2.1直线的倾斜角与斜率（七个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

2.1直线的倾斜角与斜率 一、求直线的倾斜角 五、由斜率判断两条直线平行或垂直 二、直线的斜率 六、已知直线平行或垂直求参数 三、倾斜角与斜率的变化关系 七、平行、垂直在几何中的应用 四、斜率公式的应用 知识点1直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点2直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 3.直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 重难点一 求直线的倾斜角 【例1】直线的倾斜角大小是 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为， 所以， 故答案为: . 【例2】已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系， 得， 所以直线的倾斜角为. 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为 ．    【答案】 【详解】直线的倾斜角为． 故答案为：. 【变式1-2】若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 【变式1-3】在平面直角坐标系中有一个矩形，其中点O为坐标原点，点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标是，求直线和直线的倾斜角． 【答案】直线的倾斜角为，直线的倾斜角为 【详解】依题意可得， ，， 则，，又因为倾斜角的范围为， 所以直线OB的倾斜角为，直线AC的倾斜角为． 重难点二 直线的斜率 【例3】（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由图可得，，故A、D正确. 故选：AD. 【例4】设为轴上的一点，，若直线的斜率是直线的斜率的2倍，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设，由条件，则，解得， 故. 【变式2-1】若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 【变式2-2】直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得， 解得：. 故答案为：. 【变式2-3】已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 重难点三 倾斜角与斜率的变化关系 【例5】已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【例6】经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【详解】   如图所示，可知直线自位置绕P旋转至位置的过程中都可符合题意， 该过程中直线的斜率在， 易知，， 故，则倾斜角. 故答案为： 【变式3-1】已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，且， 所以或， 故选：D 【变式3-2】已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 【答案】 【详解】直线的斜率取值范围为，即，则， 所以倾斜角的范围为. 故答案为： 【变式3-3】已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 重难点四 斜率公式的应用 【例7】直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点， 设分别交于，，角平分线交于点， 所以， 又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为， 所以直线的斜率， 所以，即， 所以为中点. 由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以， 因为不垂直，所以不是直角. 当为锐角时，则夹角为，所以； 当为钝角时，则夹角为的补角，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 【例8】若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式4-1】一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    【变式4-2】若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 【答案】/ 【详解】 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3， 建立如图平面直角坐标系， 设对角线OB所在直线的倾斜角为，则， 由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 故， ， 则 故答案为： 【变式4-3】点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    知识点3两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 知识点4两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 重难点五 由斜率判断两条直线平行或垂直 【例9】（多选）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可得：，，，，， 因为，可知，故A正确； 因为，可知，故B正确； 因为，可知PS与QS不平行，故C错误； 因为，可知，故D正确； 故选：ABD. 【例10】下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 【答案】①③④ 【详解】对于①，直线的斜率，直线的斜率，，所以； ②直线的斜率，所以不平行于； ③直线的斜率，直线的斜率，，所以； ④轴，轴，即直线与直线的倾斜角都为，所以. 故答案为：①③④ 【变式5-1】（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 【变式5-2】（多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确； 对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确； 对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确； 对于D, 若，不妨取， 则，不满足，不垂直，D错误， 故选： 【变式5-3】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 重难点六 已知直线平行或垂直求参数 【例11】已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 【例12】已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 【变式6-1】已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，解得， 故选：B. 【变式6-2】在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【详解】由已知， 当时， 所以，解得， 当时， ，解得， 经验证：当时，不重合. 故答案为：；. 【变式6-3】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，得直线BC的倾斜角为，而点B的横坐标为6，则， 又直线BH的斜率，， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 重难点七 平行、垂直在几何中的应用 【例13】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 【例14】（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 【变式7-1】已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【详解】（1）因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． （2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． （3）若为直角顶点，由（1）知； 若为直角顶点，由（2）知； 若为直角顶点，由（2）知． 综上可知，或或． 【变式7-2】（多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 【变式7-3】已知点，，，，试判定四边形的形状． 【答案】直角梯形 【详解】由斜率公式可得：，，，， 因为，可知， 因为，可知与BC不平行， 又因为，可知， 所以四边形ABCD是直角梯形． 一、单选题 1．下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 【答案】A 【详解】对于A，两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行，A正确； 对于B，当时，直线不存在斜率，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：A 2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A 3．已知点，若直线，则的值为（　　） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 【答案】A 【详解】∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行. ∵，则CD与x轴不垂直，∴，即. 当AB与x轴垂直时，，解得， 此时，点C，D的纵坐标均为，则轴，此时，满足题意； 当AB与x轴不垂直时，，， ∵，∴，即，解得. 综上，m的值为或， 故选：A. 4．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 5．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 6．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 二、多选题 7．直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 8．已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ACD 【详解】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为， 将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，， 当时，如图所示： 由题意知， 因为为等腰三角形，且顶角为钝角， 所以为钝角或为钝角， 若为钝角，则， 所以 ， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 若为钝角，则，    所以， ， ， 所以， 所以直线的斜率为，故C选项正确； 当时，如图所示：    因为为等腰三角形，则， 所以 ， 所以由，解得或（舍）， 所以， 所以直线的斜率为，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 9．若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【详解】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 10．在平面直角坐标系xOy中，角，的终边分别与单位圆交于点A，B，若直线AB的斜率为，则= . 【答案】/ 【详解】由题意，所以. 不妨设，则，令，则，所以， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 11．已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 【答案】 【详解】如图所示，直线相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，是过P点且与x轴垂直的直线． 当从PN位置转到位置时，倾斜角增大到，而，所以． 又当从位置转到PM位置时，倾斜角大于， 由正切函数的性质知，，所以． 综上所述，． 故答案是：. 12．已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率. 【答案】 【详解】如图，设直线的倾斜角为，斜率为，则， 故. 故直线的斜率为. 13．已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）当时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为； 当时，由斜率公式得. （2）当时，直线AB的倾斜角为； 当时，因为， 所以， 所以. 由正切函数图象可知，    综上，倾斜角的取值范围为. 14．在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【答案】四边形OPQR为矩形. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1直线的倾斜角与斜率 一、求直线的倾斜角 五、由斜率判断两条直线平行或垂直 二、直线的斜率 六、已知直线平行或垂直求参数 三、倾斜角与斜率的变化关系 七、平行、垂直在几何中的应用 四、斜率公式的应用 知识点1直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点2直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 3.直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 重难点一 求直线的倾斜角 【例1】直线的倾斜角大小是 ． 【例2】已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为 ．    【变式1-2】若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【变式1-3】在平面直角坐标系中有一个矩形，其中点O为坐标原点，点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标是，求直线和直线的倾斜角． 重难点二 直线的斜率 【例3】（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【例4】设为轴上的一点，，若直线的斜率是直线的斜率的2倍，则点的坐标为 . 【变式2-1】若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【变式2-2】直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【变式2-3】已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 重难点三 倾斜角与斜率的变化关系 【例5】已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6】经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 . 【变式3-1】已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 【变式3-3】已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 重难点四 斜率公式的应用 【例7】直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 【例8】若三点，， (其中)共线，则 . 【变式4-1】一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【变式4-2】若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 【变式4-3】点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 知识点3两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 知识点4两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 重难点五 由斜率判断两条直线平行或垂直 【例9】（多选）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例10】下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 【变式5-1】（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【变式5-2】（多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 【变式5-3】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 重难点六 已知直线平行或垂直求参数 【例11】已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【例12】已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【变式6-2】在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 【变式6-3】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为 ． 重难点七 平行、垂直在几何中的应用 【例13】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【变式7-1】已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【变式7-2】（多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【变式7-3】已知点，，，，试判定四边形的形状． 一、单选题 1．下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知点，若直线，则的值为（　　） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 4．若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 5．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 7．直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 三、填空题 9．若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 10．在平面直角坐标系xOy中，角，的终边分别与单位圆交于点A，B，若直线AB的斜率为，则= . 四、解答题 11．已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 12．已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率. 13．已知 (1)求直线AB的斜率k； (2)已知实数，求直线AB的倾斜角的取值范围． 14．在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$