1.2空间向量基本定理课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理 第一章 人教A版 数学 选择性必修第一册 自主预习 新知导学 一、 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 (1)定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= xa+yb+zc . (2)基底:如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc, x,y,z∈R} .这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.  2.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是(　　) A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b} C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c} 解析:由已知及向量共面的充要条件,易得向量a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底. 答案:C 二、空间向量的正交分解 1.(1)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示. (2)正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 合作探究 释疑解惑 探究一 基底的判断 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 则2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3. ∵{e1,e2,e3}为空间的一个基底, 探究一 探究二 探究三 反思感悟 1.判断三个向量能否作为空间的一个基底,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,可以用反证法结合向量共面的充要条件或者利用常见的几何图形帮助,进行判断. 2.求一向量在不同基底下的表示式,一般采用待定系数法,即设出该向量在新基底下的表示式,转化为在原基底下的表示式,对比系数. 探究一 探究二 探究三 由A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z不共面.同理向量b,c,z不共面,向量x,y,a+b+c也不共面.故选BCD. 答案:BCD 【变式训练1】 (多选题)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量组中可以作为空间的一个基底的向量组是(　　) A.{a,b,x} B.{x,y,z} C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c} 探究一 探究二 探究三 探究二 用基底表示空间向量 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 反思感悟 用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据向量加法的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的线性运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c},可以表示出所有空间向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究三 空间向量基本定理与数量积的综合应用 【例3】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点. 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 本例条件不变,求异面直线CA1与AB所成角的余弦值. 探究一 探究二 探究三 反思感悟 1.求空间向量的模、夹角时,常常将所求向量用某个基底表示,然后再根据公式计算. 2.用向量法求异面直线的夹角的余弦值的步骤: 探究一 探究二 探究三 【变式训练3】 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求异面直线OE与BF所成角的余弦值. 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 【例4】 如图,在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC. 探究一 探究二 探究三 证明:连接ON(图略),设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ, 探究一 探究二 探究三 反思感悟 用向量法证明空间中垂直关系的步骤　 　 (1)把几何问题转化为向量问题. (2)选择空间的某个基底表示未知向量. (3)通过数量积运算证明数量积为0. (4)将向量问题回归到几何问题. 探究一 探究二 探究三 【变式训练4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC. 证明:设正方体的棱长为1, 探究一 探究二 探究三 ∴PA⊥B1O,PC⊥B1O. 又PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC, ∴B1O⊥平面PAC. 探究一 探究二 探究三 解析:. . 答案: 2.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别为棱DD',D'C',BC的中点,以{}为基底,则向量=　　　,=　　　　　　.  【例1】 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2 +2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否构成空间的一个基底?若能,请用此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由. 分析:假设,共面→存在x,y使=x+y→无解→结论{,}可以作为基底 解:能构成空间的一个基底.假设共面,由向量共面的充要条件,知存在实数x,y,使=x+y成立. ∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3. ∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底,∴e1,e2,e3不共面. ∴此方程组无解, 即不存在实数x,y,使=x+y. ∴不共面.故{}能构成空间的一个基底. 设=p+q+z, ∴解得 ∴=17-5-30. 解析:如图所示,设a=,b=,c=, 则x=,y=,z=,a+b+c=.向量a,b,x共面. 【例2】 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=-,设=a,=b,=c,请用向量a,b,c表示. 分析:应用向量加法的三角形法则表示. 解:连接AN,则. 因为=-=-)=-(a+b), )=b-(b-c). 所以=-(a+b)+b-(b-c)=(-a+b+c). 本例条件不变,请用向量a,b,c表示. 解:因为=-(a+b), 所以=-(a+b)+b+c=-a+b+c. 解:)=(c-b-a)=-a-b+c. =-a+=-a+)=-a-b+c. ) =-a+c+(-c+b)=-a+b+c. a. 【变式训练2】 如图,已知四棱锥P-OABC的底面为一矩形,设=a, =b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用向量a,b,c表示. 分析:(1)先用基底{}表示向量,再利用公式||=计算;(2)先用基底{}表示向量,再利用公式cos<>=计算. (1)求||; (2)求cos<>的值. 解:因为三个向量不共面, 所以{}可构成空间的一个基底,且 ||=||=1,||=||=2, <>=<>=<>=90°, 所以=0. (1)因为, 所以||2= =||2+|2+||2=12+×22+12=3, 所以||=. (2)因为, 所以=()·()=||2-||2=22-12=3. 由勾股定理,得AB=,A1B=,CB1=,从而||=,||=. 所以cos<>=. 解:因为, 所以=()·()=-||2=-1. 由勾股定理,得CA1=,AB=,从而||=,||=. 所以cos<>==-. 所以异面直线CA1与AB所成角的余弦值为. 解:如图所示,设=a,=b,=c,空间四边形OABC各边及对角线长都为1,则{a,b,c}构成空间的一个基底,且|a|=|b|=|c|=1. 由题意知∠AOB=∠BOC=∠AOC=,则a·b=b·c=c·a=. 因为)=(a+b), c-b,||=||=, (a+b)·a·c+b·c-a·b-b2=-. 所以cos<>==-. 所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为. 分析:先用基底{}表示向量,再证明. 又设=a,=b,=c, 则这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,且|a|=|b|=|c|. ∵)==(a+b+c),=c-b, ∴(a+b+c)·(c-b) =(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)=(|a|2·cos θ-|a|2·cos θ-|a|2+|a|2)=0. ∴,即OG⊥BC. =a,=b,=c, 则这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底, 且|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c=0. ∵=-=-b-c, =-=a-c, =-c+(-a+b)=-a+b-c, ∴ a·b-b2+b·c+a·c-b·c+c2=0, =-a2+a·b-a·c+a·c-b·c+c2=0. ∴. $$