一上·全国·课后作业）下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 34．（2024高一上·全国·课后作业）方程x＋lg x＝3解的个数为 ． 35．（2024高一上·全国·课后作业）函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是 . 36．（2024高三上·北京东城·开学考试）已知函数则函数的零点为 37．（2024高一上·全国·课后作业）若是二次函数的两个零点，则= . 38．（2024高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是 . 39．（2024高一上·全国·课后作业）方程解的个数为 . 40．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则 . 41．（2024高一下·广东广州·期中）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 42．（2024高一上·全国·课后作业）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 43．（2024高一上·河南南阳·期末）已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是 ． 44．（2024高一上·全国·专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 45．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数，，且有三个零点，则实数k的取值范围是 ． 46．（2024高一·全国·课堂例题）若方程有一解，则的取值范围为 ． 47．（2024高一上·广西百色·期末）已知函数，若关于的方程有个不同根，则实数的取值范围是 . 四、解答题 48．（2024高一上·江苏淮安·期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … (人数) … 6 … 36 … 216 … 若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． （参考数据：，，，） (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人． 49．（2024高一上·山东济宁·期末）某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 50．（2024高一上·新疆塔城·期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）．经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本．每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完． (1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 51．（2024高三上·广东茂名·期中）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．    (1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？ 52．（2024高一上·四川遂宁·期中）在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以万元的优惠价转让给了尚有万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件元；②该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系如图所示；③每月需各种开支元.当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额.    53．（2024高一上·全国·课后作业）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点. (1)； (2)； (3)； (4) 54．（2024高一·广东佛山·期末）某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表： 天数 病毒细胞的个数 已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的. (1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天，)? (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)? 55．（2024高一上·全国·课后作业）下图所示是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地间的距离是.请你根据图象解决下面的问题：    (1)谁出发较早，早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？ (2)两人在途中行驶的速度分别是多少？ (3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式； (4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式，并求解． ①自行车行驶在摩托车前面； ②自行车与摩托车相遇； ③自行车行驶在摩托车后面． 56．（2024高一上·全国·课后作业）北京时间2023年3月30日18时50分，中国在太原卫星发射中心成功将宏图一号01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，（单位：）是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比，已知A型火箭的喷流相对速度为． (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值． 参考数据：，． 57．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）某农科所计划在院内围建一块面积为的矩形基地搞新品种蔬菜种植试验，根据规划要求基地一面靠围墙，其余用栅栏围成，设矩形基地的长为m，栅栏长是m.    (1)写出关于的函数关系式： (2)由于实际需要基地的长不少于m，且不超过m，问如何设计所用栅栏长最小？最小值是多少？ 58．（江苏省南京师范大学苏州实验学校2023-2024学年高一上学期第二次阶段学情调研数学试题）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)令函数，若对，，都有，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5函数的应用（二）12题型分类 1、函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. 2、方程的解与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. 3、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－1)f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c. (3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (4)函数零点存在定理是不可逆的，由f(a)f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0. (5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解． 4、二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5、用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法． （2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． （3）二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值． （4）由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，常取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间为[1.25,1.34]，若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34. （5）在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)f(b)<0. （6）由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解． 6、函数模型的应用 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 7．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． 8．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答其实际意义． 9．数据拟合 (1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． (2)数据拟合的步骤 ①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； ②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式； ③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； ④做必要的检验． （一） 求函数的零点 求函数零点的方法 函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法： (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　　　 题型1：求函数的零点 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)零点是 (2)不存在 (3)零点是 (4)零点是3 【分析】根据函数零点的概念结合条件即得. 【详解】（1）令，解得， 所以函数的零点是； （2）令＝0， 由于， 所以方程无解， 所以函数不存在零点； （3）令，解得， 所以函数的零点是； （4）令，解得， 所以函数的零点是3. 1-2．（2024·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义即可求解. 【详解】令，得，则． 故选：A 1-3．（2024高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点． (1)； (2). 【答案】(1)9 (2)答案见解析 【分析】根据零点的定义，建立方程，利用十字相乘法解方程，结合解的性质，可得答案. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 即，所以函数的零点为. （2）由，得， ①当，时，函数有唯一零点； ②当，即时，函数有两个零点和. 1-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点为 . 【答案】和 【分析】分和两种情况讨论，通过解方程或结合函数单调性处理零点问题. 【详解】当时，令，解得； 当时，则在上单调递增，且， 故在内有且仅有一个零点2； 综上所述：函数的零点为和. 故答案为：和. 1-5．（2024高三上·福建莆田·开学考试）设函数，则方程的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换元法求出方程的解集作答. 【详解】函数，令，则方程化为， 当时，，解得，当时，，解得，因此或， 当时，，显然，即，解得， 当时，，若，则，解得，若，则，解得，因此或， 所以方程的解集为. 故答案为： （二） 判断函数零点的个数 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法 (1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数． (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． (3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　 题型2：判断函数零点的个数 2-1．（2024高一·全国·课后作业）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数图象的交点个数即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程的实数解的个数为1， 故选：B    2-2．（2024高一下·江苏南通·阶段练习）函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】将问题转化为函数与的交点个数，作出函数图象即可得到结果. 【详解】函数的零点个数等价于方程的解得个数， 即函数与的交点个数， 作出函数与的图象如下图所示，    由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点， 函数的零点个数为. 故答案为：. 2-3．（2024高三·全国·对口高考）函数的图象与函数的图象的交点个数为 个． 【答案】2 【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图象观察其交点个数． 【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图，它们交点个数为2．    故答案为：2. 2-4．（2024高三·全国·对口高考）已知，方程的实根个数为 ． 【答案】2 【分析】分别作出和的图象，结合图象即可得到答案． 【详解】由，则， 则令，， 分别作出它们的图象如下图所示，    由图可知，有两个交点，所以方程的实根个数为2． 故答案为：2． （三） 判断零点所在的区间 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 注：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 题型3：判断零点所在的区间 3-1．（2024高一·全国·课堂例题）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理分析判断即可 【详解】构造函数， 因为和在上单调递减，所以函数在上单调递减， 且函数的图象是一条连续不断的曲线， 因为，，， 由的单调性可知，，则， 故函数的零点所在的区间为， 即方程的根属于区间． 故选：C 3-2．（2024高一上·重庆长寿·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用零点存在定理代入区间端点处的值判断即可得出结果. 【详解】易知函数定义域为，且函数单调递增， 又，所以上没有零点； ， ，由零点存在定理可知， 所以零点所在区间是. 故选：D 3-3．（2024高一下·甘肃·期末）若是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用零点存在性原理即可求出解的区间. 【详解】因为函数在定义上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间是，即． 故选：C. 3-4．（2024高一下·湖南·阶段练习）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增， ∵， ， ， 函数的零点所在的区间为. 故选：C 3-5．（2024高一下·海南省直辖县级单位·期中）若是函数的零点，则属于区间（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意是函数的解，根据指数函数和幂函数的增减性进行解答即可. 【详解】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得， 所以，即. 又为上的减函数， 由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点. 故选：B． （四） 函数零点性质的应用 1、已知函数有零点(方程有根)，求参数值常用的方法和思路 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围; (2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解. 2、一元二次方程根的分布问题关注三个方面：①判别式；②对称轴的范围；③区间端点的函数值的正负.　 题型4：已知零点个数求参数的取值范围 4-1．（2024高一·全国·课后作业）若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】令，画出的图象，由图象知直线与的图象有两个交点即可. 【详解】令， 令，则， 画出的大致图象如下： 由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点，符合题意， 故a的取值范围为，    4-2．（2024·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 4-3．（2024·湖北·模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可得有解， 所以，解得或， 当时，必有，解得； 当时，必有，不等式组无解， 综上所述，，∴的取值范围为. 故选：A 4-4．（2024高一下·湖北荆州·阶段练习）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点的问题，画出函数图象，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】令， 由于当时，，，且； 当时，，，且， 作出函数的图象如图所示， 则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根， 的取值范围是． 故选：C． 题型5：已知零点所在区间求参数的取值范围 5-1．（2024高一上·江苏南通·期末）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由零点的存在性定理求解即可 【详解】因为在单调递增，且有零点， 所以，解得， 故答案为： 5-2．（宁夏回族自治区银川一中2023届高三三模数学（理）试题）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理即可得，解出实数的取值范围为. 【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点， 显然函数为增函数，只需满足，即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 题型6：比较零点的大小 6-1．（2024高一上·湖北鄂州·期末）已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断结果. 【详解】由得，， 由方程得的根为 a，由方程得的根为b. 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，    由图象知，，，. 故选：B 6-2．（2024高一下·河南洛阳·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可将函数的零点转化为函数、、与的交点的横坐标，画出函数图象，结合图象即可判断； 【详解】解：依题意令，即， 同理可得，， 则函数的零点转化为、、与的交点的横坐标， 在平面直角坐标系上画出函数图象如下： 由图可得，，，即. 故选：D 6-3．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）设正实数分别满足，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可. 【详解】由已知可得，，， 作出的图像如图所示： 它们与交点的横坐标分别为， 由图像可得， 故选：B 题型7：求零点之和 7-1．（2024高一上·全国·单元测试）是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的对称性，即可判断. 【详解】因为函数是上的偶函数，所以函数图象关于轴对称，那么，即有5个实数根，可知其中4个实数根，有两对关于轴对称，另外一个为，所以这些根的和为0. 故选：C 7-2．（2024高三上·四川成都·开学考试）已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案. 【详解】由题意，因为，所以为奇函数， 由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的， 所以的图象关于点对称. 而所表示的直线也关于点对称， 所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以. 故选：B. 7-3．（2024高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解． 【详解】设，则， ①当时，，得； ②当时，，得； 综上所述：若，则或. 故或，则有： ①由，可得或，解得或； ②由，可得或，解得或； 综上所述：函数的所有零点为，，，4. 故所有零点的和为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意分和两种情况讨论，运算求解, （五） 二分法的概念 1、二分法的概念 判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 2、二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　 题型8：二分法的概念的应用 8-1（2024高一·全国·课后作业）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　) A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据零点的存在定理可知，函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，分析个图象，即可求解，得到答案． 【详解】根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点． 故选C 【点睛】本题主要考查了二分法的概念及其应用，其中解答中熟记二分法的思想和零点的存在定理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 8-2．（2024高一·全国·课后作业）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合零点存在性定理及二分法即可求解. 【详解】， 则，即初始区间可选． 故选：C. 8-3．（2024高一·江苏·单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（    ） A．（k，b为常数，且） B．（a，b，c为常数，且） C． D．（，k为常数） 【答案】A 【分析】根据二分法的概念，结合一次函数，二次函数，指数函数，反比例函数的性质依次讨论求解即可. 【详解】解：由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C，D不能用“二分法”求其零点，故CD错误； 对于二次函数（a，b，c为常数，且），当时，不能用二分法，故B错误； 由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确. 故选：A （六） 用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 1、利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　 题型9：用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 9-1．（2024高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“用二分法求方程的近似解”的步骤即可得出答案. 【详解】根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为， 当时，即表示满足精度要求，可以确定近似解． 故选：B 9-2．（2024高一上·全国·课后作业）用二分法可以求得方程的近似解(精确度为0.1)为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法逐步计算求解即可. 【详解】令，记其零点为， 易知，所以， 又，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又， 所以区间内的实数均可作为方程的近似解. 故选：D 9-3．（2024高一上·江苏淮安·期末）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483 要使零点的近似值精确到0.1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次0.7 B．6次0.6 C．5次0.7 D．5次0.6 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，对区间内，需要求解 的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为， 共计算次. 故选：C （七） 指数型模型的应用 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 注；函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 题型10：指数型模型的应用 10-1．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟 【答案】B 【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案. 【详解】由题知，，， ， ， ， ， . 故选：B. 10-2．（2024高一·全国·课后作业）从盛满纯酒精的容器里到倒出酒精，然后用水充满，再倒出混合溶液，再用水充满，这样继续下去，若第次倒出纯酒精为（单位：L），则函数的表达式为 ．（假设酒精与水混合后相对体积不变） 【答案】 【分析】根据题意写出酒精残留量，再求出倒出纯酒精即可得到答案． 【详解】第1次酒精残留量， 第2次酒精残留量， 即第次酒精残留量,. 则第次倒出纯酒精为 故答案为：. 10-3．（2024高一下·湖南岳阳·期末）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（    ） A．17天 B．19天 C．23天 D．25天 【答案】C 【分析】根据题意得，根据对数的运算性质即可求解. 【详解】经过x天后，“进步”与“落后”的比， 所以， 两边取以为底的对数得，又，， 所以， 解得， 所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍. 故选：C. （八） 对数函数模型的应用 (1)形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)对于对数型函数模型问题，关键在于熟练掌握对数函数的性质，在认真审题的基础上，分析清楚底数a与1的大小关系，要关注自变量的取值范围． 借助于数学模型解决数学问题的同时，实际问题也得以顺利解决，这就是函数模型的作用． 注：对数函数应用题的基本类型和求解策略： (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．　　　 题型11：对数函数模型的应用 11-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：（其中为样本距今年代，为现代活体中碳14放射性丰度，为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度，该人类骨骼碳14放射性丰度，则该骨骼化石距今的年份大约为（    ）（附：，，） A．3353 B．3997 C．4125 D．4387 【答案】B 【分析】首先求出再代入公式，利用参考数据计算可得. 【详解】由题知，， ∴. 故选：B. 11-2．（2024高二下·云南昆明·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速（单位：）与鲑鱼的耗氧量的单位数的关系为，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为（    ） A．1 B．100 C．200 D．300 【答案】B 【分析】根据和的值，求出的值. 【详解】因为，所以当鲑鱼静止时，，即， 化简得，所以； 故选:B. 11-3．（2024高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（    ） A．17周 B．24周 C．28周 D．26周 【答案】D 【分析】由已知数据求得参数，然后解不等式即可得． 【详解】，由，，得，， 两式相减得，则，所以，. 该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则， 则，即，解得， 故至少需要通风26周. 故选：D． （九） 建立拟合函数模型解决实际问题 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤如下： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 题型12：建立拟合函数模型解决实际问题 12-1．（2024高三下·全国·阶段练习）某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 人数（单位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385 （1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势； （2）研究人员用函数拟合该地的人口数量，其中的单位是年，2014年年初对应时刻，的单位是千人，经计算可得，请解释的实际意义. 【答案】（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人） 【解析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少； （2）根据函数的表达式及题意，可得表示2014+t年的人口数量，不难得到的实际意义． 【详解】（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：； 从2015年到2016年该地的人口增长数量：； 从2016年到2017年该地的人口增长数量：； 从2017年到2018年该地的人口增长数量：； 从2018年到2019年该地的人口增长数量：； 故2016年到2017年的人口的增长数量最大. 2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势. （或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）. （2）由题意，2014年年初对应时刻，表示2014+t年的人口数量， ，表示2014+6.5=2020.5年的人口数量， 故其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人. 【点睛】本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题. 12-2．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：）的下列数据： v 0 40 60 80 12 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型. （1）求函数解析式； （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【答案】（1）；（2）以的速度行驶时总耗油量最少. 【解析】（1）代入数据解方程即可得、、，即可得解； （2）表示出总耗油量的函数，由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由已知数据得，解得， 所以； （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t， 由题意得 ， 因为，所以当时，y有最小值30. 答：这辆车在该测试路段上以的速度行驶时总耗油量最少，最少为. 【点睛】本题考查了函数的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 12-3．（2024高三上·甘肃定西·阶段练习）某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别如下表所示. 月份 1 2 3 4 产量（万双） 1.02 1.10 1.16 1.18 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.如果用表示月份，用表示产量，试比较和哪一个更好一些？（函数模型，要求用第1，4月份的数据确定，；函数模型，要求用第1，2，3月份的数据确定，，，精确到0.01，，） 【答案】更好些 【分析】通过计算可知：采取模型可知有两个数据有误差，采取模型可知只有一个数据有误差，由此即可得解. 【详解】（函数模拟）设， 将1，4月份的数据代入，则， 解得，所以. 把和3代入，分别得到和1.14， 又，. （函数模拟）设，将1，2，3月份的数据代入， 得，解得，所以. 把代入，得， 又. 相比两个函数的模拟结果，可知由模型计算得更好些. 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据二分法分析运算. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过n次操作后，区间的长度为， 令，即，计算中点函数值的次数最少为7. 故选：B． 2．（2024高一上·全国·课后作业）用二分法求方程在上的解时，取中点，则下一个有解区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算,可得答案. 【详解】令，易得为增函数，又因为， ， ， 所以下一个有根区间为 故选：D 3．（2024高一上·全国·课后作业）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下: 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）可以是（    ） A．1.25 B．1.39 C．1.42 D．1.5 【答案】C 【分析】根据二分法及函数零点的判定定理判断即可； 【详解】依据题意，，， 所以方程的一个近似解为1.42，满足误差不超过0.025， 故选：C. 4．（2024高一上·江西上饶·期末）若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（    ） A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5 【答案】B 【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果. 【详解】因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度； 所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B 5．（2024高一上·吉林长春·期末）函数零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即可得解. 【详解】由单调性的性质易得在上单调递增， 又，， 所以的零点所在的区间是. 故选：C. 6．（2024高一上·广东江门·期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解． 【详解】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图可得. 故选：B 7．（2024高一上·全国·课后作业）若关于x的方程有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题意转化为与的图象有交点，画出与的图象即可得出答案. 【详解】关于x的方程有解，即与的图象有交点， 画出与的图象如下图，      则，则. 故选：B. 8．（2024高三·全国·专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数单调性，根据零点所在区间，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数的一个零点在区间内得， 解得， 故选：A 9．（2024高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数. 【详解】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且， 故所需二分区间的次数最少为7. 故选：C. 10．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（    ） A．6次， B．6次， C．7次， D．7次， 【答案】D 【分析】根据题目条件结合二分法得到最少等分了7次，并求出近似解. 【详解】由题中数据知，零点区间变化如下： ， 此时区间长度小于，在区间内取近似值，最少等分了7次，近似解取. 故选：D. 11．（2024高一上·浙江温州·阶段练习）已知，且是方程的两根，则大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案. 【详解】，由题意得，，而，借助图象可知， 的大小关系可能是， 故选：D. 12．（2024高一·全国·课堂例题）方程的实根的个数为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求方程的实根个数，等价于函数与图像的交点个数，在同一坐标系中作出它们的图像，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数与的大致图像，如图由图像，可观察出两个函数图像共有两个不同的交点，故方程有两个根．    故选：C. 13．（2024高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可. 【详解】若函数存在1个零点位于内， 单调递增,又因为零点存在定理， . 故选：A. 14．（2024高一上·河北邢台·期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果. 【详解】由题意作函数与的图象， ∵方程有四个不同的解且， ∴关于对称，即， 当得或，则， 由题知，，故， 所以， 故， 因为， 设，则由对勾函数的性质可知， 在单调递增，所以， 的取值范围是 故选：B. 15．（2024高二上·贵州黔东南·阶段练习）设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知； 构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知. 因为，则，因此，. 故选：B. 16．（2024高一上·山东滨州·期末）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增， 因此函数在上都单调递减， 在上最多一个零点，，即有， ，则，而，即， 所以. 故选：A 17．（2024高一下·云南红河·阶段练习）已知，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数. 【详解】由题设，当时且递减，当时且递减， 令，则，可得或，如下图示：      由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点. 故选：C 18．（2024高二下·河北邯郸·期末）函数的零点所在的一个区间是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：计算区间端点处值（在端点不存在时研究函数的变化趋势）． 详解：，在和上是增函数，时，，时，，因此存在零点的一个区间是． 故选B． 点睛：本题考查零点存在定理：在区间上连续的函数满足，则在上存在零点．另外如果还是单调的，则只有一个零点． 19．（2024高一上·吉林长春·期末）函数在下列区间一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，，，即，可以知道函数在区间上一定有零点． 【详解】由题意知，，， 所以， 故函数在上一定有零点． 故答案为B. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题． 20．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 【答案】C 【分析】 根据指数增长模型列式求解. 【详解】设2020后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元， 则，即， 解得， 则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026． 故选：C． 21．（2024高一上·河北保定·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果． 【详解】由题意作函数与的图象如下， ∵方程有四个不同的解，且， ∴关于对称，即， 当得或，则，故， 故选：A. 22．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求a的范围. 【详解】和在上是增函数， 在上是增函数， 只需即可，即，解得． 故选：B. 23．（2024高一上·北京·期末）已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到，，的大小关系. 【详解】在同一平面直角坐标系内作出 的图像 过点；过点； 过点；过点， 则与图像交点横坐标依次增大， 又与图像 交点横坐标分别为，则. 故选：C 二、多选题 24．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【分析】根据二分法的要求，即能用二分法求近似值的零点需满足为变号零点，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二或多个小区间， 然后采用二分法逐步得到零点的近似值， 对各图象分析可知，A、B、D都符合条件， 而选项C不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化， 因此不能用二分法求函数零点， 故选：ABD 25．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）下列图象表示的函数有零点的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】BCD 【分析】根据零点定义，数形结合即可容易判断. 【详解】函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标. A项中函数图象与x轴没有交点，所以该函数没有零点； B项中函数图象与x轴有一个交点，所以该函数有一个零点； C，D两项中的函数图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点. 故选：BCD 26．（2024高一上·山西吕梁·期末）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 则直线与函数的图象个交点横坐标分别为， 对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确； 对于B：由图象可知，且， ∴，即，所以，故B正确； 当时，， 由图象可知，则，故C错误； 由图象可知， 所以，故D错误. 故选：AB. 27．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案. 【详解】函数的两个零点即函数与的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图： 则，，即，，故D错误； 由图可知，且，，则， 由，，则，即，可得，即， 故A、C正确，B错误. 故选：AC. 28．（2024高三上·福建三明·期中）已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最大值为4 C．t的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】首先作出函数的图象，根据图象的对称性，判断A； 根据基本不等式判断B； 根据图象，以及与函数的图象有3个交点，判断C； 求出的范围，即可求解的取值范围，判断D. 【详解】如图，作出函数的图象，根据，可知，是与的两个交点， 根据对称性可知，则， 因为，所以，故A正确，B错误； ， 由图可知t的取值范围是，故C错误； 因为，所以，又，则的取值范围是，故D正确． 故选：AD 29．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 30．（2024高一上·山东烟台·期中）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲､乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．当打车距离为时，乘客选择乙方案省钱 B．当打车距离为时，乘客选择甲､乙方案均可 C．打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加0.7元 【答案】BC 【分析】根据函数图象可知当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱；打车距离为时，甲､乙方案费用相等；由图象可知打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多，且甲方案行程大于每增加1公里费用增加1元. 【详解】对于A，当打车距离为时，甲对应的函数图象在乙图象的下方， 即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱，即A错误； 对于B，当打车距离为时，由图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲､乙方案均可，即B正确； 对于C，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为（元）， 乙方案每公里增加的费用为（元），故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即C正确； 对于D，由图可知，甲方案内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加1元，故D错误； 故选：BC 三、填空题 31．（四川省射洪中学校2023-2024学年高一（强基班）上学期期中数学试题）函数有零点时，的范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法求出的范围可得答案. 【详解】有零点，等价于有解， 令，得，； 当，即时，； 当，即时，； 若，则，当且仅当时取等号，所以； 若，则，当且仅当时取等号，所以，即； 综上可得. 所以的范围是. 故答案为： 32．（2024高一上·全国·课后作业）音量大小的单位是分贝，对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由公式(其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设dB的声音的声波强度为，dB的声音的声波强度为，则是的 倍. 【答案】10 【分析】根据公式，代入求和，再结合对数运算，即可求解. 【详解】由题意得，，所以， 则，所以. 故答案为： 33．（2024高一上·全国·课后作业）下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 【答案】1.4(答案不唯一) 【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由题设有，于是， 所以，函数在区间内有零点，此时， 取区间的中点，又， 因为，所以，此时， 再取的中点，又， 因为，所以，此时， 再取的中点，又， 因为，所以，此时， 再取的中点，又， 因为，所以，此时， 再取的中点，又， 因为，所以， 所以，当精确度为0.1时，方程的一个近似解为1.438． 故答案为：1.4． 34．（2024高一上·全国·课后作业）方程x＋lg x＝3解的个数为 ． 【答案】1 【分析】解法一，将方程的解转化为两个函数的交点个数；解法二，构造函数，利用零点存在性定理，结合函数的单调性，即可判断方程的个数. 【详解】解法一　令，令， 则， 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示．    由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点， 即函数只有一个零点．故原方程只有1个解． 解法二　设，因为，， 所以，说明函数在区间内有零点． 又在区间上是增函数，所以原方程只有一个解． 故答案为：1 35．（2024高一上·全国·课后作业）函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用判别式法即可得到答案. 【详解】由题意可知，方程有两个不同解，故，即. 故答案为：. 36．（2024高三上·北京东城·开学考试）已知函数则函数的零点为 【答案】 【分析】结合函数的解析式分类讨论求解即可． 【详解】当时，由，即，解得或（舍）， 当时，由，解得， 综上可得，函数的零点为． 故答案为：． 37．（2024高一上·全国·课后作业）若是二次函数的两个零点，则= . 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可得出答案. 【详解】因为是二次函数的两个零点， 所以的两根为， 所以， 所以. 故答案为： 38．（2024高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为与有两个交点，数形结合判断参数范围. 【详解】由题设与有两个交点， 根据的解析式，可得其图象如下：    当时，；当时，； 要使与有两个交点，则. 故答案为： 39．（2024高一上·全国·课后作业）方程解的个数为 . 【答案】1 【分析】根据函数零点存在定理，或者函数与方程的思想判断函数图象交点个数即可得出答案. 【详解】解法一：令，则； 在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示.      由图可知函数与的图象只有一个交点， 即函数只有一个零点. 故原方程只有1个解. 解法二：因为，， 所以，说明函数在区间内有零点. 又在区间上是增函数，所以原方程只有一个解. 故答案为：1 40．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则 . 【答案】2 【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数在区间内存在零点即可得出结果. 【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增， 易知， 而，所以, 根据零点存在定理可知，函数在区间内存在零点， 所以可得. 故答案为： 41．（2024高一下·广东广州·期中）已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意，关于x的方程有四个不同的实数根转化为两函数图象有四个不同的交点，结合图象再转化为二次函数零点的分步问题进行求解. 【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根， 如图作出函数的图象，结合函数图象，则， 所以直线与曲线有两个不同的公共点， 所以在有两个不等实根， 令， 实数a满足， 解得．    故答案为： 42．（2024高一上·全国·课后作业）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数零点转化为方程实数根，讨论和两大类情况，结合根的分布，列式求解. 【详解】若函数在区间内恰有一个零点， 则方程在区间内恰有一个根， 若，则方程可化为：，得，不成立； 若时，设方程的两根为，且，得，且， 当时，有 故，，不符合题意； 若时，则函数图象开口向上，又， 若函数在上恰有一个零点，则，所以. 综上：. 故答案为： 43．（2024高一上·河南南阳·期末）已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数零点定义，结合换元法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示：    令，函数可化为， 函数有7个零点，等价于方程有7个不相等的实根， 当时，可有三个不相等的实根， 当时，可有四个不相等的实根， 当时，可有三个不相等的实根， 设的两根为，且， 若，方程无零根，不符合题意， 若，，由题意可知： ， 若，则有，此时， 这时，显然不满足， 综上所述：实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是把函数零点问题转化为方程的实根问题，运用数形结合思想. 44．（2024高一上·全国·专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 【答案】3 【分析】时，，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．从而可求出结果. 【详解】∵函数是定义域为的奇函数， ∴，所以0是函数的一个零点， 当时，令， 得到， 分别画出函数和的图像，如图所示，有一个交点，      所以函数在上有一个零点， 又根据对称性知，当时，函数也有一个零点. 综上所述，的零点个数为3. 故答案为：3. 45．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数，，且有三个零点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数性质，作出函数的图象，借助图象求出k的范围作答. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值从2减小到0，在上单调递增，函数值从0增大到1， 当时，在上递减，函数值从1减小到，在上递增，函数值集合为， 由，得，因此函数有三个零点，即直线与函数的图象有3个公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 46．（2024高一·全国·课堂例题）若方程有一解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】方程有一解，即与的图象有一个交点，画出图象可得答案． 【详解】函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位长度后， 再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上方得到的， 函数图象如下图所示，    当或时，直线与函数的图象有唯一的交点， 即方程有一解． 故答案为：. 47．（2024高一上·广西百色·期末）已知函数，若关于的方程有个不同根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，结合函数图象，可知有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上，构造，结合二次函数根的分布，列出不等式，解出的范围，可得结论. 【详解】作出函数的图象如图：关于x的方程有6个不同根， 令，，即方程有2个不同的解， 可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上. 令， 若在上和上各有一个不同的零点，所以，解得， 若在有两个不同的零点，所以，该不等式组无解， 综上，∴. 故答案为：    . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于作出的图象，结合二次函数的性质判断概的位置，从而得解. 四、解答题 48．（2024高一上·江苏淮安·期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … (人数) … 6 … 36 … 216 … 若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． （参考数据：，，，） (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人． 【答案】(1)， (2)11个 【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果； （2）根据指对互化以及对数运算求得结果. 【详解】（1）若选，将，和，代入得，解得 得，代入有，不合题意． 若选，将，和，代入得， 解得，得．代入有，符合题意． （2）设至少需要x个单位时间，则，即， 则，又，， ，∵， ∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人． 49．（2024高一上·山东济宁·期末）某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 【答案】(1) (2)至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室 【分析】（1）时，设，根据图象列式求解，从而得函数解析式； （2）解不等式，，可得结论． 【详解】（1）由图象可知：当时，图象为正比例函数图象，设为， 可得，解得 所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为. （2）当，令，则， 整理得，则，解得， 所以至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室. 50．（2024高一上·新疆塔城·期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）．经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本．每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完． (1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)105千件，最大利润是1000万元 【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可； （2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值． 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以； （2）当时，， 当时，取得最大值，且最大值为950， 当时， ， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大， 最大利润是1000万元. 51．（2024高三上·广东茂名·期中）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．    (1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？ 【答案】(1)， (2)从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大 【分析】（1）采用待定系数法假设一次函数和二次函数解析式，代入已知点即可求得结果； （2）收益为，结合二次函数最值可求得结果. 【详解】（1）当时，设，则，解得：，； 当时，设，则，解得：，； 综上所述：； 设， ，解得：，. （2）设从二月一日起的第天的纯收益为，由题意知：， 即 当时，， 当时，在区间上取得最大值； 当时，， 当时，在区间上取得最大值； 综上可知：当时，取得最大值，最大值为， 即从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大． 52．（2024高一上·四川遂宁·期中）在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以万元的优惠价转让给了尚有万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件元；②该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系如图所示；③每月需各种开支元.当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额.    【答案】当元， 元 【分析】根据题意列出分段函数的解析式，由分段函数求值域的方法即可求得最大余额. 【详解】设该店月利润余额为，则由题设得，① 由销量图，易得， 代入①式得， 当时， 当元， 元， 当时， ， 当元时，元.， 因为，所以当元， 元， 故当商品的价格为每件元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大，最大余额为元. 53．（2024高一上·全国·课后作业）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点. (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)和1 (2) (3)2 (4)和 【分析】根据零点定义，令函数为0，解出值即可. 【详解】（1）令， 解得或. 所以函数的零点为，1. （2）令，即，解得. 所以函数的零点为. （3）令，即，解得. 所以函数的零点为2. （4）当时，由，即，也就是， 解得或.因为，所以； 当时，由，即， 解得，满足. 所以函数的零点为和. 54．（2024高一·广东佛山·期末）某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表： 天数 病毒细胞的个数 已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的. (1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天，)? (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)? 【答案】(1)第天 (2)第天 【分析】（1）建立第一次注射药物前病毒细胞个数关于天数的函数关系式，由此可得，左右取对数后，结合对数运算性质可求得结果； （2）结合（1）中关系式可构造不等式，解不等式可求得结果. 【详解】（1）由题意知：第一次注射药物前病毒细胞个数关于天数的函数关系式为， 为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则，， 解得：，又，第一次最迟应在第天注射该种药物． （2）由题意知：注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为， 则再经过天后小白鼠体内的病毒细胞个数为， 由得，， 即，， 再经过天必须注射药物，即第二次最迟应在第天注射该种药物. 55．（2024高一上·全国·课后作业）下图所示是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地间的距离是.请你根据图象解决下面的问题：    (1)谁出发较早，早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？ (2)两人在途中行驶的速度分别是多少？ (3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式； (4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式，并求解． ①自行车行驶在摩托车前面； ②自行车与摩托车相遇； ③自行车行驶在摩托车后面． 【答案】(1)骑自行车者出发较早，早；骑摩托车者到达乙地较早，早 (2)， (3)， (4)答案见解析 【分析】（1）依题意，理解行驶图像即可得解； （2）利用距离除以时间等于速度即可得解； （3）利用待定系数法即可得解； （4）依题意列出不等式，利用一次不等式的解即可得解. 【详解】（1）由题图可以看出：骑自行车者出发较早，早；骑摩托车者到达乙地较早，早. （2）对骑自行车者而言：行驶的距离是，耗时， 所以其速度是：； 对骑摩托车者而言：行驶的距离是，耗时， 所以其速度是. （3）依题意，可设自行车行驶过程的函数图象为， 将代入，得，解得， 所以； 设摩托车行驶过程中的函数图象为， 因为当时，，而且当时，； 所以，解得， 所以表示摩托车行驶过程的函数解析式为. （4）在时间段内两车均行驶在途中． ①自行车行驶在摩托车前面：，所以. ②由题意得，，得. ③自行车行驶在摩托车后面：，得. 56．（2024高一上·全国·课后作业）北京时间2023年3月30日18时50分，中国在太原卫星发射中心成功将宏图一号01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，（单位：）是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比，已知A型火箭的喷流相对速度为． (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值． 参考数据：，． 【答案】(1)最大速度约为 (2)74 【分析】（1）由，代入已知公式计算； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）当总质比为200时，， ∴当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为． （2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比变为， 要使火箭的最大速度至少增加，则需， 化简得，， ∴，整理得，∴，则， 由参考数据，知， ∴， ∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74． 57．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）某农科所计划在院内围建一块面积为的矩形基地搞新品种蔬菜种植试验，根据规划要求基地一面靠围墙，其余用栅栏围成，设矩形基地的长为m，栅栏长是m.    (1)写出关于的函数关系式： (2)由于实际需要基地的长不少于m，且不超过m，问如何设计所用栅栏长最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)长为m时所用的栅栏的最小，最小值为m. 【分析】（1）根据矩形面积公式可知基地宽为，即可得出关于的函数关系式； （2）根据对勾函数性质可得当基地长为m时所用的栅栏的最小，最小值为m. 【详解】（1）根据题意可得，矩形基地的宽为， 所以栅栏长； 即关于的函数关系式为. （2）由题意知； 由对勾函数性质函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，随着的增大而增大， 因此，当基地的长为m时所用的栅栏的最小，最小值为m. 即当长为m时所用的栅栏的最小，最小值为m. 58．（江苏省南京师范大学苏州实验学校2023-2024学年高一上学期第二次阶段学情调研数学试题）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)令函数，若对，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)； 【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性； （2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可； （3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可求出的取值范围. 【详解】（1），且是奇函数， ， ，解得， ． 检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称， ， 所以是奇函数，满足要求； 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 函数在上单调递减. 同理可证明函数在上单调递增． （2）函数在上有两个零点， 即方程在上有两个不相等的实数根， 所以在上有两个不相等的实数根， 则， 解得. （3）由题意知， 令，， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， ， 因为函数的对称轴方程为， 函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ， 即， 解得， 又， 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$